线性代数标准化作业

1、普通高等教育“十五”国家级规划教材线 性 代 数标准化作业吉林大学数学中心2005.9学院 班级 姓名 学号 第 一 章 作 业（矩阵的运算与初等变换）1、是非题（设A、B、C均为n阶的方阵）（1）（A+B）（A-B）=A2-B2； （ ）（2）若AX =AY，则X=Y，其中X、Y都是n×m矩阵； （ ）（3）若A2=O，则A=O； （ ）（4）若AB=O，则A=O，或B=O； （ ）（5）(ABC)T = CTBTAT. （ ）2、计算题（1）（2）；（3）；（4）；（5）.3、计算下列方阵的幂：（1）已知=（1，2，3），=（1，-1，2），A=T，求A4;（2) 已知，求n.4

2、、通过初等行变换把下列矩阵化为行阶梯形矩阵：.5、用初等变换把下列矩阵化为标准形矩阵：（1）；（2）.6、利用初等矩阵计算：（1）；（2）已知AX=B，其中求X.7、设若矩阵A与B可交换，求a、b的值.8、设A、B均为n阶对称矩阵，证明AB+BA是n阶对称矩阵.第 二 章 作 业 （方阵的行列式）1、按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数：（1）1 3（2n-1）2 4(2n);（2）1 3（2n-1）(2n) （2n-2）4 2.2、填空题（1）排列52341的逆序数是_,它是_排列；（2）排列54321的逆序数是_,它是_排列；（3）19这九数的排列1274i56j9为偶排列，则i

3、_ ， j_；（4）四阶行列式中含有因子a11a23的项为_；（5）一个n阶行列式D中的各行元素之和为零，则D=_.3、计算行列式展开式中x4与x3的系数.4、计算下列各行列式的值：（1）（2）（3）；（4）（5）；（6）；（7）5、设4阶行列式的第1行元素依次为2，m，k，3，第1行元素的余子式依次为1，-1，1，-1，第3行元素的代数余子式依次为3，1，4，2，且行列式的值为1，求m，k的值.6、设3阶矩阵，其中， ， 1， 2均为3维的行向量，且|A|=18，|B|=2，求|A-B|.第 三 章 作 业 （可逆矩阵）1、 填空题（1）设3阶方阵0，A=,且AB=0，则；（2）设A，A为A

4、的伴随矩阵，则(A)=；（3）设A为4阶数量矩阵，且|A|=16,则A，A，A;（4）设A，则A，4A，(AT)；（5）设A，则A，A ；（6）设实矩阵A0，且，（为的代数余子式），则A；（7）设A为二阶方阵，B为三阶方阵，且A，则；（8）设A为四阶可逆方阵，且A2，则3(A)2A;（9）设A，且AE，则A；（10）设A为5阶方阵，且A2 = O，则R（A*）=_.2、选择题（1）设同阶方阵A、B、C、E满足关系式ABC=E，则必有（ ）.（A）ACB=E； （B） CBA=E； （C） BAC=E； （D） BCA=E.（2）若A，B为同阶方阵，且满足AB0，则有（）.（A）A0或B0；（B

5、）|A|0或|B|0；（C）(AB)AB；（D）A与B均可逆.（3）若对任意方阵B，C，由AB=AC（A，B，C为同阶方阵）能推出B=C，则A满足（）.（A）A0； （B）A0；（C）|A|0； （D）|AB|0.（4）若A，B为同阶方阵，则有（）. （A）(AB)AB；（B）|-AB|AB|； (C)E(AB)（EAB）（EAB）；（D）|AB|A|B|.（5）已知A为n阶非零方阵，若有n阶方阵B使ABBAA，则（）.（A）B为单位矩阵；（B）B为零方阵；（C）BA；（D）不一定.（6）若A，B，(B+A)为同阶可逆方阵，则(B+A)（）.（A）B+A；（B）BA；（C）(B+A)；（D）B

