【2020年高考必备】河南省开封市高考数学一模试卷(理科)及答案

1、河南省开圭寸市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5 分）设 U=R 已知集合 A=x|x 1 , B=x|xa，且（？uA）UB=R 则实数 a 的取值范围是（）A. （-x，1） B. （-x，1 c.（1，+x）D. 1，+x）2. （5 分）若复数 Z1, Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 Z1=1 - 2i，则复数在复平面内对应的点在（）3.（5 分）已知向量 a= （m - 1，1）， b = （m，- 2），贝厂m=2 是 “丄 b”的（）A.充分不必要条件 B

2、.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（5 分）若.-4J，则 sin2 由勺值为（）1D.5.（5 分） 已知等比数列an的前 n 项和为 Sn， 且 9S3=S6,a?=1，则 a=（A. ： B - C匚 D.26.（5 分）已知曲线三-$=1 （a0，b0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线a2b2的距离为打则该双曲线的方程为（）A.厶撐二* B. x2-=1 C 宀，二近 D. x2-y2=27.（5 分）我国古代名著庄子？天下篇中有一句名言 一尺之棰，日取其半， 万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木 棍依此规律截取，如图所示的程序框图的

3、功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B.匸 C.A.Ji B. 一_ 11 1C. 1.一 . i 11 D. 1 . . - , i 1-1w-E8. （5 分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球 Oi、Ch,这两个球相 外切，且球 Oi 与正方体共顶点 A 的三个面相切，球 02 与正方体共顶点 Bi 的三 个面相切，则两球在正方体的面 AAiCiC 上的正投影是（）9. （5 分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 2X2X3 的长方体框 架，一个建筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至 B

4、 处，则其最近的行走路线中不连 续向上攀登的概率为（）10. （5 分）函数 g 的图象大致是（）1x111. （5 分）抛物线M: y2=4x 的准线与 x 轴交于点 A,点 F 为焦点，若抛物线M上一点 P 满足 PA 丄 PF,则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为（参 考数据：2.24）（ ）A.二 B.C.D.12. （5 分）已知函数二 .若函数 F（ x） =f （x）63-3 的所有零点依次记为X1, X2, X3,，Xn，且 X1V沁 X3VVxn，则X1+2X2+2x3+2xnT+xn=( )A.B.445nC. 455nD. -33二、填空题：本大题共

5、 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. （5 分）（x- y）10的展开式中，x7y3的系数与 x3y7的系数之和等于 _f5x+3y1514. (5 分)设 x, y 满足约束条件応沈+1 ，且 x, y Z,则 z=3x+5y 的最大Lx-5y3值为_ .W x2的值有_ 个.16. (5 分)一个棱长为 5 的正四面体(棱长都相等的三棱锥)纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动， 则小正四面体的棱长的最大值为_.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. ( 12分)在厶ABC中， 角A, B, C所对应的边分别为a, b, c，

6、 且2cos(acosC+ccosA)+b=0.(I)求角 B 的大小；(U)若 a=3,点 D 在 AC 边上且 BD 丄 AC, BD= -，求 c.1418. (12 分)如图 1,在矩形 ABCD 中, AD=2AB=4 E 是 AD 的中点.将 ABE 沿BE 折起使 A 到点 P 的位置，平面 PEB 丄平面 BCDE 如图 2.(I)求证：平面 PBCL 平面 PEC(U)求二面角 B-PE- D 的余弦值.图 1團 219. (12 分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017 年双 11 期间，某购物平台的销售业绩高达 1271 亿人民币.与此同时，相关管理部门推

7、出 了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为 0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次.(I)完成下面的 2X2 列联表，并回答是否有 99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200(n)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和 服务全好评的次数为随机变量 X:(1)求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列;(2)求 X 的数学期望和方差.附:P (K2k)0.150.100.050.0250.0100.0

