线性代数教案 第二章 矩阵及其运算

1、授课章节 第二章 矩阵及其运算 §1 矩阵 §2 矩阵的运算目的要求理解矩阵的概念重点难点矩阵的乘法及伴随矩阵复习3分钟§1 矩阵定义1 由m×n个数aij（i = 1, 2, , m ，j = 1, 2, , n ），排成m行 n 列的数表：称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。为了表示它是一个整体，总是加一个括号将它界起来，并通常用大写字母表示它。记做或，也可简记。切记不允许使用。矩阵的横向称行，纵向称列。矩阵中的每个数aij称为元素，所有元素都是实数的矩阵称为实矩阵，所有元素都是复数的矩阵称为复矩阵。本课中的矩阵除特殊说明外，都指实矩阵。几种

2、特殊得矩阵：（）只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量，（）只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。（）所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记做。（）当时，矩阵称为方阵。即，这里的位置称为矩阵的主对角线。注意：不是方阵没有主对角线。在方阵中，上三角矩阵：（主对角线以下均为零）；下三角矩阵：（主对角线以上均为零）；对角矩阵：（既是上三角又是下三角），记作 .单位矩阵：对角元素为1的对角矩阵，记作 或（阶），即。当 时，即 ，此时矩阵退化为一个数 。矩阵的引进为许多实际的问题研究提供方便。例如 含有n个未知数，m个方程的线性方程组把和按原顺序可以组成一个矩阵：任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之

3、，一个矩阵也完全刻划了一个方程组。例1 已知某方程组对应于下列矩阵 。那么该方程组就是： 。同型矩阵 具有相同行数和相同列数的矩阵，称之为同型矩阵。矩阵相等 若同型矩阵和在对应位置上的元素都相等，即 则称矩阵A与B相等，记做 A = B 。注意，不同型的矩阵是不能比较相等的。同型矩阵也不能比较大小。42分钟§2 矩阵的运算一、矩阵的加法定义2 设 和 是 的矩阵，A与B的加法（或称和），记作A + B ，定义为一个 的矩阵：。例2 设 , ，计算 。负矩阵 设 ，称矩阵 为矩阵A的负矩阵。矩阵的减法：二、数与矩阵相乘定义3 （矩阵数乘） 数与矩阵的乘积（称之为数乘），记作 或，定义为

4、一个 的矩阵 。以上运算称为矩阵的线性运算，它满足下列运算法则：（1） 交换律 （2） 结合律 （3）（4） （5） 数对矩阵的分配律 （6） 矩阵对数的分配律 （7） 结合律 例3 设 ，且 求矩阵X 。解：由得。三、矩阵与矩阵相乘设有两个线性变换： ，其系数矩阵； ，其系数矩阵 从而可得从到的线性变换： ，其系数矩阵，记做C 则 。显然，矩阵C是由矩阵A、B产生的，把这种运算称为矩阵与矩阵的乘积。定义4 （矩阵乘法） 设是一个矩阵，是一个矩阵，A与B的乘法，记作AB，定义为一个 的矩阵 ，其中.由定义，不难看出（强调）：（1） 只有在左矩阵A的列数和右矩阵B的行数相等时，才能定义乘法AB；

5、（2） 矩阵C=AB的行数是A的行数，列数则是B的列数；（3） 矩阵C=AB在 位置上的元素等于A的第行元素与B的第列对应元素的乘积之和。例4 设矩阵，求AB和BA(BA无意义)。例5 设矩阵 , 求 AB 和 BA 。例6 设A是的矩阵（行向量），是的矩阵（列向量），即 ， 求 AB 和 BA 。上述几个例子显示，当AB有意义时，BA不一定有意义（例4）；即使AB和BA都有意义（例5、6），但不一定有相同的阶数（例6），即便有相同的阶数，也不一定相等（例5）。例5还说明，如果AB = O，不是一定有A = O 或B = O。一般情况而言矩阵乘法不满足交换律。特殊的，若两个矩阵A和B满足 ，则

6、称矩阵A和B是可交换的。例7 设是一般矩阵，和分别是m和n阶单位阵，则和。如果A是方阵时，有AE = EA = A ，E相当于数1的作用。这就是称E为单位阵的原因。矩阵乘法满足以下运算律：（1） 结合律 。（2） 数乘结合律 。（3） 分配律； 。矩阵的幂 设是阶矩阵，定义：,其中，是正整数；特别规定 . 由于乘法成立分配律结合律，有 ，但由于不成立交换律，故一般 。例8 设矩阵、是上（下）三角矩阵，则 亦是上（下）三角矩阵；且 的对角元素等于、对角元素的乘积。特别，对角矩阵的积仍是对角矩阵。例9 用矩阵表示线性方程组。解：令，称A为系数矩阵；，称b为常数项矩阵；，称X为未知数矩阵；则原方程组