6、(B+A)A.3、求下列矩阵的逆矩阵：（1）求A的逆矩阵；（2）求A的逆矩阵.4、已知A，B，C，求解下列矩阵方程：（1）AX=X+C ;(2)AXB=C.5、设矩阵且满足ABA*+BA*+180E=O，求矩阵B.6、设A为n阶可逆矩阵，将A的第i行和第 j行对换后得矩阵B，试证： （1）B可逆；（2）求AB-1.7、求下列矩阵的秩:（1）;（2）.8、设矩阵且满足B=(E+A)-1(E-A)，求(E+B)-1.9、 设A为n阶的可逆对称阵，B为n阶对称阵，当E+AB可逆时，试证(E+AB)-1A为对称矩阵.10、设A为矩阵，B为矩阵，且mn，试证|AB|0.第 四 章 作 业 （线性方程组与

7、向量组的线性相关性）1、填空题（1）设=（3，- 4）， 1=（1，2）， 2=（-1，3），则表成1，2的线性组合为 ；（2）设向量组1=（1，1，0），2=（1，3，-1），3=（5，3，t）线性相关，则t= ；（3）设向量组1=（1，1，0），2=（1，3，-1），3=（5，3，t）的秩为3，则参数t应满足的条件是 ； （4）n元线性方程组Ax=0有非零解时，它的每一个基础解系所含解向量的个数均为 ；（5）设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且R（A）=n-1，则方程组Ax=0的通解为 .2、选择题（1）设，1，2线性相关，2，3线性无关，则正确的结论是（ ）.（A）1，2，3线性相关；

8、（B）1，2，3线性无关；（C）1可由，2，3线性表示； （D）可由1，2线性表示.（2）设1，2，3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）.（A）1，2，3 - 1； （B）1，1+2，1+3；（C）1+2，2+3，3+1； （D）1-2，2-3，3-1.（3）设n元线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为n-3，且1，2，3为线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为（ ）.（A）1+2，2+3，3+1； （B）2 -1，3 -2，1 -3；（C）22 -1，3 -2，1 -3； （D）1+2+3，3-2，-1-23.（4）设1，2是n元线性方程组Ax=0的两个不

9、同的解向量，且R（A）=n-1，k为任意常数，则方程组Ax=0的通解为（ ）.（A）k1； （B）k2； （C）k(1-2)； （Dk(1+2).（5）设向量组1，2是方程组Ax=0的基础解系，1，2是方程组Ax=b的两个解向量，k1，k2是任意常数，则方程组Ax=b的通解为（ ）. （A）; （B）（C） （D）（6）设非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0，则下面结论正确的是（ ）。（A）若Ax=0有唯一解，则Ax=b必有唯一解；（B）若Ax=0有唯一解，则Ax=B必无解；（C）若Ax=0有无穷多个解，则Ax=b也有无穷多个解；（D）若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0也有无

10、穷多个解.3、设1，2，3是4元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且R（A）=3，其中 求Ax=b的通解.4、求解齐次线性方程组 5、求解非齐次线性方程组6、设向量组试问（1）当a、b为何值时，能由1，2，3，4唯一的线性表示？ （2）当a、b为何值时，不能由1，2，3，4线性表示？（3）当a、b为何值时，能由1，2，3，4线性表示，但表示法不唯一，并写出表示式.7、已知4阶方阵A=（1，2，3，4），其中1，2，3，4均为4维的列向量，且2，3，4线性无关，1 = 22 - 3， 如果 = 1 + 2 + 4，求线性方程组Ax=的通解.8、已知向量组与向量组具有相同的秩，且3能由1，2，

11、3线性表示，求a、b的值.9、求向量组的秩，并求出它的一个极大无关组.10、设能由1，2，m线性表示，则表示法唯一的充分必要条件是1，2，m线性无关.11、设非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系为1，2，n-r，且*为Ax=b的一个特解，试证1，2，n-r，*线性无关.第 五 章 作 业 （方阵的特征问题与相似对角化）1、填空题（1）A为幂零矩阵(Ak0，k为正整数)，则A的特征值 ；（2）设A是n阶方阵，|A|5，则方阵 BAA*的特征值是 ，特征向量是 ；（3）设A为三阶方阵，其特征值为3，1，2，则|A| ，A1的特征值为 ，2A23AE的特征值为 ；（4）设

