级数求和方法的研究与应用

1、南 阳 理 工 学 院 本科生毕业设计（论文） 学院（部）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学 学 生： 刘振山 指导 教师： 许洪范 完成日期 2014 年 05 月南阳理工学院本科生毕业设计（论文）级数求和方法的研究和应用 Research and application of series summation method总 计：毕业设计（论文）23页表 格： 0 个附 录： 0 个插 图： 0 幅南 阳 理 工 学 院 本 科 毕 业 设 计（论文）级数求和方法的研究和应用 Research and application of series summation method学 院（

2、系）： 应用数学系 专 业： 数学与应用数学 学 生 姓 名： 刘振山 学 号： 指 导 教 师（职称）： 许洪范（教授） 评 阅 教 师： 完 成 日 期： 南阳理工学院 Nanyang Institute of Technolo级数求和方法的研究和应用 数学与应用数学专业 刘振山摘 要级数是分析数学的一个重要组成部分.不仅对数学理论的研究起着至关重要的作用，对现代实际生活也有着广泛的影响.关于级数求和方法的研究是很有必要的.本文主要探讨级数求和的一些具体方法，从级数的敛散性判定开始，再从一般级数的收敛到特殊级数的收敛，然后再系统归纳的介绍级数求和的方法，从初等的求和方法到特殊的求和方法，最

3、后介绍级数求和在一些领域的应用，并给出若干MATLAB程序案例.关键词收敛；级数求和；幂级数；matlab；应用.Research and application of series summation methodMathematics and Applied Mathematics Major liu zhen shan Abstract: The series is an important part of mathematics. Not only the study of mathematics plays an important role, also has a wide inf

4、luence on modern practical life. Study of series summation method is necessary. This paper mainly discusses some concrete methods of series summation, starting from the decision in series of divergence, then from the general convergence of the series to the special series of convergence, and then th

5、e system induction of this paper introduces the method of series summation, from elementary summation method to special method of summation, finally introduces the application of series summation in some areas, and several MATLAB application case is given.Key words: Convergence; Power series; Series

6、 summation; matlab; application目录1引言12级数的一般概念12.1数项级数12.2函数项级数23一些级数的收敛及证明方法23.1等比级数23.2 P级数23.3比较判别法23.4柯西判别法33.5达朗贝尔判别法33.6莱布尼兹判别法43.7狄利克雷判别法43.8阿贝尔判别法43.9幂级数44级数求和的方法54.1据定义用极限法求和54.2初等方法求数值级数的和5等差数列求和6等比数列求和6子序列法7裂项相消法8方程式法94.3根据幂级数理论求和9逐项积分求和104.4利用复数求和114.5函数项级数求和12利用傅里叶级数理论求和12逐项微分求和13逐项积分求和1

7、4将原级数分解转化为已知级数再求和14微分方程式法145运用matlab求级数的和156级数的应用16结束语17参考文献18致谢18级数求和方法的研究和应用1引言级数是数学分析的重要工具，主要用来表示函数，研究函数的性质以及进行逼近计算等.所以，对级数基本理论于级数求和问题的研究便成了基础而又重要的课题.可以说，级数求和的研究举足轻重、意义非凡.数学分析研究级数时，级数求和是一个基础而又重要的问题.级数求和的方法多，需要灵活转换，很难找到它的一般规律，级数求和便成了数学分析走向应用的难点.当前，对级数求和的见解不少，但大多繁杂罗列，有的不易理解.查阅相关资料后，此文给出了一些通用思路的方法以及

8、一些特殊方法，相对比较有条理.收敛的级数才能求和，证明级数的收敛是首要，随后给出级数求和的方法，求和方法是主要内容，最后给出其matlab的应用程序以及其在数学，经济等领域的实际应用.2级数的一般概念级数是数学的一个非常重要的数学工具，在数学本身，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，级数的研究有非常重要的意义，级数可分为数项级数和函数项级数，数项级数是函数项级数的基础，函数项级数又是研究函数性质的重要手段，级数求和都是在级数概念这个基础上进行的，所以研究级数求和首先研究级数的定义和性质.2.1数项级数1给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 （1）这便是数项级数，其中称为它的通

9、项.数项级数（1）也常记为或写成.数项级数（1）的前n项和，记=， （2）称它为数项级数（1）的前n项和，也简称部分和.如果数项级数（1）的部分和数列收敛于，那么数项级数（1）是收敛的，记为数项级数（1）的和，记为或若是发散数列，则数项级数（1）是发散的.2.2函数项级数设是定义在数集上的一个函数列，表达式 （3）称作定义在上的函数项级数，记为，称=， （4）为函数项级数（3）的部分和函数列2.若，数项级数 （5）收敛，即当时,部分和=极限存在，称级数（3）在点收敛，如果级数（5）是发散的，称级数（3）在点发散.如果级数（3）在的某个子集D上每点是收敛的，那么级数（3）在D上收敛.3一些级数的

