数理统计与随机过程讲义

1、第四章假设检验是数理统计的分支。从开展假设检验是一种重要应用价值的统计推断形式, 历史上有重要的节点为1 : Pearson的拟合优度的 2检验19002： Fisher的显著性检验19203： Neyman-Pearsor一致最优检验 19284： Wald的判决理论19505： Bayes方法二战之后开展的学派§4.1根本术语关于随机变量的分布、数字特征等，每一种论断都称为统计假设，分为参 数假设和非参数假设，例如X Nu,；2，假设H : u =1,；=1就称为参数假设； 给定一组样本值，假设H : X 正态分布，对于分布进行论断，为非参数假设。无论上面那种假设，都是给出一个对

2、立的假设，比方 XNu,；_，那么假 设H° ：u =1,；1的对立假设就是 已：u = 1 - 1，我们就把H。称为根本假设，或 者原假设，而H1就称为对立备选假设。为了分别那个假设是对的，需要判断假设真伪，就是对假设做出否还是是的程序就是检验，这个检验常用否认域形式给出，按照一定规那么把样本值集合分成两个局部V _ V，当样本值落入子集V认为H。不真，那么V是H。的否认 域，V为H。的接受域。那么这样就产生了两种错误：第一类错误a :本来H。是真，但是却否认了，弃真；选定一种检验方法，我们希望上述两种错误概率都小。但是给定样本容量, 使得两种错误任意小是不可能的，我们主要研究两大

3、类检验方法：1:样本容量给定，控制第一类错误，使得错误概率有一个上界：，叫做检验的显著性水平，根据这种原那么建立的检验就是 _水平显著性检验；2：样本容量给定，控制第一类错误：水平固定，还使得第二类错误最小，就是 接受不真实假设的概率最小，否认不真实假设的概率就称为检验成效1-B,使得成效最大，根据这种原那么建立的检验就是:-水平最大成效检验，或者最正确检验。§4.2参数假设检验设X符合分布Fx门，未知参数"心参数空间，空间分成两局部 Qo和0-0。，二者交集为空主要对于正态分布参数的统计假设的显著性检验方法。1针对不同问题，提出根本假设与备选假设H0 :% H,:八心-%

4、如果参数空间仅仅是由v 和v -6两个点组成的，那么我们称 简单假设，否 那么是复合假设。2给定检验的显著性水平：，其大小依据不同问题不同，比方火箭、飞机等可 靠性问题，:要越小越好，对于一般生产问题，太小了那么意味着生产时间和 本钱的增加；3建立对于根本假设的统计量和否认域；4取样，计算统计量值，落入否认域那么判读 H。为假，否那么为真。例子：某种药片制剂中国家规定成分 A的含量X必须为10%，现在抽取5个片 剂试样，测得A的含量为10.9%9.45%10.38%9.61%9.92%假设X Nuo =10%,匚2，按照显著性水平:=0.05进行检验是否与规定10%相 符？解：建立根本假设H。

5、: u二u。，这里显著性水平:=0.05,样本容量为5,样本 值如上。如何确定统计量呢？样本均值 X可以求出，但是这里方差未知，用无偏估计量S；*来代替二2，那么统计量X - U0II 2*/n t(n -1)这是我们以前推导过的，因此可以建立否认域为P"|t 卜°那么 X -丫 N(“-U2,n1£，n2那么一个新的变量_i 5回到我们的问题，X = 0.1005，s2* =V (Xi -X)2 = 0.00592，那么 5 1 i 二t = X；U0 =1.6949为统计量的值，由显著性水平a =0.05，我们查得 .Sn / n10.05 (4) =2.77

6、64。由于t=1.6949vt哎(4) = 2.7764，这个统计量值落在否认域之外，就是说基 2-本假设是真的，因此判断显著性水平:=0.05下规定成分A的含量与规定10%相 符的。两样本t检验法：有时为了比拟两种方法、仪器、产品等的差异性，我们在 相同条件下做比照试验，然后得到成对的数据，分析这些数据作出推断。 再次回忆第二章中定理定理：设,X2,，Xni子样来自母体NJ,；2)，yn2子样来自母体 Njl)，n1Yyi N(U2戶),n2 i =1n2N(U2,打)，各自的子样均值 X =丄J Xi yU =(X U2)N(0,1)，假设 2，V =_二32* 理 js；*符合 2n 1

