【2020年】四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷(理科)及答案

1、四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1.（5 分）已知集合 A=x|x 1，函数 y=lg （2 - x）的定义域为 B,则（）A.AUB=x|1VXV2 B. AUB=R C.AHB=x|x1 D.AHB=x| x22.（5 分）若 z=1+i，则-=（）z+1A. - i B.丄， C.- 1 D. 13.（5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的y=2，则输入的 x=（）A. 1 B. 2 C. 4 D. 1 或 44.（5 分） （x- y） （x+y）5的展开

2、式中，x2y4的系数为（）A. - 10 B.- 5 C. 5 D. 105.（5 分）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生 作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A. 样本中的男生数量多于女生数量B. 样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量c样本中多数男生喜欢手机支付D 样本中多数女生喜欢现金支付6.（5 分）已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D 在边 BC 上，且 BD=2DC则纠，汕的值为（）A. 汇 B. 2 c.；D. 丄 3 337.5 分）若将函数 一一二的图象向左平移个单位长度，则

3、平移后6图象的对称轴方程为（）A. -C 亠 7. B.； J Cnk 兀 7Tz二8.（5 分）从 0, 1, 2, 3 这 4 个数字中选 3 个数字组成没有重复数字的三位数,则该三位数能被 3 整除的概率为（）A. YB.C.D.931299.（5 分）已知定义在 R 上的函数 f （x）满足 f （x） =f （- x）,当 0Wx3 时，f （x） =f （x- 2）,则函数 y=f （x）- | ln| x| 的零点个数是（）A. 1B. 2C. 4 D. 62210. （5 分）已知椭圆-rf.I.-的左焦点为 Fi, y 轴上的点 P 在椭a2b2圆外，且线段 PF 与椭圆 E

4、 交于点 M，若.，则 E 椭圆的离心率为（）A.丄 B. C.D.2 2 211.（ 5 分）已知 SC 是球 O 的直径，A,B 是球 O 球面上的两点，且；，若三棱锥 S- ABC 的体积为 1,则球 O 的表面积为（）A.4nB. 13nC. 16nD.52n12（ 5 分）已知函数 f（x）=（ x2-x- 1）ex,设关于 x 的方程：:！：.e有 n 个不同的实数解，则 n 的所有可能的值为（）A. 3B. 1 或 3 C. 4 或 6 D. 3 或 4 或 6二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知 丄 I ,则一. =_.45414. （

5、5 分）已知直线 I: y=kx+2 与圆 C: x2+y2- 2x- 2y=0 相交于 A, B 两点，若L.二，贝 U 实数 k 的值为_ .15.（5 分）如图，已知 A, B 是函数 f （x） =Iog2（16x）图象上的两点，C 是函数 g （x） =log?x 图象上的一点，且直线 BC 垂直于 x 轴，若 ABC 是等腰直角三 角形（其中 A 为直角顶点），则点 A 的横坐标为_.16. （5 分）如图，表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD,EF, GH 在原正方体中为异面直线且所成角为 60勺有_ 对.三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文

6、字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn,印=1，且. ：. 一一-+二 7 二I（1）求数列an的通项公式;:的前 n 项和为 Tn,求满足不等式 I“一的最小正整数18. （12 分）在厶 ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,已知 ABC（2） 设数列(1)求 a；的面积为(2)求 sinB+sinC 的值.19. (12 分)全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全 面提高国民体质和健康水平.某部门在该市 2011 - 2016 年发布的全民健身指数 中，其中的 运动参与”的评分值进行了统计，制成

7、如图所示的散点图：(1) 根据散点图，建立 y 关于 t 的回归方程 =讥I；(2) 从该市的市民中随机抽取了容量为 120 的样本，其中经常参加体育锻炼的 人数为 40，以频率为概率，若从这 120 名市民中随机抽取 4 人，记其中 经常参 加体育锻炼”的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.附：对于一组数据(ti，yi)，(t2，y2)，(tn，yn)，其回归直线,=Ha 的斜率n_E (t-L-t )(珥切和截距的最小二乘估计公式分别为：、一，E (ti-T)2i=i20. (12 分)如图，ABCD 是菱形，/ ABC=60, AC 与 BD 相交于点 O,平面 AEFC 丄平面 A

8、BCD 且 AEFC 是直角梯形，/ EAC=90, CF/ AE，AE=AB=2 CF=4.(1)求证：BD 丄 EF;.!=亲U1T茁垢61234甲檢吒码J汙：旬曲代T 仔别对用年的2皿一加淖21- (12分)已知函数.:.-(1) 当 a0 时，求函数 f (x)的极值；(2)若函数 f (x)有两个零点 xi, X2,求 a 的取值范围，并证明 xi+X22.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4 :坐标系与参数方程22.(10 分)在直角坐标系 xOy 中，曲线 Ci的参数方程为(K=2+tCOsa(t 为参y=l+tsin口数)，其中