10、收敛及证明方法只有收敛的级数才能求和，在对级数求和时需判断其敛散性，下面介绍一些判别级数敛散性常用的方法.3.1等比级数也称几何级数，一般形式为a+aq+aqn+ ,sn=a(1-qn)1-q(q1)3.2 P级数 一般形式为3.3比较判别法有两个正项级数与,且.1） 如果级数收敛，那么级数收敛；2）如果级数发散，那么级数发散.（极限形式）有两个正项级数与（），且1） 如果级数收敛，当时，那么级数收敛;2） 如果级数发散，当时，那么级数发散.3.4柯西判别法 有正项级数.1）有则级数收敛.2）若纯在无数个n,有则级数发散.（极限形式） 有正项级数，若，则1)当时，级数收敛；2)当时，级数发散.

11、3.5达朗贝尔判别法 有正项级数.1）若有则级数收敛.2）若有则级数发散.（极限形式） 有正项级数，若，则1）当时，级数收敛；2）当时，级数发散.3.6莱布尼兹判别法有交错级数.若1）,2）,则级数收敛.3.7狄利克雷判别法若级数满足1） 数列单调递减，且=0,2） 级数的部分和有界,则级数收敛.3.8阿贝尔判别法若级数满足1）数列单调有界,2）级数收敛,则级数收敛.3.9幂级数幂级数的形式为，其中都是常数，是幂级数的系数3.幂级数，若 或,则其收敛半径为 .4级数求和的方法级数求和的方法繁多，初等的求和方法在研究特殊以及复杂级数求和中处于基础地位，借助它们可以解决不少级数求和问题，但一些特殊

12、的级数就需要特殊的方法才能解决，初等的级数求和便需首要介绍，进而总结出一般级数求和的规律，最后介绍一些特殊的级数求和方法，从而对级数求和的方法做出系统的归纳和分类.4.1据定义用极限法求和从定义来中看到，求级数的和就是求级数部分和数列的极限.由于，则的项数就会有无限多个，想要求其极限，就需要把逐步简化，来一步步求出级数的和.例1 设，求级数的和.解 因，则，于是,可得原级数的和 .4.2初等方法求数值级数的和求解级数的和时，一些常见数列的求和公式，如等差数列、等比数列等求和公式能够很容易求出其和，巧妙运用这些常见求和公式的四则运算能够求出一些复合级数的和.4.2.1等差数列求和等差级数是简单的

13、级数，首先比较各项得到它的公差，找到首项或尾项，再运用公式可求和.，其中为首项，为公差,此外,两式相加得，因为等差级数，所以，由此导出“首尾相加法”，使复杂级数化为一简易级数求和.例2 求.解 ，两式相加得，即.故原级数的和 .4.2.2等比数列求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.当=1，；当1，其中为首项，为公比.此外当=1，易得，当1， ， 两式相减，得.由此导出“错位相减法”，用这种方法适用于解决等比级数和等差级数的复合型问题，通过乘以等比级数的公比，结合原级数进行四则运算后，可以将其转化为等差或等比级数的求和问题.例3 计算.解 ， 两式相减得 ，=3.

14、原级数的和 .4.2.3子序列法 1）对于一些级数，当时，其通项，只需找到它的部分和的某一收敛子列（是某个正整数，=1,2），再求出极限，就可求得级数的和为.例4 求级数的和解 原级数=,，设其部分和数列的子列为.又有已知公式 , 其中=0.577216称为欧拉常数，且.对于原级数，可得.所以，原级数收敛，其和为. 2）若级数与二者皆收敛，则=.例 5计算.解 由级数敛散性证明方法，可知原级数收敛，记其和.对进行分类讨论，记， ， .则 ，所以，故原级数的和 .4.2.4裂项相消法某些是分数形式的级数，且满足分母为多项乘积，各项之间相差一个相同的整数.这样的级数拆项后有相同的部分，这类级数求和

15、时，可以先拆分级数各项再整体逐项相消，从而化简级数求和.裂项一般形式，此处.例6 计算.解 由于而所以， ，故原级数的和 .4.2.5方程式法此法关键在于运用特殊技巧构造出关于的方程，从而解除的具体表达式.例7计算解 比较与，可知，这样，所以，即此级数的和为.4.3根据幂级数理论求和若收敛，则有=，将转化成，对求两种常用方法即逐项微分求和及逐项积分求和.4.3.1逐项微分求和，如果容易求和，那么运用逐项微分容易求和. 例8 求数项级数的和.解 构造幂级数，求得收敛半径.收敛区间是.设它的和函数是，即.由幂级数可逐项可导，有.，有.因为，所以.即.令，有.4.3.2逐项积分求和，当为多项式时，应

