第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C

1、第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C一、填空题（每小题 10 份，共 80 分）1. 计算： 【答案】【考点】计算【解析】2. 农谚“逢冬数九”讲的是， 从冬至之日起， 每九天分为一段， 依次称之为一九， 二九， ，九九，冬至那天是一九的第一天2012 年 12 月 21 日是冬至，那么 2013 年 2 月 3 日是_九的第_天【答案】五、九【考点】周期问题【解析】12月21日到31日有：天；1月份有31天；2月1日到2月3日有3天所以从2012年12月21日到2013年2月3日经过天，所以是2013年2月10日是五九的第九天3. 最简单分数 a 满足 ，且 b 不超过 19，那么

2、a + b的最大可能值与最小可能值之积为_【答案】253【考点】比较大小，最值【解析】化简可得：取最小值时，取最大值时，的最大可能值与最小可能值积为4. 如图所示，P Q , 分别是正方形 ABCD 的边 AD 和对角线 AC 上的点， 且 AP : PD =1: 4 ，AQ : QC = 3: 2 如果正方形 ABCD 的面积为 100， 那么三角形 PBQ 的面积是【答案】37.5【考点】几何【解析】连接，正方形的面积为100，故边长为10，因为，所以，所以5. 四位数 与 的和为 3333，差为 693，那么四位数 为_【答案】2013或1320【考点】和差问题【解析】大数等于，小数等于

3、6. 两个较小的正方体积木分别粘在一个大正方体积木的两个面上，构成下图所示的立体图形，其中，每个小积木粘贴面的四个顶点分别是大积木粘贴面各边的一个五等分点如果三个积木的棱长互不相同且最大的棱长为 5， 那么这个立体图形的表面积是_【答案】270【考点】立体几何表面积【解析】三视图法：表面积在原来棱长为5的正方体表面积的基础上增加了4个棱长为的正方形的一面的面积和4个棱长为的正方形的一面的面积；（题中三个积木的棱长互不相同），所以表面积为：7. 设 a，b，c 分别是 0 9 的数字，它们不同时都是 0 也不同时都是 9将循环小数 化成分数最简分数后，分子有_种不同情况【答案】660【考点】计数

4、：容斥原理【解析】，根据题意，但是结果要化为最简分数，所以化简后会有重复由，可得：1、1）中3的倍数有个；2）中的倍数有个；说明是3的倍数但不是81的倍数的有个，这些数的分子全部可以化简成不是3的倍数的数2、中37的倍数有个；说明是37的倍数有26个，这些数的分子全部可以化简成不是37的倍数的数3、中3和37的倍数有个；说明是111的倍数有8个，这些数的分子全部可以化简成不是111的倍数的数根据容斥原理，约分后会有重复的数有个，则分子有种不同情况8. 由四个完全相同的正方体堆积成如下图所示的立体图形，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是【答案】55【考点】立体几何：空间想象、最值问题

5、【解析】如图所示，与3点相邻的面分别有2点、1点、4点和6点，所以3的对面为5；与4点不相对的面分别有1点、3点、6点、5点，所以2的对面为4；则1的对面为6如下图，分别为这个立体图形的六个方向的视图：，本题的难点在于左视图中绿色的确定，通过原图可以看出，当3上面，2在左面时1在后面；所以当2在上面2在前面时，1应该在左面唯一不能确定的是底视图的中间红色部分，为了让表面的数字和最小，则可以取1故最大值为二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程）9. 下图中，大正方形的周长比小正方形的周长多 80 厘米，阴影部分的面积为 880 平方厘米那么，大正方形的面积是多少平方厘米

6、？【答案】1024【考点】几何面积【解析】将图中空白的正方形摆正，放在大正方形的角上，如下图：两正方形的周长相差80厘米， 则右上角的小正方形C的边长为厘米则长方形A和B的面积都是平方厘米，则空白正方形的边长为厘米，小正方形的面积是平方厘米大正方形的面积是平方厘米10. 某高中根据入学考试成绩确定了录取分数线，录取了四分之一的考生所有被录取者的成绩平均分比录取分数线高 10 分，所有没有被录取的平均分比录取分数线低 26 分，所有考生的平均成绩是 70 分那么录取分数线是多少？【答案】87【考点】平均数问题【解析】假设一共有4人参加考试，则有1人录取，3人没有录取设录取分数线为x分，则有解得，

7、录取分数线，是87分11. 设 n 是小于 50 的自然数，求使得 3n+5 和 5n+4 有大于 1 的公约数的所有 n【答案】7，20，33，46【考点】数论：因数倍数【解析】假设，所以m是13的因数，且m大于1，m=13则，是13的倍数且n小于50，所以时，n分别等于7，20，33，4612. 一次数学竞赛中，参赛各队每题的得分只有 0 分，3 分和 5 分三种可能比赛结束时，有三个队的总得分之和为 32 分若任何一个队的总得分都可能达到32 分，那么这三个队的总得分共有多少种不同的情况？【答案】255【考点】不定方程，计数【解析】设三队得3分的题共x道，得5分的题共y道，则有解得：1）

8、；2）当三队得3分的题共9道，得5分的题共1道三队的3分的题共9道，三队分配共有种；三队得5分的题共1道，三队分配共有3种则这种情况共有种当三队得3分的题共4道，得5分的题共4道三队得3分的题共4道，三队分配共有种；三队得5分的题共4道，三队分配共有种，但是当一队得5分题数大于等于3个时，由于3个5分与5个3分的总分都是15分，所以会与1）中情况重复比如一队的得分为15分，可以为5个3分得来，也可以由3个5分得来，这种情况重复而一队得5分题数大于等于3个的情况分两类：一队得5分题数等于4个，共3种情况；一队得5分题数等于3个，共有种则与1）不重复的排法有种则这种情况共有种综上所述，共有种三、解

9、答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13. 在等腰直角三角形 ABC 中， A= 90 ， AB = AC =1，矩形 EHGF 在三角形 ABC 内，且 G ， H 在边 BC 上求矩形 EHGF 的最大面积【答案】【考点】平面几何：直线型【解析】过做的垂线，垂足为，交于令此时（和一定）当时，最大，最大此时，此时四边形EFGH的面积最大，14. 用八个下图所示的 2 1 的长方形可以拼成一个 4 4的正方形， 若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同问：有几种【答案】10【考点】构造与论证【解析】首先构造一个的正方形（如下图）根据一条