极值点偏移问题

1、极值点偏移问题极值点偏移问题总结一、判定方法1、极值点偏移的定义对于函数yf(x)在区间(a,b)内只有一个极值点Xo,方程f(x)0的解分别为x1、x2，且ax1x2b,1假设义/xo,则称函数yf(x)在区间优区)上极值点x0偏移；2假设七上x。，则函数yf(x)在区间(xe)上极值点左偏，简称极值点x。左偏；3假设之/x。，则函数yf(x)在区间(xi,x2)上极值点x。右偏，简称极值点x0右偏。2、极值点偏移的判定定理判定定理1对于可导函数yf(x),在区间(a,b)上只有一个极大小值点x。，方程f(x)。的解分别为xx2,且ax1x2b,1假设f'(红)。，则红二2()x。，

2、即函数yf(x)在区间(xx2)上极大22小信点x。右左偏；2。假设f'(12)。，则土六()x。，即函数yf(x)在区间(x，x2)上极大小值点x。左右偏。证明：1因为可导函数yf(x),在区间(a,b)上只有一个极大小信点x。，则函数yf(x)的单调递增减区间为(a,x。)，单调递减增区间为(选,可，又ax1x2b,有土/(a,b)由于f'(±/2)。，故土广(a,x。)，所以至22()x。，即函数极大小值点x。右左偏。2判定定理2对于可导函数yf(x),在区间(a,b)上只有一个极大小值点小,方程f(x)0的解分别为x1、x2，且ax1x2b,1假设f(x，f(

3、2x0x2),则上/()x0即函数yf(x)在区间(xx2)上极大小值点/右左偏；2假设f(x。f(2x0x2),则口2()x0即函数yf(x)在区间(xi，x2)上极大小值点/左右偏。证明：1因为对于可导函数yf(x)在区间(a,b)上只有一个极大小值点x°,则函数yf(x)的单调递增减区间为(a,x。)，单调递减增区间为(,b),又axix2b,有xi刈，且2x0%x°,又f(x1)f(2&x2),故xi()2x0x2,所以土/()x0,即函数极大小值点x。右左偏.结论2证明略。二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1.方法概述：1求出函数f(x)的极值点；2构造

4、一元差函数F(x)f(x0x)f(x0x)3确定函数F(x)的单调性；4结合F(0)0,判断F(x)的符号，从而确定f(x0x),f(x°x)的大小关系。2.抽化模型答题模板：假设已知函数f(x)满足f(x1)f(x2),x0为f(x)的极值点，求证：x1x22x01讨论函数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点x°假设此处f(x)在,Xo上单调递减，在X0,上单调递增。2构造F(x)f(xox)f(xox);注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)f(x)f(2%x)3f(xox)与f(x。x)的大小关系;通过求导F'(x)谈论F(x)的单调性，判断处F(x)在某

5、段区间上的正负，并得出第10页假设此处F(x)在o,上单调递增，那么我们便可以得出F(x)F(0) f(xo)f(xo) o,从而得到：xx0时,f(x° x)f (xox)不妨设Xxo通过f(x)的单调性,f(xi)f(x2) , f (xox)与 f (xx)的大小关系得出结论;接上述情况:xo 时，f (xox)f (xox)且 x1xox2f(xi)f仇)故f(xi) f(x2) f xox2xof xo (x2xo)f (2Xo x2),又因为 Xi Xo ,2xo x2 /且f (x)在,xo上单调递减,从而得到xi 2xo x2 ,从而xix22xo得证;假设要证明f&

6、#39;七汉)。还需进一步讨论 之广与Xo的大小，得出x单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证;此处只需继续证明：因为xix22xo故丫 xo,由于f(x)在，xo上单调递减，故 f'(x-2x2说明:1此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心;2此类题目假设试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明f(xox)与f(xox)或f(x)与f(2xox)题大小关系；假设试题难度较大，则直接给出形如x1 x2 2Xo或者七x2xo的结论，让你给出证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题二、例题(一)不含参数的的极值点偏移

7、问题例1:2010天津理21已知函数f(x)xex(xR)1求函数f(x)的单调区间和极值；2假设xx2,且f(x1)f(x2),求证：x1x221 ；1 xe0 ；x) f (1 x)1知 x11,x21,f 1 (x2 1)f(2 x2),1上增，即证x2 2 x11,x21,故 2 x 11, 上是单调递减的，只需证f(x2)f (2 x1),1f'(x)1xex,f'(x)0,x2g(x)f(1x)f(1x)1xx1(1x)g'(x)xeeg(x)0,xx0时，g(x)g(0)0即f(1,Xx2,不妨设Xx2,由f(x1)f(x2)f1x21'X1,2x

