第二讲 导数与微分

1、第二章 导数与微分一、学习目的与要求1、加深理解导数概念，并能利用导数解决一些具体问题。2、熟练掌握求导法则及导数基本公式，能正确求出初等函数的导数。3、熟练掌握隐函数和参数方程所确定函数的一阶、二阶导数的求法。二、学习重点导数概念及复合函数求导问题三、内容提要1、 导数定义 设函数在的某邻域内有定义，对应于自变量的任一改变量，函数的改变量为，如果存在，则称在处可导，且称此极限值为在点处的导数，记作。若记又可记为若记 则称、分别是在处的右导数与左导数，且2、可导与连续的关系 可导连续，不连续不可导；反之，不一定成立。3、若在点处的增量，其中无关，则称在处可微，并称为函数在点处的微分，记为.当在

2、处可微时,因此,由上可知，导数可表为函数的微分与自变量微分之商。可导可微。4、导数与微分的四则运算设处可导，则5、复合函数的导数与微分设在点处可导，在点所对应的点处可导，则复合函数在点可导，且对于不论变量是中间变量还是自变量，都有，这一性质称为一阶微分形式不变性。6、隐函数求导，反函数求导设是方程所确定的隐函数，则可由方程两边对求导后解出。设函数在点的某邻域内单调连续且在处可导，的反函数在点所对应的点处可导，且在计算反函数的二阶导数时要注意：一般，7、参数式求导设上连续，可导且则参数式确定的函数可导，且记为,则 8、高阶导数如果的函数在点处可导，则的导数称为的二阶导数，且记作，由定义。类似的，

3、二阶导数的导数称为三阶导数，一般地，的阶导数的导数称为的的阶导数，且记为即 。函数的阶导数存在也表明函数次可微。9、高阶导数的运算法则 设阶可导，则（1） 2）（3）10、几个基本初等函数的阶求导公式；11、导数的几何意义若函数处的导数存在，则的值等于曲线 处的切线斜率，且在处的切线方程为法线方程为或12、常用基本求导公式 四、思考题1、初等函数在其定义区间内是否一定可导？2、若函数在（-，+）内处处可导，则其导函数必处处连续，对吗？3、若为内可导的偶函数，则在内是否必为奇函数？若 则 =？4、函数在一点可导的充要条件是什么？5、若曲线处处有切线，则函数必处处可导，对吗？6、可导的周期函数，其

4、导函数是否必为周期函数？7、若在(a,b)内可导，其反函数在相应点是否必定可导？8、若与在(a,b)内可导，且，则对吗？9、设是单调连续函数的反函数，且=5，则五、典型例题分析例1 研究函数在点=0处的连续性与可导性，并求。问在=0处连续吗？分析 为分段函数。而求分段函数的导数，通常如下进行：（1）判断在各段开区间内是否可导。如果可导，则在各段开区间内分别求导.（2）判断在各分段点处是否可导，此步是分段函数求导的关键。要判断分段函数在分断点是否可导，首先要看它在该点是否连续，若不连续，则在该点必不可导；其次，若在分段点连续，满足了函数在一点可导的必要条件，再根据导数定义来判断函数在该点的可导性

5、，或用函数在一点可导的充要条件来判定在该点的可导性。求解此问题应分成四个步骤。解（1） 因（无穷小乘有界变量）所以 故在=0处连续。（2） = （无穷小乘有界变量） 。所以在=0处可导，且。（3）（4）因，不存在。 所以在=0处不连续。例2 若存在，求，其中为不等于0的常数。分析 （1）已知条件是存在，所求是一个比值的极限，而函数在一点的导数定义为函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于0时的极限，因此，要求此极限必须紧扣条件，利用导数定义。（2）自变量的增量可以用表示，也可用一个常数乘来表示，亦可用别的字母表示。从观察知，自变量在点取得的增量应为，从观察，自变量在点取得的增量应为。要利用导数

6、定义，还需作适当的恒等变形。解 将分式适当变形原式= = =例3 设，试确定系数和，使得处处连续可导。解 显然，当0时，连续。当=0时，有，第一项极限不存在，第二项极限为零，要使在=0处连续，必需。当时，有(0-0)=(0+0)=(0)=0，函数在=0处连 续，从而处处连续。此时又当0时，显然可导，当=0时，有 故当=1，在=0处可导，从而处处可导。综上讨论，当=0，=1时，处处连续可导。例4 指出下列各题作法中的错误，并正确求解各题（1）已知，求。解 ，（2）已知，求。解 。（3）已知，求。解 = =（4）已知，求（其中>0）。解 ，以下逐题分析错误所在，并给予正确解答。（1）错误在于