16、分解为等式子的组合.如果幂级数的收敛半径，那么幂级数在闭区间上都一致收敛.要求级数的和，只需求在内的和函数，令，取极限，则.例9 计算解 由于,而的收敛半径为1，在时，其收敛，令，在等式两端取极限，有 即.于是，.4.4利用复数求和由于三角函数可以转换为负数域函数，因此在求三角级数的和时，可以用公式将三角型级数转化为复数级数，根据复数的实部对应于此数项级数，从而求得级数的和.欧拉公式 ： ，.棣莫弗公式：.设为复数，记，是实数有 例10 计算解 因为复数级数，令，有 而 于是，.4.5函数项级数求和4.5.1利用傅里叶级数理论求和4 傅里叶级数有着广泛的应用，利用它可以求一些特殊级数的和.若函

17、数fx在区间-,可积，则称 ， ，是函数的傅里叶系数.以函数的傅里叶系数为系数的三角级数称作函数的傅里叶级数，记傅里叶展开的基本方法1.按系数公式计算系数其中.2.将算出的系数代入级数.3.根据收敛定理，判定“”可改为“=”的范围.如果上分段光滑，则级数的和函数例11 设函数，.试求的值.解 将函数在上展开成Fourier级数，于是，因为在内连续，所以，由Parseval等式有 所以.例12 计算，其中满足.解 任意（0，1），记=，由魏尔斯特拉斯定理，因为级数收敛，所以题目中级数在（0，1）上一致收敛.，由于，带入上式可得级数和为.4.5.2逐项微分求和5某些级数微分后容易求和，从而求原级数

18、和时，先对其逐项微分求和，然后再利用积分公式.例13 计算解 计算得出其收敛半径为1，设为其和函数，即，有，逐项微分有，对上式从到积分，得 .4.5.3逐项积分求和6例14 计算.解 记，对其逐项积分得=，其中 所以=.4.5.4将原级数分解转化为已知级数再求和7通过分解，将复杂的转化为已知的知识，可以利用已知的方法求解.例15 计算.解 记，利用的麦克劳林展式得8=.4.5.5微分方程式法基本思想主要是构造级数的和的微分方程式，然后求解微分方程，函数项级数的和便能求出.例16 计算.解 设，逐项微分所以，并且有.解此微分方程的初值问题，得 .5运用matlab求级数的和 对于收敛的级数，可以

19、借助数学软件matlab进行快速求和，不但计算速度快，而且精确度高.用matlab对级数求和主要是知道它的运算格式，运用一些运算命令.求级数的和时，只需在窗口输入运算命令并运行，格式如下9.>>syms n;s=symsum(,n,1,inf)例17 求下列级数的和（1）；（2）；（3）.输入>>syms n;s=symsum(1/n*(n+1),n,1,inf)>>syms n;s=symsum(1/n2,n,1,inf)>>syms n;s=symsum(-1)(n+1)/n,n,1,inf)输出>>1>>pi2/6&

20、gt;>log(2)6级数的应用在数学这一学科的数值计算亦或其他学科的研究计算方面，级数起着广泛又重要的作用.在日常生活生产发展中，级数也起着非常大的作用：几何级数可以判断其他级数的收敛性，解释经济中的乘数效应；幂级数在函数值及定积分的近似计算中发挥着独到的作用，它可以精确的计算其近似数值；它也是处理一些经济投资问题的关键；在物理工程中，利用傅里叶级数进行数字信号处理，1）对数的近似计算例18 已知函数的麦克劳林级数是， (1)应用幂级数（1）计算自然对数的近似值，的变化范围小，收敛的速度慢.故它没有实用价值.因此需要对幂级数（1）进行改进，构造一个新的级数，使的变化范围扩大，收敛速度得

21、到提高.在幂级数（1）中以代替，有 （2）幂级数（1）和（2）等号两端分别相减，有 （3）令，有将代入幂级数（3）中，有 （4）由级数（4）看到，新级数的构造既能求出任意正整数的自然对数，又使级数的收敛速度得到提高.例如，已知有级数（4），有只计算括号内写出来的4项部分和，即其误差不超过2）级数求和在经济问题中的运用10例19 假设银行存款的年利率为，并可以依年复利计算.某公司希望通过存款万元，预计第一年提款19万元，第二年提款28万元，第年提款万元.根据上述规则一直提款下去，试确定至少应为多少万元？解 设开始时刻为，记.由题设知应满足在第1年末时存款余额在第2年末时存款余额如此继续下去，在第年末时存款余额不难看出，能够使取款一直继续下去的应满足在已知的幂级数和函数公式中，令即得所以（万元），的最小额为3980万元.结束语总之级数求和的方法有很多，上述给出一般收敛级数求和的普遍方法，又有根据题目特点的特殊方法，可以求出一些收敛级数的和.但还有一些级数的求和无法求出，还需进一步研究，级数求和的应用领域也很广泛，在数学，经济，物理，化学等一些问题的解决都需用到它，一些隐藏领域也有待发现，这些问题的解决都是基于级数求和的一般理论和方法，相信在未来能够找到收敛性快，精确度高的方法，以此领域的发展