12、4阶方阵A相似B，且A的特征值为，则|B-1-E|= ；（5）若是n阶方阵A的特征方程的单根，则R(AE) ；（6）若n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a,则2A-1+E的一个特征值为 .2、选择题（1） 设三阶方阵A有特征值0，1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P(P1，P2，P3)，则P1AP（ ）.(A)； (B)； (C) ；(D).（2）设3阶矩阵，则A的特征值为（ ）.（A）1，0，1； （B）1，1，2； （C）-1，1，2； （D）-1，1，1.（3）与矩阵相似的矩阵是（ ）.（4）矩阵A与B相似，则 ( ) . (A) |AE| = |BE| ； (B) AE =

13、BE ； (C) A与B与同一对角阵相似； (D) 存在正交阵P，使得P1APB.（5） n阶方阵A与某对角矩阵相似，则 ( ) . (A) R(A)= n； (B) A有n个不同的特征值； (C) A是实对称阵； (D) A有n个线性无关的特征向量.（6）设矩阵相似A，则R（A-2E）+R（A-E）= （ ）.（A）2； （B）3； （C）4； （D）5.（7）设A为n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。已知n维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵（P-1AP）T属于特征值的特征向量是（ ）.（A）P-1； （B）PT； （C）P； （D）(P-1)T.3、计算题（1）设=（a1，a2，an

14、）T，（a10，n1），AT 求 A的特征值和特征向量.（2）设三阶方阵A的特征值为1，2，3，矩阵BA22A，求 B的特征值； B是否可对角化，若可以，试写出其相似对角形矩阵； 求 |B|， |A2E| .（3）设n阶方阵A有n个特征值0，1，2，n1且方阵B与A相似，求 | E+B | .（4）设有4阶实方阵A有两个不同的特征值，且满足条件AAT=2E，|A|0，求A*的两个特征值.（5）设有3阶方阵A满足A3-5A2+6A=O，且TrA=5，|A|=0，试求A的特征值，并判定A能否相似于对角矩阵，若能，求出相似的对角矩阵.（6）设 A 与 B 相似， 求a，b； 求一个可逆矩阵C，使C1

15、ACB.（7） 设三阶矩阵A满足Aiii (i1,2,3)，其中列向量1(1,2,2)T，2(2,2,1)T，3(2,1,2)T，试求矩阵A.（8）设矩阵相似于,求a；可逆矩阵P和对角矩阵，使P-1AP= .（9）设矩阵是A*的关于非零特征值所对应的特征向量，求a、b、.4、证明题（1）设实方阵A满足ATA=E，试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.（2）设A为n阶实方阵，为A的对应于特征值的特征向量，为AT的对应于特征值的特征向量，且，证明与正交.（3）设A是n阶正交矩阵，且|A|1，证明 1是A的一个特征值.第 六 章 作 业 （二次型与对称矩阵）1、 填空题 (1) 二次型f

16、(x1，x2，x3，x4)x12+3x22x32+2x1x2+2x1x33x2x3的矩阵是 ，秩是 .(2)二次型f(x1，x2，x3) 的矩阵为 .(3) 设则存在可逆矩阵P，使得PTTAP=B，其中P = . (4) 二次型f(x1，x2，x3)2x12+x22+x322tx1x2+2x1x3 正定时，t应满足的条件是 . (5) 设A为实对称矩阵，且|A|0，则把二次型fxTAx化为fyTA1y的线性变换是x y . 2、 选择题 (1) 实二次型fxTAx为正定的充分必要条件是 . (A) R(A) = n； (B) A的负惯性指数为零； (C) |A| > 0 ； (D) A的

17、特征值全大于零.(2) 设则A与B的关系为（ ）.(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C) 相似但不合同； (D) 既不相似也不合同. （3）设矩阵正定，则相似的对角矩阵为（ ）.(A)； (B) ； (C) ； (D) .(4) 设A、B为n阶正定矩阵，则 是正定矩阵.(A) k1Ak2B； (B) A*+B*； (C) A1B1 ； (D) AB.(5) 设A=（aij）n×n为实对称矩阵，二次型为正定的充要条件是（ ）.（A）|A|=0； （B）|A|0； （C）|A|0； （D）|A|0.3、计算题(1) 已知二次型f(x1，x2，x3)5x12+5x22+cx3