9、 a =手.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p- 6cos 併 4=0.(1) 写出曲线 G 的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2) 已知曲线 C2与 G 交于两点，记点 A，B 相应的参数分别为 t1, t2,当 t1+t2=0 时，求| AB|的值.选修 4-5:不等式选讲23.已知不等式|2x+1|+| x- 1|V3 的解集 M .(1) 求 M ;(2)若 m，n M，求证：l_-!-v imn-12018年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷 （理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小

10、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. （5 分）已知集合 A=x|x 1，函数 y=lg （2 - x）的定义域为 B,则（）A.AUB=x|1VXV2 B. AUB=R C.AHB=x|x1 D.AHB=x| x1=1，+x）,由 2-x0 解得 x2，即 B=（-x，2）.所以 AUB=R AHB=x| 1x2.观察选项，只有选项 B 符合题意.故选：B.2（5分）若z=1+i，则=（）【解答】解： z=1+i，-：=：；i .:; 口： I =,亠亠故选：B.3.（5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的y=2，贝 U 输入的 x=（）A.-i B 迁-C.- 1 D. 1A

11、. 1 B. 2 C. 4 D. 1 或 4【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出分段函数根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A. 样本中的男生数量多于女生数量B. 样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量C样本中多数男生喜欢手机支付若 y=2,则 x=4,或 x=1,故选：D4.(5 分)(x- y) (x+y)5的展开式中，x2y4的系数为(A. - 10 B.- 5 C. 5 D. 10【解答】解：(x+y)5的通项公式为：Tr+1=-；?X5-r?yr,令 5 - r=1,得 r=4;令 5- r=2,得 r=3;(x- y) (x+y)5的展开式中 x2y

12、4的系数为：X1+(-1)X-：=-5.故选：B.5. （5 分） 为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况, 抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图:D.样本中多数女生喜欢现金支付【解答】解：由左图知，样本中的男生数量多于女生数量,A 正确;由右图知样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，B 正确;由右图知，样本中多数男生喜欢手机支付，C 正确；由右图知样本中女生喜欢现金支付与手机支付的一样多，D 错误.故选：D.6.（5 分）已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D 在边 BC 上，且 BD=2DC，【解答】解：沖=八？（ +丨|）则4八I的值

13、为（=1- x1x1xCOS6032 12=1- x=.32 3故选 B.7.（5 分）若将函数 y 的图象向左平移个单位长度，则平移后6图象的对称轴方程为（k” TT _A.二 B.k兀兀宀严z-KjytkE Z）将函数匚- ：= 31-：=2sin （2x+）的图象向左平移个单36y=2sin （2x+） =2sin （2x+ ,）的图象，令 2x+=kn+一，可得 x=“- ，k Z,32212则平移后图象的对称轴方程为 x= - , k乙【解答】解:位长度，可得故选：A.8. (5 分)从 0, 1, 2, 3 这 4 个数字中选 3 个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被 3

14、 整除的概率为()A.色 B.二 C.D.93129【解答】解：从 0, 1, 2, 3 这 4 个数字中选 3 个数字组成没有重复数字的三位 数，基本事件总数 n=-18,J W该三位数能被 3 整除包含的基本事件个数：m=y；*：=10,该三位数能被 3 整除的概率为 p=工-一 .n 18 9故选：D.9. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (x) =f (- x),当 0Wx3 时，f (x) =f (x- 2),则函数 y=f (x)- | ln| x| 的零点 个数是()A. 1B. 2 C. 4D. 6【解答】解：定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (

15、x) =f (- x),可得 f (x)为偶函数，图象关于 y 轴对称，又当 0Wx3 时，f (x) =f (x- 2),可得 x3 时的图象，可将 f (x)在1, 3的图象向右平移 2k ( k 为正整数)个 单位；在 y 轴左边的图象与右边的图象关于 y 轴对称，作出 f (x)的图象和函数 y=| In|刈的图象，可得它们有 4 个交点，则函数 y=f (x)- 11n| x|的零点个数是 4.故选：C.2210. （5 分）已知椭圆的左焦点为 Fi, y 轴上的点 P 在椭/ b2圆外，且线段 PF 与椭圆 E 交于点 M，若.，则 E 椭圆的离3心率为（）A. B.C.D.2 2