8、21,f(x)在x12x2,即x1x22【法二】欲证xx22,由法一知0x又因为f(x)在,1增1,减极大值f(1)-e1xe1x,0减；0,增又因为f(Xi)f(X2),故也即证f(Xi)f(2为)，构造函数h(x)f(x)f(2x),x0,11X2x2由h'(x)f'(x)f'(2x)1eeh(x)在0,1上单调递增，h(x)h(1)0故原不等式x1x22成立【法三】由f(x1)f(x2)得，x1ex1x2ex2,化简得ex2”上x1不妨设x2为，由法一知0%1*2,令tx2%,则t0,*2tx1，代入得：ett-x1,反解出：x1-，贝Ux1x22x1t12tt,

9、x1e1e1故要证Xx22即证三t2,又因为et10,e1等价于证明：2tt2et10构造函数g(t)2tt2et1t0,则g'(t)t1et1,g''(t)tet0,故g'(t)在0,+上单调递增，g'(t)g'(0)0从而g(t)在0,+上单调递增，g(t)g(0)0【法四】由f(x"fG)得，xex1x?ex2,化简得ex2.土，x1两边同时取以e为底的对数：得x2为ln迎lnx2ln为，即ln&lnx1,x1x2x1从而x1 x2In x2In x1x2x2xx2x2 x1x2Inx1、2 A+1x1x2In ,*1x1

10、x令t乱t 1 ,则欲证x1 x2 为一 一 t 1一2等价于证明-lnt 2,t1Int2构造g(t)1Int,t1,t1t1则g'(t)2t212tlnt又令h(t)t212tlntt1则h'(t)2t21nti2t1Int,由于t1Int对t1,恒成立，故h'(t)0,h在1,上单调递增，h(t)h(1)0,g'(t)。对t1,恒成立，g在1,上单调递增，g(t)g(1)由洛必达法贝U知：limg(t)limnj21lim_limInt-12t1t1t1t1t1't1t即g(t)2,即证式成立，也即原不等式成立例2:2013湖南文21f(x)11x

11、1求函数的单调区间；2证明：当f(x1)f(x2)(x1x2)时，x1x20(二)含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元Xi,X2基础上，有多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切方法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决，或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。例1已知函数f(x)xaex有两个不同的零点Xi,X2,求证：XiX22例2.已知函数f(x)lnXaX,a为常数，假设函数f(X)有两个不同的零点X1,X2,求证：X1x2e2例3:已知x1,x2是函数f(x)exax的两个零点，且x1X21求证：x1x222x1x21例4:已知函数f(x)xea

12、x(a0),假设存在为此x1x2，使f(x1)f(X2)0,求证：土aeX2变式训练：1 .设函数f(X)exaxa(aR)的图像与x轴交于AXi,0,BX2,0XiX2两点，1证明：f'(TXX')02求证：x1x2x1x22 .设函数f(x)alnxbx2,其图像在点P2,f(2)处切线的斜率为3,当a2时，令g(x)f(x)kx,设为此为X2是方程g(x)0的两个根，x0是为？2的等差中项，求证：g'(%)013 .已知函数f(x)a-lnx(aR)x1假设a2,求函数f(x)在1,e2上的零点个数；2假设f(x)有两零点X1,X2X2，求证：2x1x23ea11

13、1 a x aln x1c4 .已知函数f(x)x221讨论f(x)的单调性；2设a0,证明：0xa时，f(ax)f(ax)(三)含对数式的极值点偏移问题根据f(x1)f(x2)建立等式，通过消参、何等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解。对数平均不等式的介绍与证明两个整数a和b的对数平均定义：L a,ba bIn a In b对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：,abLa,b-b2例1:已知函数f(x)Inxax22ax1讨论f(x)的单调性；2设a0,证明：当0x1时，f(-x)f(1x);aaa3假设函数yf(x)的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x。,证明：f'(x0)0(四)含指数式的极值点偏移问题指数不等式：在对数平均的定义中，设aem,ben,则E(a,b)mnmn不等式有如下关系：e=E(a,b)e一-2mnee/(mmn(mn)例1全国1卷2016理21已知函数f(x)n),根据对数平均(x2)exa(x1)2