18、22x1x2+6x1x36x2x3的秩为2，求c.(2) 设二次型f = 4x12+3x22+2x2x3+3x32. 求一个正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换； 用配平方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换； 用合同变换法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换.(3) 求一正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)5x12+5x22+3x322x1x2+6x1x36x2x3化为标准形，并指出f(x1，x2，x3)1表示何种二次曲面.(4) 已知二次型f(x1，x2，x3)x12+x22+x322ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换化为标准形fy22+2y

19、32，求参数a、b及所用的正交变换矩阵.(5) 求二次型f(x1，x2，x3)x12+3x322x1x2+4x1x3+2x2x3的正、负惯性指数及符号差. (6) 设n元二次型f(x1，x2，xn)(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2其中ai(i=1,2,n)为实数，试问当a1， a2，an-1， an满足什么条件时，二次型f(x1，x2，xn)正定二次型？4、证明题（1）设f(x1，x2，xn)xTAx 是一实二次型，1，2，n是A的特征值,且12 n.证明对于任一实n维列向量x有1xTxxTAx n xTx. （2）设A是一个三阶实

20、矩阵，若对任意3维列向量x，都有xTAx0，则 A为反对称矩阵.3）设A是n阶正定矩阵，证明|A2E|>2n.（4）设Am×n为实矩阵，若R（A）=n，试证ATA为正定矩阵.（5）设A为m阶的正定矩阵，B为m×n实阵，试证BTAB正定的充分必要条件是R（B）=n.第 七 章 作 业 （线性空间）1、 下列集合对于给定的运算是否构成实数域R上的线性空间，如果是找出一个基，并求维数.（1）V0=x=(0,x2,xn)| x2,xnR,对于通常向量的加法和数乘；（2）V1= x=(1,x2,xn)| x2,xnR,对于通常向量的加法和数乘；（3）全体n阶实矩阵集合Rn

21、15;n，定义 加法：A、BRn×n ABABBA 数乘：按通常的矩阵数乘.（4） S a，bR ，对于通常矩阵的加法和数乘；（5）V= x=(x1,x2,xn)| x1+x2+xn=0；x1, x2,xnR,对于通常向量的加法和数乘.2、 全体实反对称矩阵的集合W,对于通常矩阵的加法和数乘是否构成Rn×n 的子空间？为什么？3、求线性空间R4中由向量组所生成的子空间的维数和一个基.4、求数域F上三阶实对称矩阵在通常的矩阵的加法和数乘下构成的线性空间的基与维数.5、设线性空间Rn×n中一组基 E1， E2， E3， E4 求A在这组基下的坐标. 6. 已知1，x，

22、x2，x3是Rx4的一组基：(1) 证明 1，1x，(1x)2，(1x)3也是 Rx4的一组基；(2) 求由基1，x，x2，x3到基1，1x，(1x)2，(1x)3的过渡矩阵；(3) 求由基1，1x，(1x)2，(1x)3到基1，x，x2，x3的过渡矩阵；(4) 求a3x3a2x2a1xa0对于基1，1x，(1x)2，(1x)3的坐标. 7、设R3的两组基分别为及求R3中的向量=（a1,a2,a3）T分别在这两组基下的坐标. 8、 设有两组基 1(0，1，1) , 2 = (1，0，1)，3 = (1，1，0)； 1(1，0，0) , 2 = (1，1，0)，3 = (1，1，1).求（1）由

23、基1，2 ，3到基1，2 ，3的过渡矩阵C；（2）132 53关于基1，2 ，3的坐标；122 33关于基1，2 ，3的坐标.9、验证为R3的一个基，并求向量在这组基下的坐标. 10. 设R3中由基1，2 ，3到基1，2，3的过渡矩阵为 A. (1) 若基1 = (1，0，0) ，2 = (1，1，0)，3 = (1，1，1) ，试求基1，2 ，3； (2) 若基1 = (0，1，1) ，2 = (1，0，2)，3 = (2，1，0)，试求基1，2 ，3. 11. 在Rx3中有三组基 (1) 1，x，x2； (2) x1，xx2，x2； (3) 1，xx2，xx2.在基(1)下的坐标为(1，0