7、，正确作法为： （2）错误是复合函数求导未进行到底。正确作法为：（3）错误在于第二个等号不成立，最后一个因子不应乘以，正确作法为： = =（4）解中不成立，正确作法为： 两边对求导：=， =小结 （1）在进行复合函数求导时，若有可能，应首先利用代数恒等变形或三角恒等变形，将函数化简，然后求导，这样可简化计算，少出差错。如可先变形为，然后再求导。（2）求复合函数的导数是导数内容的重点，在求导过程中，必须先搞清函数是怎样复合而成的，函数由里到外逐步复合，求导时，从外到里逐次求导，注意一定要求到底，不要有遗漏。 （3）对于幂指函数，如，和多因子连乘、除、乘方、开方的函数，如等，注意正确运用对数求导法

8、。例5 设，试证明关系式。分析 这是涉及到高阶导数的问题，若设想按照高阶导数求法，依次求出函数的(n-1)阶，n阶，(n+1)阶导数，然后代入关系式的左端加以整理，看其是否为0，显然是很困难的。因此，要证明此题，需采用适当的技巧。一般在求高阶导数时，应对函数进行：1.初等变形；2.利用基本初等函数的高阶导数公式；3.利用莱布尼兹公式或数学归纳法。证法1 ，即,两端对求导，整理得 （*）（*）式左端正好是要求论证结果左端n=1的情形，但右端尚不是0，不过，关系式是对n>1成立。所以，利用莱布尼兹公式，（*）式两端再对求（n-1）阶导数。即 证法2 要论证有关n阶导数所满足的恒等关系式，也常

9、采用数学归纳法。（1）将(*)式两端对求导 ，整理得这说明关系式对n=2时成立。（2）设当n=k时，关系式成立，即 （* *）求证当n=k+1时关系成立。（* *）式两端对求导整理得 故关系式对任意的n2均成立。例6 求由方程所确定的隐函数的导数及二阶导数 （）。解 根据此方程的特点，方程两端先取对数，再求导更为方便。方程两端取对数：，再两端对求导：整理得 ，即 ，所以 ,小结 （1）隐函数求导法很重要，当、之间关系由方程给出时，或 对的导数比较难求时，可用此法。 （2）隐函数求二阶导数时，可先求出，再将对求导，注意是自变量， 是的函数，然后把代入整理即可。亦可由方程两端继续 对求导，有 ，解

10、出 ，再将代入，得例7 求由参数方程所确定函数的一阶、二阶导数。解 。=说明 在求由参数方程所确定函数的高阶导数时，仅需弄清式子即可。同学们在求导中常常丢掉，应注意此点。例8 试确定的值，使两曲线与相切。分析 两曲线相切，包含两层意思：一是在切点处，两曲线的纵横坐标相等；二是在切点处，两曲线的切线斜率相同。 （1）（2）解 由（1）得，代入（2），得，所以 。说明 解此题同学们往往只注意到相切，由，得，认为问题就解决了，实际上，由只能说明两曲线的切线平行，而为待定系数，为了确定其值，还需用到两曲线相切，切点处纵横坐标相等的条件把定出来。例9 求椭圆上，点处的切线方程和法线方程。分析 此题的核心

11、是求曲线斜率和法线斜率，而导数的几何意义就是曲线在该点处的切线斜率，故只需求出椭圆上点处对应的导数值即可，而椭圆可用三种方式表示，即 显式、隐式、参数式，而此处是用隐函数形式给出的，求曲线斜率用隐函数求导法更简便。解 方程两端对求导：所以 故 所求切线方程为 法线方程为 例10 将水注入深8m而上顶直径为8m的锥形水池中，注入速率为每分钟4m2，求当深为5m时，其表面上升的速率为多少？分析 这是相关变化率问题。池中水面高度h是时间t的可导函数，注入池中的水的体积也是时间t的可导函数，若能建立池中水的体积与水面高度间的函数关系式，就能利用已知变化率，求得水面高度h随时间的变化率。解 设经过t分钟后，注入池中水的体积为V，水面高度为h，则由于，所以，即。这就是注入池中水的体积与水面高度间的函数关系式。两端对t求导，得已知，所以，当h=5m时，其表面上升速率为 （m/min）例11 若在内有定义，=0，且时，有成立。（1）讨论的连续性。（2）求。分析 此题是运用极限、连续、导数等重要概念的综合题，主要搞清解题思路，及解题过程中的正确表达。解 由，知