16、 2【解答】解：如图所示| OM| =| MFi|巫| OP ,不妨设 I OP =逅，则 | OM|=| MFi| =1,设/ MFiO=B,解得 c=i， MOFi为等边三角形,在厶MOFi|册1 F+1%1101F=I+/T2|MFj |0F|2C2 tan=_=八|ccos0- M （- ,）,2 2 +=1,4a2 4bTa2-b2=；=1，, 由可得 4a4- 8a2+仁 0, 解得 a2= - 1 时，f( x) 0,当2vxv1 时，f (x)v0,f(x)在(-x,-2)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，在(1,+x)上单调递增，f (x)的极大值为 f (- 2) =,

17、 f (x)的极小值为 f (1) =- e.e作出 f (x)的函数图象如图所示：|： | ：.1,f2(X) mf (x)-二=0,ee令 f (x) =t 则，则 bt2=-.不妨设 tv0vt2,(1) 若 tiv-e,则 0vt2丄，此时 f (x) =ti无解，f (x) =t2有三解；e(2) 若 ti=- e,则 t2=,，此时 f (x) =ti有一解，f (x) =t2有两解；e(3) 若-evtiv0,则 t2亠，此时 f (x) =ti有两解，f (x) =t2有一解;e综上，f2(x)- mf (x)=邑有三个不同的实数解.二、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将

18、答案填在答题纸上)i3(5分)已知 J I ，则 U亠；=_. 一.4545【解答】解：T II45故答案为：；.5i4.(5 分)已知直线 I: y=kx+2 与圆 C: x2+y2- 2x- 2y=0 相交于 A， B 两点，若 1 二.，贝 U 实数 k 的值为 -i .【解答】i 解：圆 C: x2+y2- 2x- 2y=0，转化为：(x- i)2+ (y- i)2=2，所以圆的直径为2 .由于| AB| =2 匚，则：直线 I： y=kx+2，经过圆心(i， i).工-= til 丁所以：仁 k+2,解得：k=- 1.故答案为：-1.15.（5 分）如图，已知 A, B 是函数 f

19、（x） =log2（16x）图象上的两点，C 是函 数g（x）=log?x 图象上的一点，且直线 BC 垂直于 x轴，若 ABC 是等腰直角三 角形（其中 A 为直角顶点），则点 A 的横坐标为_：_.【解答】解：设 A (xi，yi)，B (X2，y2)，C (X3，y3)，则 yi=log (16xi)，y2=log2(16x2)，y3=log2x3，X2=x3， ABC 是等腰直角三角形(其中 A 为直角顶点)，可得 y2- y3=2 (X2- X1)，y2+y3=2y1，即有 log2(16x2) - log2X3=2 (沁-为)，log2(16x2) +log2X3=2log2(16

20、x1)，化简可得 X2- X1=2，log2X2=2+log2X1，即为 2+X1=4x1，解得 X1=，J1故答案为：.16. （5 分）如图，表示正方体表面的一种展开图，则其中的四条线段AB，CD,EF, GH 在原正方体中为异面直线且所成角为 60的有 3 对.一3 【解答】解：把正方体的展开图还原成正方体，如下图:则四条线段 AB, CD, EF, GH 在原正方体中为异面直线且所成角为 60勺有:AB 与 CD, AB 与 GH、EF 与 GH,共 3 组.故答案为：3.三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)17. (12 分)已知数

21、列an的前 n 项和为 Sn, ai=1,且.-二.川:(1) 求数列an的通项公式；(2) 设数列；一：的前 n 项和为 Tn,求满足不等式二一的最小正整数 n .【解答】解：(1)由匕-丫 ：贝 U：an+1- an=n+1，又 a1=1 ,所以 n 2 时，an=( an & -1) +( an-1 an-2) +( a2a1)+印=7当 n=1 时，也满足一、 ：，c A所以数列阎的通项公式为,(2由知 J所以-令-：，解得 n19,所以满足不等式| 的最小正整数 n 为 19.18. (12 分)在厶 ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,已知 A

22、BC的面积为. 一 一丄工(1) 求 a；(2) 求 sinB+sinC 的值.【解答】解：(1)由厶 ABC 的面积为：乙 得丄匚， 一;.所以干 I得 bc=35,又 b - c=2,由余弦定理得_ -,T 979=：丨. :. ： :所以 a=8.(2)法一：由(1)中 b- c=2, bc=35.解得 b=7, c=5,由正弦定理得：.：. - -, 所以沁-1-.a877法二：由（1）有（b+c）2= （b - c）2+4bc=22+4x35=144,所以 b+c=12.因,由正弦定理得丄:-,sinA sinB+sinC所以:-11-：-.a87719. (12 分)全民健身倡导全