7、可表示为 AX = b 。四、矩阵的转置定义5 (转置矩阵) 设，是将A的行和列对应互换得到的矩阵，称它为A的转置矩阵，记作。如 ，则。矩阵的转置满足下列运算法则：（1） ；（2） ；（3） 是数；（4） 例10 设，求。解：解法1 ，所以 。解法2 。定义6 (对称矩阵) 设是 阶矩阵。如果，则称A为对称阵。显然，其元素满足：； 如果，则称A为反对称阵。显然，其元素满足：。例如是一个对称矩阵，而 是一个反对称矩阵。显然，对角矩阵一定是对称矩阵。五、方阵的行列式定义7 (方阵的行列式) 由n阶方阵的元素，不改变它的位置构成一个n阶行列式，称此行列式为矩阵A所对应的行列式，记做 | A | 或d

8、et (，即 。注意：矩阵的行列式与矩阵是两个不同的概念，前者是一个数，后者是一个数表。矩阵的行列式满足以下运算律，设A、B都是方阵，则 （1） （由行列式性质） 。（2） ，n是矩阵A的阶。（3） 。定义8 ( 伴随矩阵 ) 设是n阶方阵，由行列式 | 中的每个元素aij的代数余子式 所构成的矩阵，称之为矩阵的伴随矩阵。注意，伴随矩阵在位置上的元素是矩阵在位置上的代数余子式。例如， 的伴随矩阵是 。定理1 设A是n阶方阵，A* 是A的伴随矩阵，则证明 记 ，由矩阵的乘法，展开定理1.3及推论1.3，得 。例11 求矩阵 的伴随矩阵。42分钟内容小结:矩阵运算思考题:任何矩阵都有伴随矩阵吗?作

9、业题:P53 3, 4(4), 5 备注:3分钟授课章节§3 逆矩阵目的要求掌握逆矩阵的算法重点难点求逆阵复习3分钟§3 逆矩阵知识点：逆矩阵的定义，逆矩阵存在的充分必要条件。定义9（逆矩阵） 设是阶矩阵，若存在矩阵，使得，则称矩阵是矩阵的逆矩阵；并称是可逆矩阵（或称矩阵是可逆的）。例如 ，则 是A的逆矩阵。 由逆矩阵的定义可知，逆矩阵是互称的，就是如果B是A的逆矩阵，则A也是B的逆矩阵。关于逆矩阵有两个问题：A满足什么条件，它存在逆矩阵；如果A存在逆矩阵，那么它有几个逆矩阵。首先回答后一个问题，下面的定理给出前一个问题的解答。如果A可逆，则它的逆矩阵是唯一的。这是因为，如

10、果B，C均是A的逆矩阵，即和，则 。这说明，A的逆矩阵B由A唯一确定，这时可记B = A-1 。定理 矩阵是可逆的充分必要条件是它的行列式 ；且在 时，。证明 必要性，设A 可逆，则存在A-1满足，取行列式，故 。充分性，设，由伴随矩阵得，从而，当时，有，即A可逆，且。此定理给出矩阵可逆的充要条件，同时还给出逆矩阵的求法伴随矩阵法。有时称可逆矩阵为非奇矩阵；称不可逆矩阵（即时）为奇异矩阵。42分钟例12 判断矩阵是否可逆，如果可逆求它的逆矩阵。例13 设、，求矩阵X ，使其满足AXB = C 。例14 利用逆矩阵求方程组 方阵的逆矩阵有下面的性质，（1） 若A 可逆，则A-1 亦可逆，并且。（

11、2） 若A可逆，则 亦可逆，并且。（3） 若A、B可逆，则AB亦可逆，且。（4） 若A可逆，则 亦非奇，且。（5） 若A可逆，则 。（因为）（6） 设A是方阵，如果存在方阵B，使得AB = E（或BA = E），则 B = A-1 。42分钟内容小结:逆阵思考题:若AB = E,则矩阵A、B一定是可逆的，这种说法对吗？作业题:P53 11(1)(3)(4), 12(1),13(1)备注:3分钟授课章节§4 矩阵分块法（简介）目的要求分块矩阵运算重点难点分块矩阵运算复习3分钟§4 矩阵分块法知识点：分块的目的，一些特殊结构矩阵的分块运算。把一个矩阵看成是由一些小矩阵组成的，有时会对一些具有特殊结构的矩阵的运算带来方便，如乘法和求逆等。而在具体运算时，则把这些小矩阵看作数一样（按运算规则）进行运算。这种把一个矩阵划分成一些小矩阵，就是所谓的矩阵分块。 矩阵分块是将矩阵用任意的横线和丛线切开，例如，下面给出它的三种分法，（i）；令，。则。（ii）；令，。则。（iii）。令，则。当然矩阵分块的目的是为了简化矩阵的表示或运算，矩阵分块后的运算