7、-1+ 2n2 -1，即 2厲 n2-2，加和性质1 . 2且上述两个变量相互独立。那么依据定义吐匚 2"一2例子：设两种橡胶轮胎进行耐磨性试验比照， 从中各自随机取8个，各取一 个随机配对装在8架飞机上，经过一段时间测量磨损量如下单位毫克这里显 著性水平:-=0.05。X49005220550060204870634076608650Y49304900514057005010611068807930方法一：假设两个母体Ng,；'，NU2,；2方差一样原假设 H 0: 5 = u2，对立假设为H1 : u1 - u2独立那么按照上述定理得到*2 * 2X =6145 S 1

8、8 6 7 3;1 Y =5825 S 1 20442代入得到U.V/14= 0.516 t(14)n假设，设Z 亠 Z =320，S2*n i =1查表切/2 =2.145，可见大于计算的统计量值，那么就不否认接受假 设H。，认为二者磨损量无显著差异。方法二：我们采用配对实验Z=X-Y -30320360320-1402307807202由于E召二耳人-yj12"，DZj=D幻DyJ 乂d那么，Zi是来自母体Nd,；D的正态母体，此时假设Ho: u U2等价于d = 0的nz -Z2 =102200,那么我们也可以构造.S；2/n-2.83 t7i =1查表，显著性水平:=0.05

9、下，切/2 = 2.365，我们发现2.83 2.365，说明落在了否认域，即否认原假设Ho，两种轮胎的耐磨性是有差异的。讨论：同一显著性水平:=0.05下，相同的数据，为何两种方法得到完全不同的 推断结论呢？这是因为，配对分析时，自由度下降了 n=8-1，从而临界值提高了， 即ti4"2 =2.365，增加了否认原假设的可能性，每架飞机突出两种轮胎之间差 异，消除了飞机之间的数据影响，只要两个轮子耐磨性有一定差异， 就可能否认 假设Ho ;而不做配对，自由度增加为8+8-2=14,临界值降低，减小了否认原假 设的可能性。什么时候用方法一还是方法二，还是得靠具体情况定。其他不同的问题

10、，构造不同的统计量，利用不同的分布进行检验，书上有基 本的统计量表格，无非就是查表计算问题。§4.3非参数假设的2检验所谓非参数假设，就是不确切知道母体分布的数学形式的情况下，对于母体分布的各种论断，比方服从什么什么分布，相互独立，等等。其特点是：A 不依赖与母体分布的具体形式，什么形式都适用的检验；B由于缺乏母体分布的完全知识，所以使用的统计量精确分布难以求出，只 能求出极限分布，一般需要大样本容量。Pearson提出了 2检验法，步骤为：r1 ：将所有观测值X进行分割不同子集x =U Ak，A" Aj = g i式j，子集的kd数目为r ；2 :统计观测值在每个子集Ak

11、中出现的频数nk 出现的次数，当然满足rnk =n ;k m3：在根本假设H。真实的情况下，就是按照我们设定的分布概率密度函数，计算每个子集Ak中的理论期望频数，设落入概率为rPk =Px Ak |Ho= . fx| Hodx，k=1,2, ,r，' Pk =1 注意这是概率Akk =1那么我们得到期望频数为E二nPk，就是总共抽取n个样本，那么每个子集Ak内理论上应该抽取了几个。4) 建立统计量(2)2&(nnpk)22(_i)k 4Enkk 4nPk符合2(r-1)分布，且表示了实际观察和理论结果之间相对差异的总和，当这个值大于某个临界值，贝U否认此假设。否那么接受假设。P

12、earson证明 为何上述统计量符合2(r -1)分布：证明：1)当r=2两个子集，n1 n2二n，P1 P2 =12 2 2那么 2 =打込 nK)(n1 - nP)2乙nPkn P(1-P)这里注意(n2 -nP2)2 = (n - a -n(1 - P)2 = (m -nR)2，代入即可那么由De Moirre-Laplace (隶莫弗)定理，二项分布n = n 1 -nP 一 的极限 JnP(1-P)分布为标准正态分布，即N(0,1)，那么2 2(2-1)分布。这是r=2时是符合的。2)当r 2的一般情况r我们知道频数有nk =n，上面为二项分布，这里符合多项分布k 二fP,，Pn!山