8、050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828n(ad-bc)2汽；f二:4,其中n=a+b+C+d)22 _20. (12 分)给定椭圆 C: +.=1( a b 0),称圆心在原点 O,半径为 的圆是椭圆 C 的准圆”已知椭圆 C 的离心率：，其准圆”的方程为 x2+y2=4.(I)求椭圆 C 的方程；(II)点 P 是椭圆 C 的准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 h , 12交准圆”于点M，N.(1)当点 P 为准圆”与 y 轴正半轴的交点时，求直线 h, 12的方程，并证明 li丄12；(2)求证：线段 MN 的长为定值.21. (12

9、分)已知函数 f (x) = (t - 1) xes, g (x) =tx+1 - ex.(I)当 t丰1 时，讨论 f (x)的单调性；(n)f (x) g (x)在0, +x)上恒成立，求 t 的取值范围.选修 4-4 :极坐标与参数方程22.(10 分)已知直线 I: 3x- jy- 6=0,在以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴 为极轴的极坐标系中，曲线 C：p-4sin0=0(I)将直线I写成参数方程P=2+tC0Sa(t为参数，a 0, n),)的形式，并求曲线 C 的直角坐标方程；(U)过曲线 C 上任意一点 P 作倾斜角为 30勺直线，交 I 于点 A,求| AP|的最 值.选

10、修 4-5:不等式选讲23.已知关于 x 的不等式| x+11+| 2x- 1| 3 的解集为x|mwx 1 , B=x|xa，且（？uA）UB=R 则实 数a 的取值范围是（）A. （-x，1） B. （-x，1 c.（1，+x）D. 1，+x）【解答】解：U=R 集合 A=x|x1=1，+x），B=x| xa =（a，+x），?uA=（-x，1），又（？uA）UB=R.实数 a 的取值范围是（-x，1）.故选：A.2. （5 分）若复数 Z1，Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且Z1=1 - 2i，则复数一在复平面内对应的点在（）Z1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答

11、】解： Z1=1 - 2i，且复数 Z1，Z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，Z2= 1 2i，则厂 _=_：.,= : .复数在复平面内对应的点的坐标为（甞：-），在第四象限.引55故选：D.3. （5 分）已知向量 = （m- 1, 1），b= （m，- 2），则“ m=2 是“丄 的（ ）的距离为 则该双曲线的方程为()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：；= (m - 1, 1), b = (m, 2), j 丨：？m (m - 1)- 2=0.由 m (m - 1)- 2=0,解得 m= - 1 或 m=2.m=2 是 “丄”勺充分不

12、必要条件.故选：A.4 .（5分）右二 二. -匚:，则sin2o 的值为（）A.二 B.C. D.888 S【解答】解：若 2cos2Q=sin（，即 2 （cos2a-sin2a）p-cos - sina422贝 U 2（ cosa+si n a,即 cosa+si n0=, 1+2s inacos 丄=即 si n2a=2s in248_ 7，故选：C.5. (5 分)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 9S3=S6, a?=1，则 a=()A.二 B.二 C.二 D. 2w【解答】解：设等比数列an的公比为 qM1,V9S3=S5,氏=1,V : aq=11-Q1-Q一,aq=

13、1.则 q=2, a1=2.故选：A.226. （5 分） 已知曲线a-务=1 (a0, b0)为等轴双曲线，且焦点到渐近线 b2a COSa=A.二寺 B. X2-y=1C ,_二逅 D. X2- y2=2【解答】解：根据题意，若曲线二-厶=1（a0, b0）为等轴双曲线，则 a2=b2,a2b2c=,*H：a，即焦点的坐标为（ X:a, 0）；其渐近线方程为 x y=0，若焦点到渐近线的距离为，则有 =a=.：，Vi+i2 2则双曲线的标准方程为 =1,即 x2-y2=2；2 2故选：D.7.（5 分）我国古代名著庄子？天下篇中有一句名言 一尺之棰，日取其半， 万世不竭”其意思为：一尺的木

