从欧拉示性类到Morse 理论

1、从欧拉示性类到Morse理论贺正需 崔贵珍 沈良 拓扑是现代数学的一个很大的分支，近代数学可以说基本上是围绕拓扑发展的。有人作过统计，说获得菲尔兹奖的人中有二分之一是作拓扑研究的，当然这个统计有争议，但即使没有这么多，至少也有三分之一的人是在拓扑领域的，剩下的二分之一和三分之一之间，有一部分人可以说是作拓扑，也可以说是分析或者别的领域，所以说，这个理论对现代数学的影响确实很大。这个理论的教父就是18世纪最伟大的数学家欧拉，他所作的贡献遍布整个数学的领域。 我今天要讲的是示性类和Morse理论，因为那时拓扑还处于萌芽阶段，所以问题都比较简单，你们绝对能听懂欧拉当时的研究是从多面体开始的，我们今天

2、也从多面体开始讲。1 欧拉示性类11 多面体12 欧拉示性类 定义 设多面体的顶点数为V、边数为E、面数为F。cVE+F为多面体的欧拉示性类。下面我们列一个图表：顶点数V边数E面数FcVE+F正四面体4642正六面体81262正八面体61282正十二面体2030122正二十面体1230202亏格为0的多面体都是单连通的，这个现象就是欧拉定理： 定理 任何单连通多面体的欧拉示性类等于2：cVE+F2 这个定理是整个拓扑学奠基的一个定理。因为凸多面体都是单连通的，所以我们有推论： 推论 对于任何凸多面体，其欧拉示性类等于2。 对于有亏格的多面体，我们也有结论： 定理 对于亏格为g的多面体，其欧拉示

3、性类为22g13 对拓扑学的影响拓扑是上个世纪才形成的一个学科，简单地说，拓扑研究的就是像欧拉示性类这样的量，它是连续变化中的不变量，并且我们还可以考虑将这种量推广到高维的情形，如对n维流形，我们有定义：cA0一Al+A2一A3+(一1)nAn，其中A0顶点数，A1边数，A2=面数，A3=三维多面体数， 欧拉示性类是拓扑学的一个基本概念，对现代数学，理论物理等学科的发展起了关键作用。14 应用 作为欧拉示性类的一个有趣的应用，我们来证明一个古典的定理： 定理 除了前面提到的五种正多面体外，不存在第六种单连通的正多面体。 这个定理的证明可以用几何的方法，但最好的证明我认为是用拓扑的方法，因为它不

4、用考虑角度，多面体可以放在任何空间，比如说双曲空间中也是不存在第六种正多面体的，下面这个证明对于任何空间的多面体都是成立的。 证明 任给一个正多面体，设它有V个顶点，E条边，F个面；每个顶点过k条边，每个面是j边形。 因为每条边有2个顶点，每条边是2个面的交线，所以我们有kV=2E，jF=2E，而欧拉示性类cVE+F2因此我们有 cVE+F2E/kE+2E /j=2，故1/k +1 /j=1/2+1/E。 因为k，j，E都是正整数，经过初等计算，所有可能的(k，j，E)为：(3，3，6)，(3，4，12)，(4，3，12)，(3，5，30)，(5，3，30) 以上的五个解正好对应于五种正多面体

5、，所以不存在第六种正多面体。15 多面体的对偶性 定义 给一个平面图，每个面用一个点代替，有公共边的两个面所对应的点用线段连接，则得到一个新的图，称之为对偶的图。 性质 每个多面体都有对偶，对偶的对偶是自己。16 正多面体的对偶 正四面体的对偶是它自己； 正六面体的对偶是正八面体，正八面体的对偶是正六面体； 正十二面体的对偶是正二十面体，正二十面体的对偶是正十二面体。 (V，E，F)(F，E，V)2 Morse理论 Morse理论是建立在欧拉示性类基础上的，在任何维数都成立其研究流形上光滑函数的临界点与流形本身拓扑结构之间的关系，是拓扑学中重要的理论，在现代数学中有着极为重要的作用。21 一维

6、情形 圆周是一个一维流形，设F是圆周上的光滑实函数，考察使得导数F'为0的点。设G(t)F(expit)，G(t)的周期为2。 那么Morse理论就是局部最大值的个数等于局部最小值的个数。22 二维情形 设想高低起伏的岛，F是高度函数(F(x，y)是坐标(x，y)点的高度)。考察它的峰点，洼点，以及如图所示的马鞍点(过山点)。 设V是峰点数，P是洼点数，S是马鞍点数。 Morse定理 对于任何(随意构造)的岛，VS+P1。23 欧拉示性类的另一个应用 圆形水池的水流：Figure 在漩涡中心水速为零 Brouwer不动点定理(二维情形) 不论水池中的水流多么复杂，总能找到一点，它的水速为零。 此定理在高维也成立。 在三维情形下，定理可以叙述为：在一个完全密封的房间里(空气可以在房间里任意流动)，总能找到一点，它的风速为零。 证明的基本思想是欧拉示性类。24 后续发展 欧拉示性类的后续发展：Pontryagin示性类