柱坐标系含内热源一维非稳态热传导问题

1、2-1!Thecoreofapoolrealtorismadeofcylindricalfuelelements,eachcom-posedofauraniumrodofradius/?andastainlosssteelcladdingofnegligiblethickness(Fig.2-54)-Thereactorhastheuniformtemperature7pinitially;theninternalenergyisassumedsuddenlytobegenera忱dintheuraniumrodsas=1一("炉，whereu(fzistheinternalener

2、gygenerationatthecenterline.Thetemperatureofthecoolantisheldconstantat7意.Theheattransfercoefficientislarge.Formulatetheproblem.丁w » ， >Z*<-V<->> . ->'V?. r.L个7行”二 J二;.4 / , ,O ：6»，k ；> »7. q；火*，”、w .w ， w »<， 心"3 I.VJ >5/ ，： ； 一 , ”/3»wVZ*

3、 ' - ',- “了 ! .<r * ，.J 2 ,:衣; 7。W，. IT ”第；、y / J Q. ，.，.”FIG. 2542.11解：对于该一维有热源的非左常热传导问题，设导热系数k为常数有初始条件/()二兀边界条件为打r=0d01d=adrrdr(ce11-u&（几o）=0=0do乔r-Ak+hOqdr-o其中ci=一为热扩散率或热扩散系数（thermaldi±fusivity）,过余温度&=/-人，则pc令6>=w+/（r）,并使其中/（厂）满足原方程及边界条件不妨设/。）=-伊-创+S+G ,显然其满足原方程，现用边界条件待

4、定其中系数=G = 0 = > G = 016kl.v-0/（）二-4 广一f +p1 37?0 = 1（ 4r26k+ 01 3Qh4k代入原方程及边界条件中有dulddu=ardrrdrdr代入初始条件中有坦中空=0I+力"|=0*也二处)M0(/)=16“叫13R、4g现用分离变量法进行求解令w(r,r)=/?(r)T(r)带入(14)中泛定方程中有/?(r)r(r)=t/IQr)T(r)+,r(r)T(r)尺0)+用"(厂)_7虫7)=乂/7?(r)6<r(r)由边界条件知由初始条件有T(r)+A«T(r)=0,rr(r)+/?r(r)+2r/

5、?(r)=0.RO)=O.RR)+-R(R)=0.k7?(r)T(0)=八(r)现对k的值进行讨论当2=0时，将其带入式(L6)中有'")=0,rR”(r)+R(r)=0.%)=c/?(r)=Ain"BKAx)(1.9)代显然不符合题意舍去当兄0时，对于式(1-6)令x=夕，有r(r)+加T(r)=0,2附R八2dnXTXXR-0.ZsrR(x)=M(x)+BK°(x)T(r)=Ce2/?(r)=>4/()(pr)+BK()(注意到当TOO时s即最终的温度这在实际情况下是不可能的，故该种情况应当舍去。当2>0时，对于式(16)令x=>jk

6、r石r(r)+AaT(r)=。,2cPRdR2d八dx1dx其中第二式为零阶贝塞尔方程弘六心)+吩)一Mr=>T(t)一,-C7?(fTJo(屈)+3人(屈)带入边界条件得显然满足方程庄二牛负伴根有无穷多个。用下而符号表示其无穷多个正根力人贝(J)H-I代入初始条件有"（CO）=1Df,J°ef,=（p（r）n-l将00）展开为广义傅里叶级数0（厂）二£也（屈）n-l其中小（厂）儿（屈）r机（阿）2小（厂）儿（阿）/，XEP;（挣）+川存）此处0（r）过于复杂，但该积分可积，这里就不带入里而进行进一步运算了，如有兴趣可继续计算。现给出进行下一步积分的参考公式

7、，JxX-.（A-）A=yvM,（x）+c对比系数得20（讪（屁）ZE川何）+岸（后）其中叫4/13用16k、在4/r-lr MR f| T h 4&414 4kJ0=u+f(r)二言可以（奸）嘀综上所述：最终结果为心$如r阿）T吾其中J2匚炖（讪朗讪.，!叩：（亦）+玳亦）察L+竺h4k)j。（>/!/?备/u血，为满足方程比二一八4的无穷多个正根并按从小到大排列。hA（彳巨R）Example2-2.Considerapoolreactor(Fig.2-33)whosecoreisconstructedfromanumberofverticalfuelplatesofthick

8、ness2L.InitiallythesystemhastheuniformtemperatureTjthenassumethattheconstantnuclearinternalenergyisuniformlygeneratedintheseplates.Theheattransfercoefficientbetweentheplatesandthecoolantish.Thetemperatureofthecoolantre-Core (fuel places)FIG. 2 33解：以板中心为原点，x轴垂直于板，建立坐标系，则该问题可简化为一维问题由能量守恒有取该板上长为 改微段为控制

9、体,dtdpcdrdxdx)pHddedrdxdx)其中8=f一7为过余温度考虑到边界条件和初始条件有dO=0&x-0霎+加=0&仁二。令&="+/(x),并使英中/(X)满足原方程及边界条件dx不妨设/(%)=-X2+C,X+C2,显然其满足原方程，现用边界条件待泄其中系数2kx+CJ+力x-+CX+C、)V2k=L2+C?/?=O2k(iIA=>G="S±+±h2k)/w=0=u-2kUi2k)2k代入原方程及边界条件中有ducfiudxA-0f£*,nYL=0其中a二一为热扩散率或热扩散系数(thermald

10、iffusivity)pc代入初始条件中有x2+umL/_!_+24l(石一其中/A,./IL(px=x-_L_+，72k1/?2k)现用分离变量法进行求解"设z/(A;r)=X(x)T(r),代入上面的方程可得xu)_r(c_xX(A)aT(r)jF(r)+2«r(r)=0|X7x)+2X(x)=0由边界条件知A0)=O,PB(A)+hX(L)=G现对兄的值进行讨论当兄=0时X(x)=Ax+B带入边界条件得a=r=n显然不符合题意，舍去当兄0时X(x)=AeAx+BeM带入边界条件得A=8=0也符合题意,舍去当兄0时X(x)=AcosyfXx+BsinyXx显然满足方程t

11、an尿二炸根有无穷多个。用下而符号表示其无穷多个正根及相应的特征函数Xn(x) = Ah cos扬 x再由方程F(r) + 26/T(r) = 0,可得7 ; )二严,从而我们得到满足边界条件的一组解(X, T) = C C -cos羽匚所以/(X, T) = £c严*COS 城 Xn-1F面由初始条件求待泄系数由初始条件有WL=Zc-cos>=0(x)H-l由广义傅里叶级数，对0(x)进行傅里叶级数展开有0(x)=工亿COSA/AXW-l其中1L+h2ksincosL).IL一+一h2k)Iv'mc , vr1一一口让鹏h4a/4x2cosyAxdx/=Ax2dsinAx-£2x sin=-j=(Nsin=*A2sinL+，=J:2xdcos去严亦施Y+2片芒sin必L+2LCOS隔L-j-sin女石打：j-j=(Z?sinL+2ACOSffrL-|-sin4壬/JL曰:品扳沁x=4J:(cos2旋+i问sin2 J&