14、棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木 棍依此规律截取， 如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长 度 （单位： 尺） ，则处可分别填入的是（）A. .、一 B.二佥：-：1 1C【-I D.卡”二一:I【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下 百，第二次剩下，由此得出22第 7 次剩下.，A.二寺 B. X2-y=1C ,_二逅 D. X2- y2=227可得为 i0 时，y=xlnx，y =1nx，即 0vxv时，函数 y 单调递减，当 x ,函数 y 单调递增, ee因为函数 y 为偶函数,故选：DI邓6兀A.B.445nC. 455n11.(5 分)抛物线M: y

15、2=4x 的准线与 x 轴交于点 A,点 F 为焦点，若抛物线M上一点P 满足 PA 丄 PF,则以 F 为圆心且过点 P 的圆被 y 轴所截得的弦长约为(参 考数据：二2.24)()A.二 B. = CD.【解答】解：由题意，A (- 1, 0), F (1, 0),点 P 在以 AF 为直径的圆 x2+y2=1 上.设点 P 的横坐标为 m，联立圆与抛物线的方程得 x2+4x-仁 0,Im0,二 m= - 2+；壬,点 P 的横坐标为-2+匸， | PF =m+1 = - 1+屈,圆 F 的方程为(x- 1)2+/= ( - 1)2,令 x=0,可得 y=；I EF =25-却虽2“5巨X

16、 24=伍!,12(5分)已知函数匸丄.兰二，若函数F(X)=f(x)-3 的所有零点依次记为X1, X2, X3,，Xn，且 X1V沁 X3VVxn，则X1+2X2+2x3+2xn-1+xn=( )【解答】解：函数-0值为13.令 2x- 一 = +kn 得 x=，I + , k乙 即 f(x)的对称轴方程为 x= 1 + ,622323k Z.If (x)的最小正周期为 T=n,0 xW农兀，3当 k=30 时，可得 x=，3 f (x)在0，J上有 30 条对称轴，3根据正弦函数的性质可知：函数2L-与 y=3 的交点 X1, X2关于63对称，x2, X3关于二丄对称，6即xl+x2=

17、X2， x?+x3=X2，Xn-1+xn=2X(.)6623将以上各式相加得：XI+2X2+2X3+2X28+X29=2(+ + + )=(2+5+8+-+89)6 6 6X一=455n3则Xi+2X2+2X3+2Xn-i+Xn=( X1+X2) + (X2+X3)+X3+-+Xn-1+ (xn-i+冷)=2(-故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. (5 分)(x- y)10的展开式中，x7y3的系数与 x3y7的系数之和等于-240 .【解答】解：因为(x-y)10的展开式中含 x7y3的项为 Cio3x10-3y( - 1)3二-Cio3x7y3,

18、含x3y7的项为 Ci07x10 7y7(- 1)7= - C107x3y7.由 C103=G07=120 知，x7y3与 x3y7的系数之和为-240.故答案为-240.f5x+3y1514. (5 分)设 x, y 满足约束条件* yx+l ，且 x, y Z,则 z=3x+5y 的最大)=455n由此得到满足条件的 a 的值有 1- In2 和和 2 和，共 4 个.r5x+3y15【解答】解：由约束条件*讯作出可行域如图,主-5y3作出直线 3x+5y=0, x, y Z,平移直线 3x+5y=0 至（1, 2）时，目标函数 z=3x+5y 的最大值为 13.故答案为：13.2TK2的

19、值有 4 个.2 严，x2当 av2 时，f (a) =2ea_1,若 2ea-1v2,则 f (f (a) = .-：1=2,解得 a=1-l n2；若 2ea-12,则 f (f (a) =-| =2,解得 a=ln+1，成立；J2当 a2 时，f (a) =log3(a2- 1),2若 log3(a2- 1)v2,则 f (f (a)已二：-1=2，解得 a=2,或 a=- 2,与 a2 不符，若 log3(a2- 1) 2,则 f (f (a) =log3 (log3(a2- 1) =2,解得 a2=310+1, a=,: - + 或 a=-与 a2 不符.3x+5y=Ox-5y=3由

