求曲线的轨迹方程配例题讲解

1、 解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质所以求曲线的方程是解析几何中的一个重要问题下文将讨论几种求曲线方程的方法及求曲线方程时应注意的问题一、直接法若动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何量间的等量关系简单明了且易于表达，我们只要将这些的等量关系变成含，的等式就得到动点的轨迹方程这种方法不需要其它技巧，故称为直接法例1已知P，Q是平面内的2个定点，=2,点M为平面内的动点，且M到点P的距离与到点Q的距离的比值为（0），求点M的轨迹解析 以线段PQ的中点O为坐标原点，线段PQ的垂直平分线为轴建

2、立直角坐标系点为（-1，0），点为（1，0），设点为（，），（0）， ，化简可得（1）时，点的轨迹为轴，其方程为；（2）0且时，点的轨迹方程可化为，即，当0且时，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆点评 直接法求轨迹的一般步骤为：（1）必要时建立平面直角坐标系（若已有直角坐标系则可以省去这一步），设动点坐标为（，）；（2）根据题设条件列出等量关系式；（3）将上述等量关系式转化为方程式；（4）整理、化简方程式为轨迹方程；（5）必要时进行讨论，以保证轨迹的纯粹性与完备性，并指出轨迹的具体几何意义二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以根据定义直接

3、求出动点的轨迹方程，这种方法称为定义法例2 如图,已知两圆，动圆在圆内且和圆内切，和圆外切，求动圆圆心的轨迹解析 设动圆圆心为，由题意可知根据椭圆的第一定义，点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，其中，动圆圆心的轨迹方程为点评 解答本题的关键在于透过复杂的条件认识到点轨迹是以点，为焦点的椭圆，假若根据几何条件列方程求解就复杂了三、相关点法有些求轨迹的问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但这一动点随另一动点（称之为相关点）而动假若相关点所满足的条件是明显的或可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程或关系式，即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹

4、方程的方法叫相关点法，也叫转移点法或代入法例3 已知曲线与直线交于两点和,且记曲线在点A点B之间的那段为L，设点P（s,t）是L上的任意一点，且点P与点A和点B均不重合若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程解析 由，解得A（-1，1），B（2，4）由中点坐标公式可得点Q的坐标为（），设点M的坐标为（）于是，又-1s2,即又点P（s,t）在曲线C上，将代入得，即（）点评 相关点法是一种常考的方法，用此法求轨迹的大致步骤是：（1）设所求轨迹的动点P的坐标为（），再设在曲线上与动点P相关的点为Q（），所以；（2）找出P,Q的坐标之间的关系式，并表示为（3

5、）将代入，即可得所求的轨迹方程本题中还要注意所求曲线只是抛物线的一部分四、交轨法若动点是两条动曲线（含直线）的交点，则可恰当的引入一个或几个参数，写出动曲线的方程，消去参数，即可求得所求的轨迹方程这种方法叫交轨法例4 如图，椭圆与轴的交点为A(2,0),B(-2,0),与 轴平行的直线交该椭圆于不同的两点M，N，试求直线AM，BN的交点Q的轨迹方程解析 直线MN的方程为，设M和N的坐标分别为（），（），则，即M，N为不同的两点，直线AM，BN的方程分别为因为点Q的坐标满足上式，所以将它们相乘可得，将代入上式可得，即又交点Q不可能在轴上，交点Q的轨迹方程是点评 交点

6、Q不可能在轴上，去掉（2，0），（-2，0）两点，确保轨迹的纯粹性不容忽视五、向量法用向量法求轨迹方程时，可充分利用向量垂直和共线的充要条件，并可以避免讨论直线斜率是否存在，使计算得到简化例5 如图，设点A、B为抛物线（p0）上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，M是垂足，求点M的轨迹方程，并说明它表示的曲线类型解析 设点A，点B（），M（），,即，又,即，化简得又,，化简可得消去可得，又因为A、B异于原点，所以点M的轨迹方程为，它表示一点（2p，0）为圆心，2p为半径的圆（不包含原点）点评 利用向量可以将几何问题化为代数计算，在此设点A，点B（），而不设

7、点，是为了尽量减少参数六、参数法动点满足的条件式中含有参数（如角度、斜率、比值等）或动点运动过程中受到某个参数制约，我们建立以这个变量为参数的参数方程，然后消去这个参数，即得轨迹的普通方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法例6 过点P（4，1）的动直线与椭圆交于不同的两点A、B，在线段AB上取点Q，满足,证明：点Q总在某定直线上证明 设点Q，A，B的坐标分别为（），（），（）由题设知，均不为0，记,则0，且又A，P，B，Q四点共线，从而于是，从而， 又因为点A、B在椭圆C上，即，+2得，结合、得即点Q（）总在定直线上点评 在此选取比值作参数，得到轨迹的含的参数方程，最后消去参数

8、得到轨迹的普通方程本题中点Q的轨迹只是直线的一部分七、点差法例7 给定双曲线，过点A（2，1）的直线与所给双曲线交于两点，求线段中点P的轨迹方程解析 设P（），则两式相减得又又，A，P四点共线，即所求轨迹方程为点评 点差法是求弦中点形成的轨迹的有效方法【练习】1动点与两点连线的斜率之积为（0），求点的轨迹方程，并根据值变化讨论其轨迹是什么曲线2已知圆：与定直线，动圆与圆外切，并且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程3已知O为坐标原点，A为椭圆（ab0）上任意一点，且,求点P的轨迹方程4如图，设点A、B分别为（-1，0）、（1，0），N为单位圆上的动点（不与点A、B重合），单位圆上过点N的切线与过点A、B的切线分别交于D、C两点，四边形ABCD的对角线AC与BD的交点为P，求交点P的轨迹5已知点A（1，0）为圆内的一点，P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？6过抛物线的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程  7.线段AB是经过抛物线焦点的弦，求弦AB的中点的轨迹方程【参考答案】1（1）-1时，轨迹方程为（），点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含,两点）；（2）时，轨迹方程为，点的