23、民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全 面提高国民体质和健康水平.某部门在该市 2011 - 2016 年发布的全民健身指数 中，其中的 运动参与”的评分值进行了统计，制成如图所示的散点图：(1) 根据散点图，建立 y 关于 t 的回归方程.=i】t+ I；(2)从该市的市民中随机抽取了容量为120的样本，其中经常参加体育锻炼的 人数为 40，以频率为概率，若从这 120 名市民中随机抽取 4 人，记其中 经常参 加体育锻炼”的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.附：对于一组数据(t1，y1)，(t2，y2)，(tn，yn)，其回归直线？ =2t+：的斜率 n2 (t-t)和截距的最

24、小二乘估计公式分别为：、-， 1=-.E (trT)21=1解答】解：(1)由题，_=卜丹4”=3.5,亠工亠覚=75,6 6n _则丄(ti- ) (y- ) = (1- 3.5) (65 - 75) + (2 -3.5) (71 - 75)i=l+ (3 -3.5) (73 - 74) + (4 - 3.5) (77 - 75) + (5 - 3.5) (80 - 75) + (6 - 3.5)血 G 协代眄IT井別对症年谕怖fs宗层1T鑼閒咄(84 - 75) =63.n_丄(ti- )2= (1 - 3.5)2+ (2 - 3.5)2+ (3- 3.5)2+ (4-3.5)2+ (5-

25、 3.5)2+ 1=1(6 - 3.5)2=17.5,严，丽严=3.6,1=75-3.6X3.5=62.4,17.5.运动参与 y 关于 t 的回归方程是=3.6t+62.4.(2)以频率为概率，从这 120 名市民中随机抽取 1 人,经常参加体育锻炼的概率为 亠-，由题，X 的可能取值为 0, 1, 2，3，4.120 3则：丁； 一 ： .厂；,二:一,: 十-,20. (12 分)如图，ABCD 是菱形，/ ABC=60, AC 与 BD 相交于点 O,平面 AEFC 丄平面 ABCD,且 AEFC 是直角梯形，/ EAC=90, CF/ AE, AE=AB=2 CF=4.(1) 求证：

26、BD 丄 EF;(2) 求二面角 B- DE- F 的余弦值.X01234P16S132212421S81181分布列如下:数学期望163224g 14亠14弟；或【解答】证明：(1)在棱形 ABCD 中，可得 DB 丄 AC,平面 AEFCL 平面 ABCD,且交线为 AC,.DB 丄平面 AEFC EF?平面 AEFC 二 BD 丄 EF.解：（2）直角梯形 AEFC 中,由/ EAC=90, CF/ AE, AE=AB=2 得 EA 丄平面 ABCD取 EF 的中点 M，以 O 为坐标原点，以 OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OM 为 z 轴，建 立空间直角坐标系，则.E：_.二二.

27、-亠:4.価二（0，2 诉，0），DE=（1,讥，2）.设平面 BDE 的法向量 i= （x，y，z），则厂云二 2 俯 7 取 x=2,得=(2，0,- 1)，由 1=(- 1,:, 4).设平面 DEF 的法向量为 =（a, b, c）,则 mpDE=a+V3b+2c=0丿、Js *_取 a=1，得=(1,- i , 1).即二面角 B- DE- F 的余弦值为丄5n DE-K+V3y+2z=0HD DF-a+V3b+4c=0则 c”十X21- (12分)已知函数: -(1)当 a0 时，求函数 f (x)的极值；(2)若函数 f (x)有两个零点 Xi, X2,求 a 的取值范围，并证明

28、 Xi+X22.【解答】解：()由I；. ：. :,当 a0 时，ax+1 0,若 0vxv1,f(x) 0;若 x 1,f(x)v0,故当 a 0 时，f (x)在 x=1 处取得的极大值;函数 f (x)无极小值.2(2)当 a0 时，由(1 )知 f (x)在 x=1 处取得极大值一_-_且当 X 趋向于 0 时，f (x)趋向于负无穷大，又 f (2) =l n2-2v0, f (x)有两个零点，贝U1，解得 a 2.当1vav0 时，若 0vxv1,f(x) 0 ；若 1 . - 1, f (x) 0,则 f (x)在 x=1 处取得极小值，在，一处取得极大值，由于 ._ .1.,则 f(x)仅有一个零点.综上，f (x)有两个零点时，a 的取值范围是(2, +x).两零点分别在区间(0，1 )和(1，+x)内，不妨设 0vxiv1，x2 1.欲证 X1+X2 2，需证明 X2 2 - X1，又由(1)知 f (刈在(1, +x)单调递减，故只需证明 f (2-X1)f (X2)=0 即可.-.: 二I -: ： :,又 I. ： I : -|，所以 f (2 X1)=ln (2 -