24、，1)T，在基(2)下的坐标为(2，1，0)T，在基(3)下的坐标为(0，1，1)T，求在基1，x，x2下的坐标，并求由基(2)到基(3)的过渡矩阵.12、已知R3中的两个基分别为及，且由基1，2 ，3到基1，2 ，3的过渡矩阵为，试求a、b、c、x、y、z.第 八 章 作 业 （线性变换）1、判断下列变换是否为线性变换：（1）线性空间R3中，对 R3，定义 （ ）（2） 在线性空间R3中，定义(x1，x2，x3)(x12，x2x3，x32) ，其中任意R3，(x1，x2，x3)； （ ）（3）在Rn×n 中定义(X)AXXB，任意的XRn×n ，而A、B是Rn×

25、n中取定矩阵；（ ）（4）在区间a，b上所有连续函数构成的实线性空间Ca，b中，(f(x)， 其中任意的f(x)Ca，b；（ ）（5）在线性空间Rn×n上，合同变换：使（A）=PTAP，ARn×n，其中P为n阶的实可逆矩阵. （ ）2、已知线性空间R3中的线性变换，使得，求线性变换在基下对应的矩阵.3、 在线性空间R3中，取基1 = (1，0， 2)T ，2 = (0，1，1)T，3 = (3，-1，0)T，线性变换使 (1)(-5，0，3)T ，(2)(0，-1，6)T ，(3)(-5，-1，9)T ，求在基1，2 ，3下的矩阵. 4、设二阶方阵所构成的线性空间中的一组基

26、 E1， E2， E3， E4，它们在线性变换下的象分别为 A1， A2， A3， A4求 (A1) ，(A2) ，(A3) ，(A4). 5、在线性空间R3中有两组基 1，2 ，3； 1，2 ，3. 已知 1212 33， 212 23， 312 3. 又线性变换在1，2 ，3下对应的矩阵为 求在1，2 ，3下对应的矩阵.6、已知1，2 ，3是线性空间R3的一个基，线性变换在这个基下的矩阵为 ，求在基1= 1+2，2= 2 +3 ，3= 3下的矩阵.7、已知线性空间R3的基1 = (1，0，2) ，2 = (0，1，1)，3 = (3，1，0)，在线性变换下的象为(1) = (5，0，3)

27、，(2) = (0，1，6)，(3) = (5，1，9)，试求(5，0，3)，(0，1，6)，(5，1，9).第 九 章 作 业* （欧氏空间）1、设V是区间a，b上全体连续函数的集合，证明：对于任意的f(x)，g(x)V，有2、证明：在欧氏空间中，如果向量与向量1，2，s都正交，则与向量组1，2，s的任一线性组合也正交.3、在欧氏空间R4（内积为实数组向量的通常内积）中，已知求向量1，2，3的长度及他们两两之间的夹角.4、设线性空间R4（内积为通常实数组向量的内积）的一个基为求在这组基的度量矩阵A.5、在线性空间R4上定义一种内积成为欧氏空间。已知基的度量矩阵为， （1）求基1=(1,-1,

28、0,0)T,2=(-1,2,0,0)T,3=(0,1,2,1)T,4=(1,0,1,1)T的度量矩阵B； （2）求实数a，使向量=(1,a,2,-1)T与向量 =(1,-1,2,0)T正交.6、设V是n维的欧氏空间，由基1，2，n到基1，2，n的变换矩阵为P，已知基1，2，n的度量矩阵为A，试证基1，2，n的度量矩阵为B=PTAP.7、设V是2维欧氏空间，1，2是V的标准正交基，1=-1，2=1+22，已知V的线性变换在基1，2下的矩阵为，试证既是对称变换，又是正交变换.参 考 答 案（第一章）1、（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）。2、（1

