线性代数期末试卷线代期末试题

1、班级（学生填写）： 姓名： 学号：命题： 审题： 审批： -密-封-线- （答题不能超出密封线）20 20 学年第 学期 线性代数 科目 试题8卷闭卷考试；时间 120 分钟； 可以使用没有记忆功能的普通计算器： 否使用班级（老师填写）： 题 号一二三四五六七八九总 分得 分阅卷人一. 单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内（本大题共6 小题，每小题3分，总计 18 分 ）1设 表示排列的逆序数, 则= ( B )(A) 1 (B) 5 (C) 3 (D) 22. 设 是四元非齐次线性方程组Ax=b 的三个解向量, 且系数矩阵A的秩等于3, C表示任意常数，则方程

2、组Ax=b的通解 x = ( C )(A) (B) (C) (D) 3. 已知向量组 线性相关， 则（ C ） (A) 该向量组的任何部分组必线性相关(B) 该向量组的任何部分组必线性无关(C) 该向量组的秩小于 (D) 该向量组的最大线性无关组是唯一的 4设有矩阵则下列运算可行的是 ( C ) (A) (B) (C) (D)5n阶矩阵A可对角化，则（ C ）(A) A的秩为n (B) A必有n个不同的特征值 (C) A有n个线性无关的特征向量 (D) A有n个两两正交的特征向量6. 若有 则k 等于（A）(A) 1 (B) 2 (C) (D) 4二. 填空（本大题共 6 小题，每小题3分，总

3、计 18 分 ）1设 则 100E 。2矩阵方程组 有解的充分必要条件是 3. 设向量组 能由向量组 线性表示，则 。(填“=”或“”或“”)4. 设A,B均为3阶方阵，且 ，则 _ _。5.设向量组 , , 线性无关，则 。 6. 若n阶矩阵A有一个特征值是1,则有一个特征值 3 。三. 计算题（本大题共4小题，每小题6分，总计24分 ）1设， , 求。解： 2分 4分 2 6分班级（学生填写）： 姓名： 学号：命题： 审题： 审批： -密-封-线- （答题不能超出密封线）2. 计算五阶行列式解:方法有多种,最简单的是按行（或列）展开, 若方法正确，给3分，结果正确再给3分 1分 3分 =1

4、 6分3. 求矩阵 的逆矩阵.解:因为0, 所以矩阵A可逆. 2分利用矩阵的初等行变换法求, 5分故 = 6分4求矩阵A 的特征值与特征向量,其中解：A的特征方程为 1分矩阵A的特征值为 2分当时，解线性方程组 (A-2E)x = 0,即 方程组的基础解系为： 3分所以对应于的全部特征向量为： 4分当时，解线性方程组 (A-E) x= 0, 即 方程组的基础解系为： 5分所以对应于的全部特征向量为： 6分四. (12分)试求向量组=(1,1,2,2)T,=(0,2,1,5)T,=(2,0,3,-1)T,=(1,1,0,4)T的秩和该向量组的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示。 解:

5、以,作为列构造矩阵A,即A=(,) 1分用初等行变换化A为行阶梯形矩阵T,则T的非零行的行数r即为R(A),再化T为行最简形T0,则T0中任意r个线性无关的向量所对应的向量组即为该向量组的最大无关组. 2分A=(,)=T, 8分所以R(A)=3. 故R(,)=3. 对T继续施行初等行变换化为行最简形可得: T= T0,故,是此向量组的一个最大无关组。 9分且=2-+0. 12分班级（学生填写）： 姓名： 学号：命题： 审题： 审批： -密-封-线- （答题不能超出密封线）五.（15分）问取为何值时,线性方程组有唯一解,无穷多解无解?解:方法1 利用克拉默法则系数行列式D= 3分(1)当1且-2

6、时, 由克拉默法则知方程组有唯一解; 7分(2)当时, 对增广矩阵B 施行初等行变换,增广矩阵B=,故R(A)= R(B) =13, 所以方程组有无穷多解; 11分(3)当时, 对增广矩阵B 施行初等行变换,增广矩阵,故R(A)=2, R(B)=3,故方程组无解. 15分方法2: 对增广矩阵施行初等行变换, 3分(1)当1且-2时, R(A)=R(B)=3,所以方程组有唯一解; 7分(2)当时, R(A)= R(B) =13, 所以方程组有无穷多解; 11分(3)当时, R(A)=2, R(B)=3, 所以方程组无解. 15分六证明题（共13分，第一题9分，第二题4分）1（9分）已知向量组: ，向量组: ， 证明：向量组与向量组等价。 证明： 由对矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵, 3分知=2. 5分显然在中有二阶非零子式, 如故, 又=2. , 所以 7分从而. 8分因此向量组 A与向量组 B等价. 9分2（4分）设是阶矩阵，