极值点偏移的判定方法

1、极值点偏移的判定方法和运用束帕一、判定方法1、极值点偏移的定义对于函数yf(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0,方程f(x)0的解分别为,且a为X2b,(1)若寸”,则称函数yf(x)在区间(心)上极值点xo偏移；(2)若号X。，则函数yf(x)在区间(为上极值点x。左偏，简称极值点x。左偏；(3)若yx。，则函数yf(x)在区间(xi，x2)上极值点x。右偏，简称极值点x。右偏。2、极值点偏移的判定定理判定定理1对于可导函数yf(x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x。，方程f(x)。的解分别为为、x2,且ax,x2b,(1)若f,(1L)。，则12()%,即函数yf(x)在

2、区间(XL)上极大(小)值点x。右(左)偏；(2)。若口2)。，贝()X0,即函数yf(x)在区间a，X2）上极大（小）值点X0左（右）偏。证明：（1）因为可导函数yf（x）,在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0,则函数yf（x）的单调递增（减）区间为（a,x0）,单调递减（增）区间为（x0，b）,又a%X2b,有十（a,b）由于f,（宁）0,故12（a*）,所以三（）x0,即函数极大（小）值点xo右（左）偏。结论（2）证明略。判定定理2对于可导函数yf（x）,在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0,方程f（x）0的解分别为为、xz,且a%x?b,（1）若f（%）f（2%x?）,

3、则12（）x0即函数yf（x）在区间（xi,xz）上极大（小）值点xo右（左）偏;（2）若f（xi）f（2xoxz），则合2（）x0即函数yf（x）在区间（X,x2）上极大（小）值点xo左（右）偏。证明：（1）因为对于可导函数yf（x）在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x。,则函数yf（x）的单调递增（减）区间为（a，%）,单调递减（增）区间为（x0，b）,又aXiX2b,有xix0,且2X0X2Xo,3f（Xi）f（2xoX2）,Xi（）2X0X2，所以宝（）X0,即函数极大（小）值点Xo右（左）偏.结论（2）证明略。应用举例例1:函数f（X）X4；X3,与直线ya（a交于33A（Xi

4、,a）、B（X2,a）,证明：xx22。解法1：（运用定义证明）：设XiX2,由题意得Xi44X13a, x4 4x333a，两式相减整理得XiX24,22、(XiXi x2x2 )322XiX2t *(t i)XiXiX23(t2 t Dt2 i4 4 t23 3 t2 i2, IP XiX22 O由于仅用a难表示XiX2,故两式相减）构造用t至表示XiX2的函数求解。Xi解法2：（运用判定定理i证明）：设XiX2f(x)4x34x2,函数f(x)X44X3的单调递减区间为34(.22)(1),单调递增区间为(1,),又xix2xix2有f,(y)与ao贝(J121)即xix22。23(x1

5、x2),2判断(二!)与0的关系，此解法用的是不等式放缩法。当然，也可构造函数求解。解法3:(运用判定定理2证明)：设为x2,函数f(x)x49的单调递减区间为(，1),3单调递增区间为(1,)，有x21,设F(x)f(1x)f(1x),F'(x)8(3x22x1)0,故F(x)单调递增区间为(，)，又F(0)0,所以当x0时，F(x)F(0)0,即x时，f(1x)f(1x).f(x)f(x2)f(1(x21)f(2x2)，又x11,2x21,又函数f(x)x44x3单调递减区间为(，1),所以、2x2,得证。3运用判定定理2解决极决极值点偏移的是构构函数，构构函数F(x)f(1x)f

6、(1x)为此题的难点。例2:(2013天津文)已知函数f(x)L|ex.1x(1)求f(x)的单调区问；(2)证明：当f(x1)f(x2)(x1x2),x1x20.分析：构造对称函数(2010天津理)已知函数f(x)xex(xR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)已知函数yg(x)的图像与函数yf(x)的图像关于直线x1对称,证明：当x1时，f(x)g(x);(3)如果xix2,且f(x1)f(x2),证明：x1x22.分析：(3)构造比较函数。对数平均不等式：定义：两个正数a、b的对数平均L(a,b)b),有如下关系:ab/(alnalnba(ab)ab.abL(a,b)2指数不等式：在对数平均的定义中，设a_m.e,b则E(a,b)n(mmnem(mn)n),根据对数平均mn不等式有如下关系：e=E(a,b)例4:设函数f(x)ex且x1x2.(1)求x的取值范围；证明：f'(.x1x2)ax0.a(aR),其图像与x轴交于A(为,0)、B(x2,0),例5：(2011辽宁)已知函数f(x)lnxax2(2a)x