29、）; （2）10； （3） （4）a11x12+ a22x22+a33x32+2a12x1x2+2a13x1x3+ +2a23x2x3;（5）3、求下列方阵的幂（1）按乘法的定义， 4、把下列矩阵化成阶梯形矩阵（1）; (2)5化下列矩阵为标准形（1） （2）6、根据初等矩阵的性质，有（1）原式=（2） A作两次初等列变换可得到B，即7、a = 8，b = 6。8、因为A、B均为n阶矩阵，知AB+BA是n阶矩阵，又AT=A，BT=B，故 （AB+BA）T=（AB）T+（BA）T= BTAT + ATBT= BA + AB=AB+BA，所以AB+BA是n阶对称矩阵。（第二章）1、 求下列排列的逆

30、序数（1）此排列的前n个数135（2n-1）之间没有逆序，后n 个数246（2 n）之间也没有逆序，只是前n个数与后n 个数之间才有逆序，故135（2 n-1）246（2 n） =0+1+2+（n-1）+0+0+0 =n（n-1）。（2）同理得n（n-1）。2、 填空题（1）7、奇排列； （2）10、偶排列； （3）i=8，j=3；（4）-a11a23a32a44；a11a23a34a42。 （5）0。3、x4的系数为2； x3的系数为-4。4、计算行列式（1）。（2）（3）（4）=（a+b+c）（b-a）（c-a）（c-b）（5）当a=0或b=0时，D=0，当ab0时，（6）将Dn按第一行展

31、开，得到用Dn-1，Dn-2表示Dn的式子，即Dn=（+）Dn-1- Dn-2用递推法及D2，D1的值求出仅用Dn-1表示Dn的式子。事实上，由Dn- Dn-1 = （Dn-1 - Dn2）递推下去，得到Dn- Dn-1 = n-2（D2 - Dn1），又由D2 =（+）2 - D1 = +于是 Dn- Dn-1 = n考虑到对称性得Dn- Dn-1 = n所以，当时，将上两式两端分别乘以、，然后相减得到 （7）-2004！。5、由行列式的展开定理，得即 解得 6、（第三章）1、填空题：（1）4；（2）；（3）A=±2E，A-1=±，A*=8E；（4）（5）； （6）1；

32、（7）-1； （8）128；（9） （10）0。2、选择题（1）D； （2）B； （3）C； （4）C； （5）A； （6）D。3、(1) (2)4、5、由于|A|=-45，于是AA*=A*A=4E，用A右乘方程的两端，得 -45AB-45B-180A=O，即 （A+E）B=-4A。由于A可逆，知A+E，B均可逆，所以B=-4（A+E）-1A因为故 。6、证 因为A可逆，所以|A|0，从而|B| = - |A|0，故B可逆。由初等变换的性质知。B=Ei, jA，从而AB-1=A（Ei, jA）-1=AA-1 Ei, j= Ei, j。7、（1）对矩阵A施以初等行变换，使之变成阶梯形矩阵由于阶梯

33、形矩阵非零行有3行，故R（A）=3。（2）对矩阵A施以初等行、列变换，使之变成标准形矩阵A=显然，当a=3时，R（A）=2，当 a3 ，R（A）=3。8、在B=（E+A）-1（E-A）的两边左乘E+A，得（E+A）B=（E-A）即 E +B +A +A B=2E亦即 （E +B） + A（E + B）=2E从而 （E +B）（E + A）=2E所以（E +B）-1=9、证 因为(E+AB）-1AT= AT（E+AB）-1 T= A（E+AB）T-1 =（ A-1）-1（E+BA）-1 =（E+BA）A 1 1=（A-1 +B）-1 = A-1（E+AB）-1=（E+AB）-1A。故（E+AB）

34、-1A为对称矩阵。10、证 由于R（AB）minR(A),R(B)nm，故|AB|=0。（第四章）1、（1）=1-22；（2）t=1; (3) t1; (4) n-R(A)；（5）k(1,1,1)T,k为任意常数。2、（1）C； （2）D； （3）A； （4）C； （5）B； （6）D。3、解 由R（A）=3和方程组解的性质，有Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系为 所以，Ax=b的通解为 其中k为任意常数。4、解对方程组的系数矩阵A作初等行变换由于R（A）=35，所以基础解系中含有2个线性无关的解向量，且等价于下面的方程组解之，得原方程组的通解为5、解 对方程组的增广矩阵B施以初

