第02一数微学分积6讲义

1、数学网络课堂系列数学(一)强化课程配套讲义2016授课教师：欢迎使用1数学网络课堂系列目录.1数学强化课程配套讲义1.12016授课教师：第一讲：极限3综述3一、定义与性质31、极限的定义及其考法32、性质及其考法4二、函数极限的计算5三、数列极限的计算8四、极限的应用10第二讲 一元函数微学12综述12一、定义121、导数定义及其考法;132、微分定义153、不定4、定5、定6、变限7. 反常.15.17的精确定义：21.22.23二 计算241、求导242、求.26三、应用28几何应用28四、逻辑推理312数学网络课堂系列第一讲：极限综述：定义与性质，函数极限的计算，数列极限的计算，应用一

2、、定义与性质1、极限的定义及其考法< d 时，f (x) - A < e函数极限： lim f (x) = A Û "e > 0.$d > 0, 当0 <x®x0x - x0注： x ®· 有六种情形，包括(®® +¥ ).,0数列极限： lim xn = a Û "e > 0, $N > 0 ，当n > N 时， xn - a < e .n®¥考法10 :e -d ,e - N 语言的简单使用例：证明：若单调数列xn 的

3、某一子数列xni 收敛于 A，则该数列xn 必收敛于 A.20 ：取e ，讨论 f (x) / xn 的范围例：设lim xn = -2 ，则当 n 充分大时，有()n®¥x > -2 - 1x < -2 + 1(A)(B)nnnn> 1< 1xnxn(C)(D)3数学网络课堂系列2、性质及其考法唯一性：若lim f (x) = A 存在，则 A 唯一.x®·éùúúúû2ln(1+ e )xê 存在，其中 为取整函数，求K，并确定I = lim+ k xxI例

4、：若x®0 ê.1êë ln(1+ ex )局部有界性若lim f (x) = A 存在，则$M > 0,d > 0 ，当0 <x®x0x - x0< d 时，f (x) £ M.3x例：讨论 f在其定义域内的有界性.x局部保号性若lim f (x) = A > 0 ，则存在d > 0 ，使得当0 <x®x0< d 时， f (x) > 0 ；x - x04数学网络课堂系列< d 时， f (x) < 0 ;若 lim f (x) = A < 0 ，则存

5、在d > 0 ，使得当0 <x - x0x®x0若存在d > 0 ，使得当0 << d 时， f (x) ³ 0 ，若 lim f (x) 存在，则 lim f( x) ³0x - x0x - x0.x®x0x®x0若存在d > 0 ，使得当0 << d 时， f (x) £ 0 ，若 lim f (x) 存在，则 lim f (x) £ 0 .x®x0x®x0f (x) - f (x0 ) = -1，则f (x) 在 x = x例：若limx®x

6、0处（）.0(x - x )20A.取最大值B.取极大值 C.为拐点二、函数极限的计算综述：（1）化简先行（变量替换，恒等变形等）；（2）判别类型（ 0 ， ¥ ， ¥×0 ， ¥ -¥， ¥0 ， 00 ，1¥ ）；0¥（3） 使用工具（洛必达公式，泰勒公式）；（4） 注意事项（学会总结）.例：求下列极限.1- coslim(1).x2x®05数学网络课堂系列- 1x2elim.(2)100xx®0设"a > 0 ，证明 lim xa ×ln x = 0 .(3)x&

7、#174;0+ù.lim4x®+¥ ëúû(4)x6数学网络课堂系列lim( 1 -x) .(5)x2sin3 xx®00 < a < 2 .a-lim (x ) ,(6)x®+¥lim(2x - tan x2 )sin x .(7)x®0+7数学网络课堂系列lim (p - x -sin x)sin x .(8)x®p -exlim(9).21 öxx®+¥ æç1+ x ÷èø三、数列极限的

