数学常微分方程第五章

1、 5.2线性微分方程组的一般理论General Theory of Linear ODEs 5.2General Theory of Linear ODEs本节要求/Requirements/ 掌握线性齐次微分方程组的解的性质及代数结构。 掌握线性非齐次微分方程组的解的代数结构，理解常数变易法的基本思想。 5.2General Theory of Linear ODEsdx = x = A(t) x +f (t)(5.14)dt如果 f (t) 0如果 f (t) 0则(5.14)称为非齐次线性的。则方程 (5.15）称为齐次线性的。x = A(t) x(5.15)若A(t) 为常数矩阵，则称

2、为常系数线性方程组。x = Ax 5.2General Theory of Linear ODEs5.2.1 齐线性微分方程组x = A(t) x(5.15)定理2（叠）如果 u(t)和 v(t)是(5.15)的解，a u(t) + b v(t) 也是(5.15)的解。则它们的线性组合证明：a u(t) + b v(t) = a u(t) + b v(t)= a A(t)u(t) + bA(t) v(t) = A(t)a u(t) + b v(t) 5.2General Theory of Linear ODEs如果n (t) 是(5.15)的解，则(t)也是(5.15)的解。x (t) =

3、sin t , x(t) = cost 可验证cost- sin t12是方程组 x = 01 x的解，则-10x(t) = C sin t + C cost 也是方程组的解。12- sin tcost 5.2General Theory of Linear ODEs基本概念/Basic Concept/a t b 上的向量函数m (t)定义在区间是线性相关的，如果存在不的常数c1, c2 , cm ,c1成立；否则，使得等式m (t) 0,a t b为线性无关的。m (t) 5.2General Theory of Linear ODEs10 0 0t 0 ,例, 线性无关。- t MM M

4、 00kta t b x12 (t) 上的向量函数设有 n 个定义在区间 x11 (t) x1n (t)x(t)21 x(t)x(t)x (t) = ,x (t) = ,L, x(t) = 222n12MnMMx(t)x(t) n 2 xnn (t)n1 5.2General Theory of Linear ODEs由这n个向量函数的行列式， x11 (t)x1n (t)x12 (t)x22 (t)MLLMLx(t)21x2n (t)(t) W (t) detW nMMxx(t)(t)x(t)n1n 2nn称为这些向量函数的行列式。定理3如果向量函数n (t)在区间行列式a t b上线性相关

5、，则它们的W (t) 0,a t b 5.2General Theory of Linear ODEsc1, c2 ,L, cn证明由假设，存在不使得的常数(t) 0,a t b(5.16)(t) = 0(t) = 0(t) = 0其系数行列式恰是 W (t)证毕W (t) 0a t b 5.2General Theory of Linear ODEsn (t)行列式定理4如果(5.15)的解线性无关，那么，它们的W (t) 0,证明 用反证法。a t ba t0 b设有某一个t0 ,使得 W (t0 ) = 0,考虑下面的齐次线性代数方程组：(t0 ) = 0(5.17) 5.2Genera

6、l Theory of Linear ODEs它的系数行列式 W (t0 ) = 0 ，所以(5.17)有非零解c c ,L, c ,(t0 ) = 01,2n以这个非零解作向量函数x(t) (5.18)(t)x(t) 是(5.15)的解，且满足初始条件x(t0 ) = 0(5.19)而在a t b 上恒等于零的向量函数 0 也是(5.15)的满足初始条件(5.19)的解。 5.2General Theory of Linear ODEsx(t) 0由解的唯一性，知道即(t) = 0,a t bc c ,L, c因为不n (t)，这就与1,2n线性无关。定理得证。n (t) 作成的结论由(5.