13、!*匕!* nr!门1nrP11 P roooooooCODBi B2.Pl P2Ptn _ nP同样由中心极限定理 j j N(0,1)，那么詐刑一片)nj _nPj肿 N(0,1 Pj)2八业呂丄(nk -严)就是r个正态随机变量的平方和，但是由于这k 4E nkk 4EnknPk些变量之间有一个制约关系。 样证明方法，构造的正交矩阵aij使得Z二AY，我们会发现r nj _nR就像前面我们证明正态母体均值和方差的分布时一二 nj ,Pj =丄(£ nj _n£ R)=0 j占 -n n j吕j弓r2rr2(nk nFk)Yk八Zk，只是r -1正态变量的平方和，所以自

14、由度为k 吕nPkk 吕k =2nPkr -1。损失的信息就是因为那个制约关系存在。Fisher推论：如果分布f(X;旳有 m 个未知参数-(SUCm)，那么 迟汽(nk呼)2服从32(r-m-1)分布，这里曾越，或)是最大似然估计 k nP?量，Pk也是有？ =，纟)利用最大似然估计之后，代入假设的分布函数f(X;8)计算得到的。因为闵,，號)也是从样本数据中得到的，已经用掉了 m个信息量。或者从矩阵的思想考虑，将(nk弓跟)2写成矩阵形式，心nF?其rank是r-m-1，这个证明具体可以参考陈希孺的?数理统计引论?。注意1)此定理是由样本容量n足够大，因此nPk不应该太小一 般选取n 一5

15、0, nPk-5，如果小了，那么进行合并处理。具体看下面例子2)存在下面的转换¥ =； (nk nPk)2乙nPkr 2、 nknk i n耳r222n k 2nknPk +n Pk =Lk 4nPkr=11 k4 nPk2rkJ 2、nk ' nPkkJk4为什么这样转换？计算了 nR，上面每次都要做减法再平方，除法，而下面少了 r-1次减法。计算量下降了。这也是编程序时注意的例1 在一实验中，每隔一定时间观察一次由某种铀所放射 的到达计数器上的尬粒子数X,共观察了 100次得结果如下表所 示t表£2 铀放射的到迭计数器上的=粒子数的实验记录0J234567S13

16、1011 12X1516171 19921 2I0A|丿A,A*a,3A；儿 I，其中/；是观察到有F个婕粒子的次数从理论上考虑知X应服从泊 松分布PX = /二斗，/ 二 0,1亡！匕 7】！问6了式是否符合实际取庄=0W?即在水平仄05下检验假 设"濮总体XBR从泊松分布：浓缩铀 Enriched Uranium ，指经过同位素提炼后，铀235含量超过90%的铀金属，与其 相对的是贫化铀。不管是和平利用 核能，还是为制造 核武器，浓缩铀都是必要的。 因此， 国际原子能机构希望能够控制全球各国所有铀浓缩活动，以防止核武器扩散。a粒子是一种放射性粒子，由两个质子及两个中子组成，并不带

17、任何电子，亦即等同于 氦-4的内核，或电离化后的氦 -4，He2+。通常具有放射性而原子量较大的化学元素，会透 过a衰变放射出a粒子，从而变成较轻的元素，直至该元素稳定为止。由于a粒子的体积比拟大，又带两个正电荷，很容易就可以电离其他物质。因此，它的能量亦散失得较快，穿透能力在众多电离辐射中是最弱的，人类的皮肤或一张纸已能隔阻a粒子。a粒子释放出的放射性同位素在人体外部不构成危险。然而，释放a粒子的物质镭、铀等等一旦被吸入或注入，那将是十分危险。它就能直接破坏内脏的细胞。这里n = 100 =瓦£ ( fk = nk，i = k )，总共分了 13个区间，进行统计的。而且i假设poi

18、sson分布还缺一个参数， P(x=i)，那么利用似然估计进行估i!计。构造似然函数n、ii丄L(X; )e1n!那么；:l n L J . 1i n，:./.i T得到最大似然估计量为(要用次数乘以每次观测的个数得到i),再平均，得到? = X = 1 (0* 1 )=4.2100因此我们得带估计参数的理论分布，由此计算理论频数= / ) =»1 0小2“i !解 因在/人中参数人未具休给出所以先估计入由最大似 然估计法得A = 7 = &. 2在U假设F即在X服从洎松分布的假 设下,X所有可能取的值为=代誤几瘠C分成如表& 2所 示的两两不相交的子6那么円X二ZI