8、计算(1)通项已知且易于连续化，用归结原则.求lim(1+ 1 +1 )n .例 1n2nn®¥1lim(1+ 2n + 3n ) n+sin n .例 2n®¥8数学网络课堂系列(2) 通项已知但不易于连续化，用例（I）证明 x > 0 时，1+ x准则（定定义，级数求和等）.x .= (1+ 1 )(1+ 2 ).(1+ n ) ，求lim x设 x(II).nnn2n2n2n®¥(3) 通递推式给出的,用单调有界准则.9数学网络课堂系列例 1) 设 f (,求 f (x) 的最小值;1设x 满足ln x+ < 1,证

9、明: lim x存在,并求此极限.2)nnnxx®¥n+1四、极限的应用1. 用于无穷小比阶.例 1 设 f (x) = x + a ln(1+ x) + bx sin x , g(x) = kx3 ,当 x ® 0, f (x) g(x) ,求a,b, k .x-ln(1+ x) sin t2例 2 若òdt 与cxk 为等价无穷小量( x ® 0 ),求c, k .t010数学网络课堂系列重要结论:1).若 x ® 0, f (x) axn , g(x) bxn , f , g, a,b 均不为零,则 f g(x) abmxmn

10、.xxòò2).若 x ® 0, f (x) g(x), f 、g 连续且均不为零,则f (t)dtg(t)dt .002.用于判别连续与间断.ì无定义点(必间断)î分段点(未必间断)2) 第 1 类：跳跃间断点和可去间断点;第 2 类：考纲内只考无穷间断点和振荡间断点.1) 只讨论í11数学网络课堂系列xf例 1的可取间断点的个数为.ì< 0设 f (x) = ïsin p xíïïî例 2,讨论其连续性.³ 0x -1第二讲一元函数微学综述: 1.定义2.

11、计算(求导数,求)3.应用(几何应用,物理应用,应用)4.逻辑推理(中值问题,不等式问题,零点问题)一、定义.12数学网络课堂系列1、导数定义及其考法;注 f (x) 在 x0 处可导Û f (x) 在 x0 处导数存在Û f ¢(x0 ) = A 存在.考法: 1)具体型问题(易);2) 半具体半抽象型问题(中);3) 抽象问题(难).ì1F (x) = ïx sin x , x ¹ 0 ,求 F¢(x) .2例 1.íïî0, x = 0f (0) = 1,且满足lim ln(1- 2x)

12、+ 2xf (x) = 0 ,证明2.设d > 0, f (x) 在-d ,d 上有定义,例x2x®0f (x) 在 x = 0 处可导,并求 f ¢(0) .13数学网络课堂系列例 3.设 f (x) 在 x = 0 处连续且lim f (x) - f (-x) 存在,证明： f ¢(0) 是否存在.xx®0例 4. 设 f (x) 在 x = 0 处连续且lim f (2x) - f (x) 存在，证明： f ¢(0) 是否存在.xx®0f (ax) - f (x) = b ,例 5. 设 f (x) 在 x = 0 处连续

13、且lim> 1 ，证明 f ¢(0) 存a, b 为， axx®0b在,且 f ¢(0) =.a -114数学网络课堂系列2、微分定义 y = f (x)Dy = f (x0 + Dx) - f (x0 ) 真实增量；1)2) ADx = f ¢(x0 ) ×Dx 线性增量；Dy - ADx= 0 Þ y = f (x) 在 x0 处可微.3) limDxDx®0例 3. 设 f (u) 可导， y = f (x2 ) ，当 x 在 x = -1 处取Dx = -0.1时， Dy 的线性主部为 0.1，则 f 

14、2;(1) =.3、不定."x Î I , 都有 F¢(x) = f (x), ,则称 F (x) 是 f (x) 在 I 上的一个原函数,1)定义:ò f (x)dx = F(x) + C, 否则,若$x0 Î I , F¢(x0 ) ¹ f (x0 ) Þ F(x) 不是 f (x) 在 I 上的原函数.15数学网络课堂系列2)原函数存在定理:xò证明 F (x) =f (t)dt(a, x Î I ) 必可导,且f (x)I(a)连续函数必有原函数,即设在上连续,aF¢(x) =

