概率论与随机过程今年作业conditional

1、概率论与随机过程 (1)，homework12_vector_conditional_solution©电子工程系6𝑥y2,0,0 < 𝑥 < 1 且 0 < 𝑦 < 1其他1. 设两维随机向量(𝑋, 𝑌)有密度𝑝(𝑥, 𝑦)= 试求：条件密度𝑝𝑋|𝑌(𝑥|𝑦)和𝑝𝑌|𝑋(𝑦|𝑥

2、;)。参考解答先求边缘密度：xp(x) = 24(1 𝑥)ydy = 12(1 x)x2 ,01p(y) = 24(1 𝑥)ydx = 12y(y 1)2,y从而有条件概率密度：0 < 𝑥 < 10 < 𝑦 < 12(1 x)= (y 1)2p(x, y)p(y),0 < 𝑦 < 𝑥 < 1 otherwise0 < 𝑦 < 𝑥 < 1otherwisepX|Y(x|y) =0,2yp(x, y) p(x),

3、pY|X(y|x) = x20,2. 100 个球随机的放在 100 个箱子里，求最后空箱子的数量的平均值？ 参考解答：定义随量X𝑘，当第 k 个箱子无球时为 1，有球时为 0。又设定随量 Y 表示空箱子个数，Y = X1 + + X100。每个球，放入盒子 k 的概率为 1 ，不放入的概率 99 ，则100100p(X = 1) = ( 99 100，𝑘 = 1, ,100100)𝑘10099E(X𝑘) = (100)10099E(𝑌) = 100E(X𝑘) = 100 () 36.6100Com

4、ment：本题利用示性函数的方法计算比较简单。每个箱子是否为空的概率相同。部分同学利用排列组合的知识进行计算，将该问题复杂化了，且很难求出最终结果。遇到这种问题的时候，尽量避免拼命计算，当我们最初的方法算不下去的时候可以换一种思路试试看，或许会柳暗花明。1概率论与随机过程 (1)，homework12_vector_conditional_solution©电子工程系3. 美国的 25 分硬币共有 50 种，上面有 50 个州的图案，如果我们每次得到的硬币是随机的，求平均来讲，收集多少个 25 分硬币可以收集全 50 种图案？参考解答：设 𝑛 = 50。设Xw

5、894;表示已收集𝑖种硬币，为收集𝑖 + 1种硬币所需的附加次数，𝑖 = 0,1, , 𝑛 1，则𝐸(X𝑖) = 1𝑛𝑛𝑖𝑛𝑖 =。 𝑛概率为𝑝 = 𝑛𝑖，则首解释一下，已收集𝑖种硬币时，考虑无限次射击，每次𝑛𝑛𝑖11时的射击次数服从参数为𝑝 =的几何分布，其均值为=次w

6、901;𝑛𝑖𝑛𝑛设收集全 50 种图案时，收集的 25 分硬币个数为𝑋。则𝑋 = 𝑋0 + 𝑋1 + + 𝑋𝑛1，故𝐸𝑋 = 𝐸𝑋0 + 𝐸𝑋1 + + 𝐸𝑋𝑛1= 1 + 𝑛/(𝑛 1) + . . . +𝑛/1 = 𝑛(1 +

7、1/2+. . . +1/𝑛) 224.96Comment：本题有一定的难度，解答时需要转换技巧，将原问题转换为几何分布的问题。部分同学试图从排列组合的角度求解，问题变得非常复杂，而且没有得到最终正确的结果。4. 设随量X服从区间(0,1)上的均匀分布，当0 < 𝑥 < 1时，随量Y在X =x的条件下服从区间(x, 1)上的均匀分布。求随参考解答：量Y的概率密度函数。 1 ，𝑝(𝑦|𝑥) = 1𝑥010 < 𝑥 < 1𝑥 < ү

8、10; < 1，0 < 𝑥 < 1𝑜𝑡𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒已知𝑝(𝑥) = 0𝑜𝑡𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒因此，概率密度函数为1= 1 𝑥0 < 𝑥 < 𝑦 < 1𝑜𝑡𝑒⻖