19、有估计亠 亠.4< 2 tb 7b = T* X J J =:-, 丿=0*1 扌.! I例如几=- 0； -? 4- =(X(>15,fI打=二刖亠匕厂一18"b «A? = P X 2 12 = 1 工几=Ch 002.例1的F拟合检验计算表0-013 1 'X小师)。 12 I師I5 1S16 n；iw . 11 -)® 069U. OBti'0- 0 75 007 伴 P6>th 0U3计箕结果如表& 3所示其中有些的组予以适当合并畀吏得 爲组均有川入耳氣如表屮第四列花括号所从此处，并组后k 但因在if算槪率时/占

20、计了个参数仏故厂-1用的自由度为 8 - 1 - I 匸 6* 戏讪« - r - 1)Z?-(6)= 12, 592,现在 Z'-106.281 一 100 二 6.281 V 12. 592故左水甲山 05 下接受 11 即 认为样本来自泊松分布总体.也就是说认为理论上的站论是符合 实际的*注意：Pearson统计方法也可以验证母体是否服从某个给定的分布F°(x)，即假设H。： F(x) =F°(x)。实质是检验对于划分区间上 Ho：F(x) = F°(Xi)，并没有对每个 点进行计算，虽然这样有可能把不真实的假设包含进来，但是概率很小。FS

21、 FS-i 码念一歼陽-工=西， = 2, *-, r 1 和F Csx曰 F=0°独立性检验：设两个母体，分布抽取的样本向量X和Y，那么二者相关性定义为,cov(x, y)E(x -mx)(y - my)6 巧jE(xmx)2jE(y my)2叫做相关系数，如果为0那么不相关。从分布来看，设F(x,y)为联合分布，F(x)和F(y)各自的边缘分布，那么两 个变量的独立性检验就是Ho： F(x,y)=F(x) F(y)实际中我们总是随机抽样来考察其独立性，设容量为n的二维随机样本(Xj,yJ，x和y的可能取值分别分成r个和s个互不相交的小区间，用氐表示x属 于区间i和y属于区间k的个

22、数。為12| V *712f-殛1恤ir i 8-傀!ar%nTt咛2n-a1Jn记做srr s山八 nk， n二 n ik，n 二二九k =1i =ii =1k=i同时设x属于区间i和y属于区间k的概率为p(i, k)，那么我们得到边缘概率rp(,k)二為 p(i,k)，7s、P(i,k) =' P(勺k)二' p(i,)=1k 二kJi 4独立性假设就是Ho： p(i,k)= p(i,) p( ；k)p(i,)和p(,k)都需要从数据(Xi,yj中进行估计，由于制约关系共需要估计r飞一2量即可p(,k)=1r、p(i,*H1i -1按照最大似然估计方法很容易得到估计概率就是

23、?(i,)二 n*，?(，k)= n*nn因此，按照一维统计量公式nPk；2 _ ' (nk - nPk )k生二维统计量公式72 =(氐 一n?(i，k)21k吕n ?(i, k)由于 n?(i,k)二 n ?(i,) ?(,k) = ni 八，所以n(*k n?(i,k)2 =£ £ n ?(i, k) i 1 kd由于原来自由度没有估计参数时是rs -1，现在估计了 r - s-2个概率参数，所以上式符合了2(r -1)(1)的分布例题 当时，联立表2称为是四分的又称为四楮表?.例3调查339名50岁以上吸烟习惯与患慢性气管炎病 的关系'得下表.试问吸

24、烟者与不吸烟者慢性气管炎患病率是否 有所不同.表3患慢性气骨炎者未患慢性气管炎者會1!懸病祁烟20521.0T扳J31211134&+7S :2B333916.5在这里对每个对象考察两个指标，强是否吸烟;Y是否 患慢性气骨炎.它们均各取两种值，4吸烟 不吸烟； 兔患慢性气管炎，丑马未患慢性气管炎.所以由17式得貝205A134P1-* 839Jgm 丄33956283Plf> 2 =339代入18式得(43-206x56/339)2 匚(162-205 X 283/339)3205x56/339文G"矚祸厂(13 半4x56,23 对严(121 -134X 283/33

25、9) a134x56/339_'34x2a3/339(43-33.S6)5(162-171.14)( 13 -22A4)133 8厂 丁171/14十 辺自曲It-r-l对« = 0.01査表附表羽得 乜二&阴§显然7.48Ad63$ 所以我们拒绝假设 日.，即认为慢性气 管炎的患病率与吸烟有关.讯4广义似然比检验1928 年 NeymanPearson利用这里主要解决如何得到统计量的问题' 似然比的方法获得统计量的一般方法：设x的分布参数有两个假设，必居其一:根本假设 H0: x f(x;r)，丁- U0对立假设巴：x fx;旳，关于随机样本X的联