15、 f (x),"x Î I .(b)含跳跃间断点的函数在此区间必没有原函数.(c)关于振荡间断点的原函数是否存在问题,只需具体计算:ì1ïx sin, x ¹ 02F (x) = í例 1x.ïî0, x = 016数学网络课堂系列ì 11 , x ¹ 0例 2 fxïî0, x = 0.4、定.在-1, 2上:1）例 1ì2, x > 0í1, x = 0 是否有原函数?是否有定(a) f (x) = ï?ï-1, x <

16、 0îì12 cos, x ¹ 01x(b) fx2是否有原函数?是否有定?ïî0, x = 0ì 1 , x ¹ 0ïf (x) = í x是否有原函数?是否有定(c)?ïî0, x = 017数学网络课堂系列ì1 +1 , x ¹ 0x(d) f是否有原函数?是否有定?ïî0, x = 0xòf (x) 连续ÞF (x) =f (t)dt 可导.注 (1)axòf (x) 可积ÞF (x) =f (t)

17、dt 连续.a例 2若 f (x) = ìcos x, x ³ 0 ,则 F (x) =f (t)dt 具有什么样的性质?xòí2, x < 0î02) 关于函数的奇偶、周期、有界、单调性(1) 奇偶性(a) 可导的 f (x) 是奇函数,则 f ¢(x) 是.18数学网络课堂系列(b) 可导的 f (x) 是偶函数,则 f ¢(x) 是.ìxòf (t)dt;ï 0(c) 可积的 f (x) 是奇函数,则 F (x) = íxòïf (t)dt.(a

18、85; 0)î aìxòf (t)dt;ï 0(d) 可积的 f (x) 是偶函数,则 F (x) = íxòïf (t)dt.(a ¹ 0)î a19数学网络课堂系列例 1 ： 设 f (x) 为奇函数, 除 x = 0 外处处连续, x = 0 为其第一类间断点, 则xòF (x) =f (t)dt 是(A.连续的奇函数).0B.连续的偶函数D. x = 0 为间断点的偶函数C. x = 0 为间断点的奇函数a ¹ 0 ,则以下奇函数的个数为(例 2：设 f (x) 为连续的奇函数

19、,)个.yxòòA.dxf (u)dua0yxòòB.dxf (u)du0ayxòò2C.dxx f (u)du0ayxòòD.dxxf (u)duaa(2)周期性10 可导函数 f (x) 以T 为周期Þf ¢(x) T 为周期.xò为周期， 则 F (x) =f (t)dt20f (x) 以 T以 T可积函数 为周期的充要条件是aTòf (x)dx = 0 .020数学网络课堂系列Tò例：设 f (x) 以T 为周期的奇函数，则f (x)dx =.0(3)有界性

20、例：设 f (x) 在(0, +¥) 内可导，则()f (x) 在(x, +¥) 内有界，则 f ¢(x) 在(x, +¥) 内有界；(A)(B)f ¢(x) 在(x, +¥) 内有界，则 f (x) 在(x, +¥) 内有界；(C)f (x) 在(0,d ) 内有界，则 f ¢(x) 在(0,d ) 内有界；(D)f ¢(x) 在(0,d ) 内有界，则 f (x) 在(0,d ) 内有界.5、定的精确定义：(1)图省略(2)n 等分、取右端点21数学网络课堂系列111例： lim(+. +)n +1n

21、 + 2n + nn®¥n +1n + 2n + n+. +例： lim()n2 +1n2 + 4n2 + n2n®¥(3)新颖2i+11n-1iå例：求lim(b -1)b sin b, b > 1nn2nn®¥i=0i+11n-1iå作业：求lim(b -1)b sin b, b > 1nnnn®¥i=06、变限bòf (x)dx 的范畴(1)属于定a22数学网络课堂系列(2)求导公式j2 ( x) ò¢¢¢j (x)j (x)

22、- f (j (x)j (x)f (t)dt) =(f (2211j ( x) 1x2 -x例： (òx3sin t dt)x¢2xtf (x2 - t2 )dt)¢ =.ò例：设 f (x) 连续，则(x07. 反常+¥b(1) 定义：无穷区间： òaf (x)dx 、ò函数：f (x)dx (a 为瑕点)a23数学网络课堂系列(2) 判别依据1+¥ò1xp dx :当 p > 1时收敛;当 p £ 1时发散.注1)11òpp ³ 1p < 1dx:当时发散当时