20、此得到满足条件的 a 的值有 1- In2 和和 2 和，共 4 个.故答案为：4.16. (5 分)一个棱长为 5 的正四面体(棱长都相等的三棱锥)纸盒内放一个小 正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动， 则小正四面体的棱长的最大值 为._色一【解答】解：在此纸盒内放一个小正四面体， 若小正四面体在纸盒内可以任意 转动，小正四面体的外接球是纸盒的内切球，设正四面体的棱长为 a,贝 U 内切球的半径为a,外接球的半径是a，124纸盒的内切球半径是，12 12设小正四面体的棱长是 X，则= X，解得 x=，1243小正四面体的棱长的最大值为，3故答案为：.3三、解答题：共 70 分解答应写出

21、文字说明，证明过程或演算步骤.17. ( 12分)在厶 ABC 中， 角 A, B, C所对应的边分别为 a, b, c， 且 2cos(acosC+ccosA)+b=0.(I)求角 B 的大小；(U)若 a=3,点 D 在 AC 边上且 BD 丄 AC, BD=：，求 c.【解答】解：(I)在厶 ABC 中，角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,且 2cosB (acosC+ccosA) +b=0.则：2cosB (sinAcosC+sinCcosA +sinB=0,整理得：2cosBsin(A+C)二-sinB,由于：0vBv n,则：sinBM0,解得：,所以：B 二汇.(H)点

22、 D 在 AC 边上且 BD 丄 AC,在直角 BCD 中，若 a=3, BD-,解得：八,解得：1 千，则：亠.厂工，14，所以：cos/ABD=p- 一 -；：.= 则：在 RtAABD 中，cosZ. ABD一丄-=1 .14故：c=5.18. (12 分)如图 1,在矩形 ABCD 中, AD=2AB=4 E 是 AD 的中点.将 ABE 沿 BE折起使 A 到点 P 的位置，平面 PEB 丄平面 BCDE 如图 2.(I)求证：平面 PBCL 平面 PEC(U)求二面角 B-PE- D 的余弦值.图1團 2【解答】(I)证明：AD=2AB E 为线段 AD 的中点, AB=AE取 B

23、E 中点 0,连接 P0,则 P0 丄 BE,又平面 PEBL 平面 BCDE 平面 PEBA 平面 BCDE=BE P0 丄平面 BCDE 贝 U P0 丄 EC,在矩形 ABCD 中 ,二 AD=2AB E 为 AD 的中点, BEL EC,贝UECI平面 PBE ECLPB,又 PB 丄 PE 且 PEAEC=E PB 丄平面 PEC 而 PB?平面 PBC平面 PBCL平面 PEC（n）解：以 OB 所在直线为 x 轴,以平行于 EC 所在直线为 y 轴,以 OP 所在直 线为 z轴建立空间直角坐标系，- PB=PE=2 则 B （匚,0 , 0）, E （- - , 0 , 0）,

24、P （0 , 0,）, D （- 2匚,匚,0）,山7 刃,E - : , H=（：二,: , ：）设平面 PED 的一个法向量为出（mPE 二刑勺二A.EL由 L厂,令 Z=- 1 ,则沪 1 1，T）, m PD 二-2/2K+/2 yy2 z=0又平面 PBE 的一个法向量为, , ,19. （12 分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇,2017 年双 11 期间，某购物平台的销售业绩高达 1271 亿人民币与此同时，相关管理部门推出贝 Ucosv:!=125,其中 P (X=0) = ( )3-；5125 .2- 54了针对电商的商品和服务的评价体系， 现从评价系统中选出 2

25、00 次成功交易，并 对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6,对服务的好评率为 0.75,其中对商 品和服务都做出好评的交易为 80 次.(I)完成下面的 2X2 列联表，并回答是否有 99%的把握，认为商品好评与服务好评有关?对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200(n)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和 服务全好评的次数为随机变量 X:(1)求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列;(2)求 X 的数学期望和方差.附:P (K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.02