26、合概率分布为n根本假设 Ho：&x;R：|丨fxL，才心0i 二n对立假设gX；r： | fXi；d , v L-打i 4那么定义似然比为supi 丨0 i 1f (x；71)supi 丨 f(Xi；：)类似于最大似然估计问题中一样的原理，如果似然比值LX较小，那么表明属于假设H。：的概率要比属于假设 已：的概率小，那么应该拒绝根本假设，因 此PLx乞 L0 -我们称为否认域，否认根本假设，这种假设检验称为:水平的广义似然比检验。广义似然比检验有什么意义？意义在于能够构造用于假设检验的统计量例子：正态母体Nu,；2均值和方差都未知，那么假设根本假设 Ho： xi 丨 fx;u0,；2，

27、 u 二u0对立假设已：x| fx;u,；2， u=u0g°(X)二supu Ho|；唸存一。齐 *x+2'n =代入得到-_ 十/2' 为X2 nX u。2 lb丄e/2n i同理对于 g。 =sup '1 c e 2& 3号0匕：2°n-u2nnX ' 冷;?2 = -X2 n i =代入得到gix=再厂旦xX那么广义似然比LXgo =1 gin _ 2 2送N X +nX Uoi =1n送x -X2一 y一/2=P+n-U你会发现当均值和方差都未知时，应该用统计检验量t二x；U0，这也是t分布/n和t检验的由来。例子：2检验统计

28、量怎么构建的?任意一种母体X，仅仅取r个值的离散随机变量，其概率分布为PX "厂 P, i =1,2/ ,r，r这里v -R，且P =1由于上述制约条件，其参数空间是 r-1维空间。我们设i =1根本假设H°： P =R°，Pg =R°Pr0其子样取值X1，,Xn进行计算频数，以ni表示Xi取i =1,2，r的个数，且rv nj二n，那么有i ±得到广义似然比为ln L(X) =ln 空R6nRo展开r=-i 4nF% n, - nR°ln 1亠 ni 一nRonRo由于nRo和n,接近，可以小参数nR0 ni - nR0n - nR

29、o 12nRo-nRo nRo0()r=-'i -1g -nRo)2/nRo y21 (ni - nR0). o ()2 nR()=1 ni 4 2- nR0 nRo我们发现自然出现了Rearson定理中的2八，丄k吕-nFk)knPk2-检验统计量。结论：广义似然比检验能够构造检验方法中所用到的检验统计量，其地位和最 大似然估计方法一样。§4.5最大成效检验:水平显著性检验一般规那么就是建立一个统计量，然后判断此统计量U (X)R|U(X)| Z; < :来肯定根本假设。但是每种检验方法都相对于一个统计检验量，怎么衡量那种检 验方法好？存在一个最优的检验方法吗？H &

30、#176;门- 是一种假设，但是有可能真实分布参数为 =亍的分布，因此把所 有，可能取值的范围0称为容许假设，那么 f (X; " 4称为母体的可能分布 族，那么出：v 。- vo称为备选假设。我们再次分析两类错误：H。：日=6真已：日 0 _日0真接受H。正确概率第II类错误拒绝H 0第1类错误正确概率我们希望上述两类错误都是最低，但是实际上不可能，当样本容量一定时, 两类错误不可能同时被控制。限制第一类错误：Px V | H。 _%，对于H°为真，样本值否认域V内的概率小于显著水平的前提下，使得Px V| H-心的正确概率最大，在此原那么下，定义成效函数势函数"

31、;R =Px V当Ho为真，势函数就是第一类错误，当Hi：厂® -厲为真，势函数为正确检测概率。最大成效most power; MP检验：supPx V | H0乞：,'-0maxT" :minJ-例子：母体正态Nu,；2，方差，对于均值有两种假设H0: u =u0比：u =比 u0给定显著性水平:-下，考虑下面四种否认域Uo、品2 / n-Z ：-/2V3 =X Uo j Jcr2/n这几种检验那个好？我们来看第二类错误大小，或者看成效大小。当Hi：U=UiU0为真时， N =-U=,1的分布，均值挪动了品 /nVc / n我们来看第一种检验的成效：他1 e