35、等行变换显然，R（A）=R（B）=35，所以方程组有无穷多个解，且等价于下面的方程组 ，解之，得 故原方程组的通解为6、解 是否能由1，2，3，4线性表示、即非齐次线性方程组x11 + x22 + x33 + x44 = 是否有解。于是对方程组的增广矩阵施以初等行变换，得显然，（1）当a-1时，b为任何值时，R（A）=R（B）=4，方程组有唯一解，所以能由1，2，3，4唯一的线性表示；（2）当a=-1时，b0时，R（A）=2，R（B）=3，方程组无解，所以不能由1，2，3，4线性表示；（3）当a=-1时，b=0时，R（A）=R（B）=2，方程组有无穷多个解，所以能由1，2，3，4线性表示，且表

36、示法不唯一，此时 于是方程组的通解为故 =（-2k1+k2）1 + (k1-2k2+1)2 + k13 + k24，其中k1、k2为任意的常数。7、解由2，3，4线性无关及1=2 2-3知矩阵A的秩为3,因此Ax=0的基础解系有一个解向量,由1-2 2 + 3 + 04 = 0得= 0，即齐次线性方程组Ax=0的基础解系为再由知是Ax=的一个特解，于是方程组Ax=的通解为8、解 显然，1，2线性无关，而由3=31+22知1，2，3线性相关，所以向量组1，2，3的秩为2，1，2是它的一个极大无关组。由于向量组1，2，3与向量组1，2，3具有相同的秩，故1，2，3线性相关，于是有由此得 a=3b.

37、又3可由1，2，3线性表示，从而可由1，2线性表示，所以1，2，3线性相关，于是有解得 b=5,从而a=15。9、解 由于R（A）=A的列向量组的秩，所以设A=（1，2，3，4，5），对矩阵A施以初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵所以向量组1，2，3，4，5的秩为3，1，2，4是向量组1，2，3，4，5的一个极大无关组。10、证 必要性：设有一组数1，2，m使11 + 22 + mm = 0 （1） 由已知 k11 + k22 + kmm = （2）（2）-（1）得（k1-1）1 + （k2-2）2 +（km-m）m = （3）因为表示法唯一，由（2）和（3）有 k1-1= k1，k2-2= k

38、2，km-m= km从而， 1=0，2=0，m=0，由（1）知1，2，m线性无关。充分性：因为1，2，m线性无关，能由1，2，m线性表示，由定理可知表示法唯一。11、证 设有n-r+1个常数，k0，k1，k2，kn-r使得k11+ k22+ kn-rn-r+ k0*=0 （1）因为Ai=0(i=1,2,n-r)，A*=b，所以在（1）的两边同时左乘A，便得k1A1+ k2A2+ kn-Arn-r+ k0A*=0即 k0A*= k0b=0得k0=0，于是（1）变成 k11+ k22+ kn-rn-r=0由于1，2，n-r线性无关，所以k1= k2= kn-r=0。故1，2，n-r，*线性无关。（

39、第五章）1、（1）均为零； （2）5（n重），任意n维非零列向量；（3）-6；10，6，3； （4）24；（5）n-1； （6）。2、（1）D；（2）C；（3）B；（4）A；（5）D；（6）C；（7）B。3、（1）解 由定义AT=（ a12+a22+an2），而R（A）=1，所以A的特征值为1=a12+a22+an2和2=3=n=0。当2=3=n=0时，由Ax=0得A的特征向量为当1=a12+a22+an2时，A的特征向量为=（a1，a2，an）T。（2）解 当A的特征值为1，-2，3时，B的特征值为-1，8，3； 因B有三个各不相同的特征值，所以B可对角化；且 ； |B|=-24；|A-2E