26、46.6357.87910.828(_ n(ad-Hc) _* (a+b)(c+d) G+c)(b+d)其中 n=a+b+c+d)【解答】解：(I)由题意可得关于商品和服务评价的对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200=I I ! : II11.111 6.635,故有 99%的把握，认为商品好评与服务好评有关.(n)( 1)每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为:，且 X 的取值可以是50， 1， 2， 3.2X2 列联表如下:P (X=1)=:P( x=2=三P(x=3)八【叮,X 的分布列为:X0123P27543S81251251

27、25125(2)vX B(3,),5-E( X)=,5520.(12 分)给定椭圆C: + .=1( a b 0),称圆心在原点 O,半径为 的圆是椭圆 C 的准圆”已知椭圆 C 的离心率.一 ,其准圆”的方程为X2+=4.j(I) 求椭圆 C 的方程；(II)点 P 是椭圆 C 的准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 h , 12交准圆”于点M, N.(1) 当点 P 为准圆”与 y 轴正半轴的交点时，求直线 h, 12的方程，并证明 li丄12；(2) 求证：线段 MN 的长为定值.【解答】解：(I)由准圆方程为/+y2=4 ,贝Ua2+b2=4 ,椭圆的离心率解得：a= :, b=1,

28、椭圆的标准方程：(U)证明：(1)v准圆 x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为 P(0,2),设过点 P (0, 2)且与椭圆相切的直线为 y=kx+2.D(X)=3X5=fy=kx+2联立 * /，整理得(1+3)x2+12kx+9=0.可+宀直线 y=kx+2 与椭圆相切，:=144k2-4X9 (1 +3k2) =0,解得 k= 1,h, I2方程为 y=x+2, y=-x+2.：=1, ：一 =- 1,(2)当直线 I1, I2中有一条斜率不存在时，不妨设直线 I1斜率不存在,则 h：x=乙当 l1： x=时，I1与准圆交于点( 乙 1) (，- 1),此时 I2为 y=1 (或

29、y=- 1),显然直线 I1, I2垂直；同理可证当 I1: x=二时，直线 h, 12垂直.当 I1, I2斜率存在时，设点 P (xo, yo),其中 xo2+yo2=4.设经过点 P (xo, yo)与椭圆相切的直线为 y=t (x- xo) +yo,ry=t(x-x0)+y0由2得(1+3t2) x+6t (yo- txo) x+3 (yo- txo)2- 3=o.由厶=o 化简整理得(3 - xo2) t2+2xoyot +1 - yo2=o,Txo2+yo2=4., 有(3 - xo2) t2+2xoyot+ (xo2-3) =o.设 I1, I2的斜率分别为 t1, t2,TI1

30、, I2与椭圆相切， t1, t2满足上述方程(3-xo2) t2+2xoyot+ (xo2- 3) =o, t?t2=- 1，即卩 I1, b 垂直.综合知：TI1, I2经过点 P (xo, yo),又分别交其准圆于点M, N,且 I1, I2垂直.线段 MN 为准圆 x2+y2=4 的直径，| MN| =4,线段 MN 的长为定值.贝U 11丄l2.21.(12 分)已知函数 f (x) = (t - 1)xex, g(x) =tx+1 - ex.(1)当 t丰 1时，讨论 f(x)的单调性；(n)f (x) 1,则 xv-1 时，f (x)v0, f (x)递减，x- 1 时，f (x

31、) 0, f (x) 递增，若 tv1,贝Uxv- 1 时，f (x) 0, f (x)递增，x- 1 时，f (x)v0, f (x) 递减，故 t1 时，f(x)在(-x,-1)递减，在(-1,+x)递增，tv1 时，f(乂)在(-x,-1)递增，在(-1,+X)递减；(2) f (x) g (x)在0, +x)上恒成立，即(t - 1) xeT- tx - 1+ex0, h (x)在0, +x)递增， h (x) h (0) =0,故 h (x)在0, +x)递增，故 h (x) h (0) =0,显然不成立， t 工 1,则 h (x) =ex(x+ ) (t - 1),t_l令 h (x) =0,则