23、收敛.2);x01 ln x设a > 0, 讨论ò0dx 的敛散性.例 1xadx+¥设k > 0, 讨论ò2例 2的敛散性.x(ln x)k二计算.1、求导.ì一般题:求导规则、符号写法综述： íî高阶题:泰勒公式、24数学网络课堂系列cos x sin x ,求 lim f ¢(x) .x®p ±0 2例 1 设 f (x) =例 2 设 y = y(x) 由方程 x3 + y3 + xy -1 = 0 确定,求lim 3y + x - 3 .x3x®0例 3 设 y = x3

24、sin x ,求 y(6) (0) .1y =,2x + 3求 y(n) (0) .例4 设25数学网络课堂系列xn1-例5 设 y =, 求 y(0)(n ³ 2) .(n) 2、求综述:凑微分法,换元法,分部法,有理函数法.ln(x + 1+ x2 )òdx .例 11+ x2dxò(2例 2.226数学网络课堂系列1例 3 I = òln(1+> 0) .ex -1例 4 I = òex +1dx .例 5 I = ò.dx+¥例 6 I = ò3.(27数学网络课堂系列注 在收敛条件下,可能通过换元,

25、实现定与反常的相互转化,不必大惊小怪.三、应用.几何应用1、导数(极值点、最值点、拐点、单调性、凹凸性、渐近线)(a) 极值点与单调性1）判别极值的“一阶”充分条件0, x0 + d ), f ¢(x) > 0 Þ x0 为极小值点；0, x0 + d ), f ¢(x) < 0 Þ x0 为极大值点.0 ), f (0 ), f (2）判别极值的“高阶”充分条件ìï f ¢(x ) = f ¢(x ) = . =f (n-1) (x) = 0000设 f (x) 在 x 处 n 阶可导，且í

26、0f (x ) ¹ 0nïî0ìï f (n) (x ) > 0 Þ x 为极小值点00当 n 为偶数时，若íf(x ) < 0 Þ x 为极大值点(n) ïî00例1 设 y = y(x) 满足 y(4) - 3y¢¢ + 5y = ecosx ,其中 y(2) = y¢(2) = y ¢(2) = y ¢(2) = 0 ,讨论 y在 x = 2 的性态.(b) 拐点与凹凸性1）判别拐点的“”充分条件28数学网络课堂系列设 f (x

27、) 在 x0 点的左右领域内 f ¢¢(x) 变号Þ (x0 , f (x0 ) 为曲线上的拐点.2）判别拐点的“更高阶”充分条件ìï f ¢(x ) = f ¢(x ) = . =f (n-1) (x) = 0000设 f (x) 在 x 处 n 阶可导，且í0f (x ) ¹ 0nïî0当 n 为奇数时， (x0 , f (x0 ) 为拐点.例 2 设 y = (- 3)3(x - 4)4 的一个拐点为( ).A. (1, 0)B. (2, 0)C. (3, 0)D. (4, 0)

28、f (0)(1- x) + f (1) × x, 则在0,1上(导, g(x) =例 3 设 f (x).a)f ¢(x) ³ 0 时,f (x) ³ g(x)b)f ¢(x) ³ 0 时,f (x) £ g(x)c)f ¢¢(x) ³ 0 时,f (x) ³ g(x)d)f ¢¢(x) ³ 0 时,f (x) £ g(x)(c) 渐近线-求解程序1） 找 y(x) 的无定义点或定义区间的端点 x0 ，计算limy(x) 是否为无穷大，若是，则x®x0(®x- )0x = x0 为铅垂渐近线，反之亦反.29数学网络课堂系列2） 计算 lim y(x) = A 是否存在，若是，则 y = A 为水平渐近线，若 lim y(x) =¥ ，则转x®±¥x®±¥向 3)y(x)= a 是否存在，若是，则计算 limy (x)- ax= b是否存在，若是，则3） 计算 limxx®±¥x®±¥y = ax + b 为斜