7、15) 的解行列式W ( t ) 或者恒等于零，或者恒不等于零。 5.2General Theory of Linear ODEs定理5(5.15)一定存在 n 个线性无关的解。010001x1 (t0 ) = ,(t ) = (t ) = ,xxMn0MM2000 1 x1 (t),x2 (t),xn (t)W (t0 ) = 1 0,n (t)线性无关定理得证。 5.2General Theory of Linear ODEs定理6 如果n (t) 是 (5.15) n 个线性无关的解，则(5.15)的任一解 x ( t ) 均可表示为x(t) = c1这里 c1, c2 ,L, cnn

8、(t)是相应的确定常数。证明任取(5.15)的任一解，它满足x(t)x(t0 ) = x0x(t0 ) = c1t0 a, b(5.20)令n (t0 )上式看作是以 c1, c2 ,L, cn量的线性代数方程组， 5.2General Theory of Linear ODEs系数行列式就是线性无关，则W (t0 ),因为W (t0 ) 0n (t)，(5.20)有唯一解c , c ,L, c(t ) = x(t )使得12n00作向量函数它显然是(5.15)的解，且满足条件(t0 ) = x(t0 )(t)x(t) 与(t) 具有相同的初始条件，因此由解的存在唯一性条件可知x(t) = c

9、1 x1 (t) + c2 x2 (t) + cnxn (t)证毕 5.2General Theory of Linear ODEs推论1(5.15)线性无关解的最大个数等于 n 。基本解组： (5.15)的 n 个线性无关解。由(5.15) n 个解的列的矩阵。解矩阵：基解矩阵： 由(5.15) n 个线性无关解的列的矩阵。F(0) = Edet F(t) 0标准基矩阵：定理5和定理6的另一种形式 5.2General Theory of Linear ODEs定理1*(5.15)一定存在基解矩阵；若 y (t)是(5.15)y (t) = F(t)c任一解，则y (t) = c1n (t)

10、定理2*一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是det F(t) 0(a t b)t0 a, b, det F(t0 ) 0,a t b而且，如果对某一个则det F(t) 0, 5.2General Theory of Linear ODEsettet 验证 F(t) = 0 是方程组例1et1x = 11 2 01x的基解矩阵。j1(t) 表示首先证明F(t)是解矩阵。令F(t)解的第一列，j2 (t)表示F(t)的第二列 5.2General Theory of Linear ODEset 1et et 11j1j (t) =1 0 = 0 (t)011100et+ tet 1tet et+ t

11、et 111j (t) =j= = (t)022et101tete这表示 j1(t),j2 (t)是方程组的解，因此F(t) = j1(t),j2 (t)是解矩阵。又因为det F(t) = e2t 0 ，所以 F(t) 是基解矩阵。 5.2General Theory of Linear ODEsx = A(t)xa t b结论：X (t) 是方程组(5.15)的一解矩阵的充要条件是 X (t)必满足关系X (t) = A(t) X (t)X (t) = (= (a t bn (t)n (t)= ( A(t) x1, A(t) x2 ,L, A(t) xn )= A(t)(n ) = A(t

12、) X (t) 5.2General Theory of Linear ODEs如果是(5.15)在区间上的F(t)a t b推论1n n基解矩阵， C 非奇异常数矩阵，那么,也是(5.15)在区间 a t b 上的基解矩阵。F(t)C证明令Y(t) F(t)C(a t b)Y(t) F(t)C A(t)Y(t) A(t)F(t)CY(t)是解矩阵。det Y(t) = det F(t) det C 0a t bY(t)即F(t)C是(5.15)的基解矩阵。证毕 5.2 General Theory of Linear ODEsa t b 上是方程组推论2 如果 F(t), Y(t)在区间(5

13、.15)的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异 n na t b 上Y(t) = F(t)C常数矩阵C,使得在区间F(t) 基解矩阵， F-1(t)证明存在，令F-1(t) Y(t) = X (t)或Y(t) = F(t) X (t)A(t)Y(t) Y (t) F(t) X (t) + F(t) X (t)= A(t)F(t) X (t) + F(t) X (t) = A(t)Y(t) + F(t) X (t)F(t) X (t) = 0Y(t) = F(t)CX (t) = 0X (t) = Cdet C = det F-1(0) Y(0) 0证毕 5.2General Theory of Linear ODEs在区间 a t b 上是某方程组推论3 如果 F(t)的基解矩阵，那么，这个方程组为x = F(t)F-1(t) x设所求方程组为F(t) = A(t)F(t)A(t) = F(t)F-1(t)a t bx = A(t) xa t ba t b证明则故 5.2General Theory of Linear ODEs例已知一个一阶线性齐次方程组的基解矩阵为e2tte2t ，求该方程组。F(t) = 0e2te2t 0- te2t