9、3;𝑤𝑖𝑠𝑒𝑝(𝑥, y) = 𝑝(𝑥)𝑝(𝑦|𝑥)0则随量Y的概率密度函数为1𝑦1()()()𝑝𝑦= 𝑝0𝑥, y𝑑𝑥 = 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛1 𝑦, 0 < 𝑦 < 102概率论与

10、随机过程 (1)，homework12_vector_conditional_solution©电子工程系Comment：本题较简单，基本都对了。直接利用公式求解即可，需要注意的是随量的取值范围。5. 甲乙两人约定 5 点到 6 点之间在某处集合，他们的到达时间服从均匀分布。甲乙两人都耐心不足，等待 15min 就会离开。求他们碰头的前提下，甲的到达时刻分布。（记甲 5 点 x 分到达，乙 5 点 y 分到达）。参考解答：根据题意，概率密度函数为：1𝑝(𝑥, 𝑦) = 3600,0 < 𝑥 < 60,0 &l

11、t; 𝑦 < 60其它0,碰头对应为 = |𝑋 𝑌| < 15|0 < 𝑋, 𝑌 < 60，对应图中的阴两人影部分601501560X其概率为𝑃(碰头) = 𝑃|𝑋 𝑌| < 1560𝑥15= 1 15060𝑦15𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑝(𝑥,

12、𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦1504527= 1 3600 = 16碰头的前提下，甲的到达时刻𝑋的分布密度函数为他们(𝑥|𝑋 𝑌| < 15) = 𝑝(𝑋 = 𝑥, |𝑋 𝑌| < 15)𝑝𝑋|𝑋𝑌|<15𝑃(|𝑋 𝑌| < 15)计算需要分情况讨论：7

13、 ，分母𝑃(|𝑋 𝑌| < 15) =16当0 < 𝑥 15时，𝑝(𝑋 = 𝑥, |𝑋 𝑌| < 15)3概率论与随机过程 (1)，homework12_vector_conditional_solution©电子工程系= 𝑝(|𝑋 𝑌| < 15|𝑋 = 𝑥)𝑝𝑋(𝑥)60= ⻖

14、1;𝑌|𝑋(𝑦|𝑥) 𝑑𝑦 𝑝𝑋(𝑥)𝑥1560𝑥 + 15𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = 3600𝑥15当15 < 𝑥 45时，𝑝(𝑋 = 𝑥, |𝑋 𝑌| < 15) = 𝑥+15 𝑝(&#

15、119909;, 𝑦) 𝑑𝑦 =303600𝑥15当45 < 𝑥 60时，𝑝(𝑋 = 𝑥, |𝑋 𝑌| < 15) = 𝑥+15 𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = 75𝑥03600所以，他们碰头的前提下，甲的到达时刻分布密度函数为(𝑥|𝑋 𝑌| < 15) = 

16、9901;(𝑋 = 𝑥, |𝑋 𝑌| < 15)𝑝𝑋|𝑋𝑌|<15𝑃(|𝑋 𝑌| < 15)0 < 𝑥 15𝑥 + 15 15752 15 < 𝑥 45105 75 𝑥 1575=45 < 𝑥 60其它0Comment：本题利用条件概率公式计算即可，关键是将𝑝(𝑋 =

17、19909;, |𝑋 𝑌| < 15)理解合型密度函数。部分同学计算过程出现错误，没有进行合理的分情况讨论。6. X、Y是两个同分布的指数分布，参数为。求p𝑋|𝑋>𝑌(x|X > 𝑌)（X > 𝑌条件下的X分布）。参考解答：X、Y的概率密度函数为𝑝(𝑥, y) = 𝑝(𝑥)𝑝(y) = 𝜆2𝑒𝜆(𝑥+𝑦

18、)𝑥, 𝑦 > 0𝑜𝑡𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒0条件概率密度函数为(x|X > 𝑌) = p(x, X > 𝑌)p𝑋|𝑋>𝑌p(X > 𝑌)𝑥= 𝑝1p(X > 𝑌)(𝑥, y)𝑑𝑦𝑑𝑥 =