32、9;字dx=1Z J依次类推我们得到其他三种否认域检验的成效dx =_Z：. _曲=1 _GZ：.厶乜5=2-GZ：./2®-GZ：./2/Uj 几Z：./2 习 GZ：./2-1当我们取=0.1， u0 =0， 4=1,= =1，n=9时，我们计算得到四种成效1=0.9573，2=0.0001,"0.9115,-0.003第一种检验方法成效最大。同理如果，U1可正可负，那么假设变为H0: u =u0H1 :u =比一 I可以推出第三种检验方法V3 = X U0兰Zj/ 2 的成效最大 llv'a2/ n|J例子：母体正态Nu,；2，方差，对于均值有两种假设H0:

33、u =u0 =01给定显著性水平0=0.05下，V3 =2/n-Z./2检验的成效，随样本容量n的变化,2以及给定样本容量n,三种成效:1 上汇Z,.2 2 gid乌uj =厂今e容dxWZ。-：2 二-3(Ui) =2- >(Z.)- .>(Z.-.)如何变化的解：1先解出否认域，查表Z" =1.96当已丄为真时，成效-3(ui) =2- >(Z./2)->(Z./2- )，= U1 . n)(ui)=2：(1.96 U .n) (1.96Ul . n)cra10.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.5in crease the nu

34、mber n11.52随着n增加，成效不断增加，随着U1增加也在增加2这里我们选定n =100，=0.05§4.6 Neyman-Pearson定理这个定理就是告诉我们怎么样找到 MP检验 定义示性函数%x)0这是否认域的表示函数，反之如果一个函数仅仅取0和1,那么那么可以对应一个否认域，二者是一一对应关系。示性函数(x)又叫检验函数，成效函数可以表示 为敘二)二 EJ (x) =(x)f(x;T)dx f(x;)dx = Px VV问这样表达的好处是什么？那么最大成效MP检验说的是，假设任意两个检验方法，对应了俩个检验函数 2(x)和 l(x)Eji(x)U %-ipr 二,

35、76;那么i(x)检验对应的成效比2(x)的大，由任意性，那么称1 (x)检验为MP检验定理：X =(Xi，X2，,Xn)，分布f(x;R，对于简单假设Ho：0，Hi：1，满足EJ(x)八正好等于k>0呛f(x；mkf(xe0)0 f (x；a)ckf (x;日°)那么(x)为：.水平的MP检验，而且肯定存在这样的常数 k使得(x)满足上式证明:(x)满足上面两公式，任意再选一个* (x)也是:水平的检验,E/*(x) - =E° (x)如果我们能证明(x)成效最大即可。(X)- *(x)f(x；K)-kf(x;®)0因为(x)和*(x)都是取1和0的二值函

36、数，所以当(x)- *(x) >0，那么(x)取1，f (x;齐)-kf (xRo) 0，当(x) - *(x)<0，那么(x)取 0, f(x;：i)- kf (x;=0)： 0， 因此上式必成立。对之积分(X)- *(x) f(x)-kf(x;v0)dx_0Ej (x) -EJ*(x) kEJ (x) -kEJ *(x) 一0那么得出E(x) _Ep*(x)那么说明(x)检验的成效大，由于*(x)的任意性，那么可以得出(x)检验的就是MP检验此定理告诉我们MP检验归结于求似然函数L(X)和一个比值k1(x)=0f (xR)f (xj。):k例子：从MP检验的角度看二进制调幅通信

37、，用幅值 0和A>0来代表二进制信 息0和1,每个比特时间持续T,但是这个时间T内，你是不知到底是发送0和 1的，只有采样进行判别，但是这个二进制调幅信号传输过程中遭到高斯噪声污 染，因此我们面临着判断H0: u =0,x N(0,；2)H1 :u=A,x N(A,；2)2、 1_Xi2给样本 X 二xX2，x门，对于 Ho， f X ;u 二 0.e 2"(为)21 n 2Hi， f(X;u = A)=n 尹 aV2h<t2 那么似然比有L(X)=f (X;u =A)f (X;u =0)=exp2 2(x A) Xxi-k，那么得到统计量2 2-2二 In k nAX 二2 nA当原假设成立时，X符合N0,；2/n的分布，那么满足：水平时，我们可以先确 定判别门限，假设信息1和0各自传输概率为1/2,依据最小错误率准那么，可以得 到k =1，这里暗含了 Bayesian准那么，得出检验统计量为-J>A/2,信息 1L< A/2,信息 0例子：设总体X符合Bernoulli分布B 1，p，p是未知参数，原假设为H°: p = p°与