欧拉法解常微分方程

1、数学与计算科学学院实 验 报 告实验项目名称 Eular方法求解一阶常微分方程数值解 所属课程名称 偏微分方程数值解 实 验 类 型 验证性 实 验 日 期 2015-3-26 班 级 学 号 姓 名 成 绩 一、实验概述：【实验目的】 熟练掌握应用显性Eular法和隐式Eular法求解一般一阶常微分方程的近似数值解。【实验原理】虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程。求解从实际问题当中归结出来的微分方程主要靠数值解法。欧拉方法是一类重要的数值解法。这类方法回避解y(x)的函数表达式，而是寻求它在一系列离散节点上的近似值，相邻的两个节点的间距称作步长。

2、假定步长为定数。欧拉方法是一类离散化方法，这类方法将寻求解y(x)的分析问题转化为计算离散值值的代数问题，从而使问题获得了实质性的简化。然而随之带来的困难是，由于数据量往往很大，差分方法所归结出的可能是个大规模的代数方程组。 【实验环境】1. 硬件环境 2. 2.软件环境 MATLAB7.02、 实验内容：【实验过程】（实验步骤）(一)实验任务 描述某种化学反应过程的方程，利用显性和隐形Eualar方法求解下列一阶线性微分方程组的近似数值解： (2) 求解过程 Eular方法： 一阶线性微分方程初值问题 （1）方程离散化：差分和差商 （2） 通过初始值，依据递推公式（2）逐步算出就为显性的Eu

3、lar方法。隐形Eular方法： （3） 公式（3）即为隐式Eular公式。（三）程序算法1. 利用显式Eular法方求解 利用MATLAB进行求解，编写脚本文件如下：文件名：hql.m %显性Eular方法 f0=1; g0 =0;z0=0 delta=0.01; time=1; t=0:delta:time; f=zeros(size(t); g=zeros(size(t); z=zeros(size(t); f1=zeros(size(t); g1=zeros(size(t); z1=zeros(size(t); f(1)=f0; g(1)=g0; z(1)=z0; for i=2:le

4、ngth(t) f1(i-1) = -0.04*f(i-1) + 10000*f(i-1)*g(i-1); f(i)=f(i-1)+f1(i-1)*delta; g1(i-1) = 0.04*f(i-1) - 10000*f(i-1)*g(i-1)-3*107*g(i-1)2; g(i)=g(i-1)+g1(i-1)*delta; z1(i-1)=3*107*g(i-1)2; z(i)=z(i-1)+z(i-1)*delta; Fun=f+g+z end figure plot(t,f,'o'); xlabel('t'); ylabel('y1'

5、); title('t-y1变化图') figure plot(t,g,'o'); xlabel('t'); ylabel('y2'); title('t-y2变化图') figure plot(t,z,'o'); xlabel('t'); ylabel('y3'); title('t-y3变化图') figure plot(t,Fun); xlabel('t'); ylabel('y1+y2+y3'); title(&

6、#39;t-y1+y2+y3变化图')【实验结论】 A步长h=0.001时进行数据测试。结果如下：迭代第一次时，结果与方程描述内容相符。迭代第二次时，结果与方程描述内容基本相符。迭代三次时，结果与方程描述内容基本相符。迭代1000次时，模拟结果已经严重脱离事实，故当选择delta为0.001时，该迭代方法不收敛。时间与个变量直接的变化关系如图所示：从上述图形可以明显看出，在迭代的不断进行时，各变量与时间的变化越来越大，且严重脱离了方程所描述的现实意义。B.当选择h=0.00000001时，模拟结果如下： 迭代第一次， 与A中结果相同。 迭代第二次， 跌二次迭代结果明显优于一中。跌三次迭

7、代结果，并未产生误差。地1000次迭代结果， 结果明显是收敛的。 时间与个变量直接的变化关系如图所示：从图中能够清晰看出，当h=0.00000001时，模拟结果与方程所表示的显示意义相吻合。说明了显性Eualr方法的收敛性是与步长的选择是相关。这就对我们们选择步长造成了困难，由于选择的步长不合适有可能得出错误的结论。【实验小结】（收获体会）1、 软件使用 在写MATLAB语言的时候要深刻理解题的意图，整理好思绪再做题目，在我运算的过程中，h取值取得越小、越细微，曲线逼近的越好。2、欧拉法的缺点 简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不

8、用于实际计算。3、 实验感想 在这次上机实验中，我掌握了解决常微分方程的基本方法，同时学会使用计算机软件对两种不同方法得到的结果进行判断，对我们以后对数据进行分析很有帮助。三、指导教师评语及成绩：评 语评语等级优良中及格不及格1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）4实验结论正确. 成 绩： 指导教师签名： 批阅日期：附录：源 程 序程序1：%显性Eular方法f0=1; g0 =0;z0=0delta=0.00000001; time=0.00001;t=0:delta:time; f=zeros(s

9、ize(t);g=zeros(size(t);z=zeros(size(t);f1=zeros(size(t);g1=zeros(size(t);z1=zeros(size(t); f(1)=f0;g(1)=g0;z(1)=z0;for i=2:length(t) f1(i-1) = -0.04*f(i-1) + 10000*f(i-1)*g(i-1); f(i)=f(i-1)+f1(i-1)*delta; g1(i-1) = 0.04*f(i-1) - 10000*f(i-1)*g(i-1)-3*107*g(i-1)2; g(i)=g(i-1)+g1(i-1)*delta; z1(i-1)=3*107*g(i-1)2; z(i)=z(i-1)+z(i-1)*delta; Fun=f+g+zend figureplot(t,f,'o');xlabel('t');ylabel('y1');title('t-y1变化图') figureplot(t,g,'o');xlabel('t');ylabel('y2');title('t-y2变化图') figureplot(t,z,'o');xlabe