19、2 （或由对称性直接得到）00𝑥p(x, X > 𝑌) = 𝑝(𝑥, y)dy = 𝜆𝑒𝜆𝑥 (1 𝑒𝜆𝑥)04概率论与随机过程 (1)，homework12_vector_conditional_solution©电子工程系𝜆𝑒𝜆𝑥(1𝑒𝜆𝑥)1= 2𝜆𝑒

20、20582;𝑥(1 𝑒𝜆𝑥), x 0所以，p(x|X > 𝑌) =𝑋|𝑋>𝑌2Comment：本题条件概率分布的计算，概念理解清楚了计算问题不大。最后得到的量x的取值范围应该为x 0，部分同学写成了x y。条件概率密度函数中随7. 令𝑋1, 𝑋2, 为一列同分布连续随量，求（1） 𝑃(𝑋6 > 𝑋1|𝑋1 = 𝑚𝑎

21、9909;(𝑋1, , 𝑋5)（2） 𝑃(𝑋6 > 𝑋2|𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)参考解答：) = 𝑃(𝑋6>𝑋1,𝑋1=𝑚𝑎𝑥(𝑋1,𝑋5)（1）𝑃(𝑋 > 𝑋 |𝑋 = Ү

22、98;𝑎𝑥(𝑋 , , 𝑋61115𝑃(𝑋1=𝑚𝑎𝑥(𝑋1,𝑋5)其中，𝑃(𝑋6 > 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)6+𝑥6𝑥1𝑥1𝑥1𝑥1= 𝑝(𝑥

23、;𝑖)𝑑𝑥2𝑑𝑥3𝑑𝑥4𝑑𝑥5𝑑𝑥1𝑑𝑥6 𝑖=1+𝑥6= 𝑝(𝑥6) 𝑝(𝑥1) 𝐹4(𝑥1)𝑑𝑥1 d𝑥6+115(= 5 𝑝(𝑥6) 𝐹𝑥6)d&

24、#119909;6 = 30同理可得，𝑃(𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5) = 1（由对称性也可以得）5因此，𝑃(𝑋6 > 𝑋1|𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5) = 1。6（2）方法 1：从定义出发) = 𝑃(𝑋6 > 𝑋2, 𝑋1 = 𝑚&

25、#119886;𝑥(𝑋1, , 𝑋5)P(𝑋 > 𝑋 |𝑋 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋 , , 𝑋61115𝑃(𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)𝑃(𝑋6 > 𝑋2, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(Ү

26、83;1, , 𝑋5)= 𝑃(𝑋6 > 𝑋2, 𝑋6 > 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)+ 𝑃(𝑋6 > 𝑋2, 𝑋6 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)5概率论与随机过程 (1)，home

27、work12_vector_conditional_solution©电子工程系其中，𝑃(𝑋6 > 𝑋2, 𝑋6 > 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5) = 𝑃(𝑋6 > 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)130=𝑃

28、(𝑋6 > 𝑋2, 𝑋6 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5) =6+𝑥6𝑥1𝑥1𝑥1𝑥11= 𝑃(𝑥𝑖)𝑑𝑥2𝑑𝑥6𝑑𝑥3𝑑𝑥4𝑑𝑥5&

29、#119889;𝑥1 = 12 𝑖=11 +1) =3012 =7 。因此，𝑃(𝑋 > 𝑋 |𝑋 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋 , , 𝑋621151512方法 2：利用全概率公式P(𝑋6 > 𝑋2|𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)= P(𝑋6 > 𝑋2,

30、 𝑋6 > 𝑋1|𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)+ P(𝑋6 > 𝑋2, 𝑋6 𝑋1|𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)= P(𝑋6 > 𝑋1|𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, ,

31、𝑋5) P(𝑋6 > 𝑋2|𝑋6 > 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)+ P(𝑋6 𝑋1|𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5) P(𝑋6 > 𝑋2|𝑋6 𝑋1, 𝑋1 = 𝑚𝑎𝑥(𝑋1, , 𝑋5)其中，由（1）得，P