40、|=4。（3）解 由于B+E的特征值1，2，n。所以|B+E|=n!。（4）解 由AAT=2E，得A的两个特征值为，由AAT=2E，|A|0，得|A|=-4，由此得A*的两个特征值为。（5）解 设A的特征值为，其对应的特征向量为x，所以A3x-5A2x+6Ax=0从而3x-52x+6x=0即(3-52+6)x=0得=0,2,3，由于TrA=5，|A|=0，所以A的特征值为0，2，3。由于A的特征值各不相同，故A能相似于对角矩阵。（6）解 由|A|=2b和A的迹等于A的特征值之和a+5=b+3，得a=3,b=5；由A的特征值为1，2，5，求A的特征向量1，2，3并拼成矩阵（7）解 由A=PP-1

41、和P=(1，2，3)得（8）解 由|A-E|=0，得A的三个特征值1=2=6，3= -2。由于A相似于对角矩阵，R（A-6E）=1，即显然，当a=0时，R（A-6E）=1，A的二重特征值6应对应两个线性无关的特征向量。于是对应于1=2=6的两个线性无关的特征向量可取为当3= -2时，取对应的特征向量为。令，则P可逆，并有P-1AP= 。（9）解 由于A*=，ÞAA*=A Þ ，即得 由 （1）和（3）得a=2；由（1）和（2）得b=1，b= -2；当a=2时，|A|=4，由（1）当b=1时，=1；当b= -2时，= 4。4、证明题（1）证 设为A的对应于实特征值的特征向量，

42、则有A=，从而有TAT =T，由此得TATA=2T，又ATA=E，于是有（2-1）T=0，而0，所以2-1=0，故|=1。（2）证 依题意得A=， AT=，将A=的两边转置得，TAT =T，在上式的两边右乘得，TAT =T，即T=T，亦即（-）T=0，由于，所以T=0，故与正交。（3）证 因为|A+E|=|A+AAT|=|A（E+A）T|= -|E+A|，所以|A+E|=0，故1是A的一个特征值。（第六章）一、填空题1、(1), R(A)=3; (2) 。(3) ; (4)-t; (5)A-1。二、选择题1、D； 2、A； 3、C； 4、B； 5、B。三、计算题1、解 由于二次型的秩为2，所以

43、c=3。2、解（1）正交变换法二次型的矩阵为A的特征值为1=2，2=4，3=4。其对应的特征向量为所用的正交变换为二次型的标准形为。（2）配平方法f = 4x12+3x22+2x2x3+3x32= 4x12+3(x22+2x2x3+x32)-4x2x3 = 4x12+3(x2+x3)2-4x2x3令 f = 4y12+3(2y2)2-4(y22-y32)= 4y12+12y22-4y22+4y32 = 4y12+8y22+4y32所用的可逆的线性变换为。二次型的标准形为f = 4y12+8y22+4y32。（3）合同变换法由于所用的可逆的线性变换为二次型的标准形为f = 4y12+3y22+2

44、4y32。3、解 二次型的矩阵形式为A的特征值为1=0，2=4，3=9，正交变换为标准形为；表示椭圆柱面。4、解 二次型及其标准形的矩阵分别为由于A相似于，所以得a=b=0。 A的对应于1=0，2=1，3=2的特征向量分别为单位化后得正交矩阵为。5、解 正、负惯性指数均为1，符号差为零。6、解 对任意x0，有f(x1，x2，xn)0，其中等号成立当且仅当而方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式所以，当1+(-1)n+1a1 a2an-1 an0时，对任意x0，有f(x1，x2，xn)0，即二次型f(x1，x2，xn)正定二次型。四、证明题1、证 由于f(x1，x2，xn)xTAx 是一实二次型，所以存在正交变换x=Py,使f(x1，x2，xn)=1y12+2y22+nyn2从而1（y12+ y22+ yn2）f(x1，x2，xn)=1y12+2y22+nyn2n（y12+ y22+ yn2），亦即 1nyTyf(x1，x2，xn) nyTy又因为 xTx= yTPT Py=yTy所以 1xTxxTAx n xTx。2、证 由xTAx0得（xTAx）TxTATx