第九章 重积分 习题解答

1、习题9-11. 设有一平面薄板（不计其厚度），占有平面上的闭区域，薄板上分布着面密度为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷。解：据题意，薄板区域是Oxy平面上的有界闭域，是定义在D上的面密度函数，那么用任意曲线把分成n个可求面积的小区域，以表示小区域的面积，这些小区域构成了的一个分割T，在每个上任取一点，那么电荷Q即为上的一个积分和。当|T|足够小时，2. 下列二重积分表达怎样的空间立体的体积？试画出下列空间立体的图形：（1），其中区域是圆域；解：（1）在圆域上以抛物面为顶的曲顶柱体的体积。（2），其中区域是三角形域；解： 在三角形域D上以平面为顶的柱体的体积。 （1） （2）

2、3. 利用二重积分定义证明：（1） （其中为的面积）；解：已知题中，设是有界区域的一个分割，即，以表示小区域的面积，在每个上任取一点，当足够小时有（2） （其中为常数）；解：令，设是有界区域的一个分割，即，以表示小区域的面积，在每个上任取一点，当足够小时有（3） 其中，且和为两个无公共内点的闭区域。解：设是有界区域的一个分割，即，以表示小区域的面积，在每个上任取一点，当足够小时有 设是有界区域的一个分割，即，以表示小区域的面积，在每个上任取一点，当足够小时有 令是有界区域的一个分割，其中，且和为两个无公共内点的闭区域。即，以表示小区域的面积，在每个上任取一点，4. 利用二重积分的性质估计下列积

3、分的值：（1），其中是矩形闭区域：；解：已知是矩形闭区域，在上连续，由积分中值定理知存在使得，这里=1，由得，进而推得即（2），其中是矩形闭区域：；解：令则由积分中值定理知存在使得这里，由可得，推得即（3），其中是圆形闭区域：；解：令由积分中值定理知存在使得这里，由可得，故，推得，即（4），其中是矩形闭区域：。解：令由积分中值定理知存在使得：这里，由可得，推得即习题9-21. 将二重积分化为二次积分（两种次序），其中分别如下：（1）以点顶点的三角形；解：积分区域可看做为直线和与y轴所围区域部分先对积分：，先对积分：和（2）由曲线和所围成的区域；解：积分区域可看做为直线和曲线所围区域部分先对积分

4、：，先对积分：，即：（3） 在第一象限中由和所围成的区域；解：积分区域可看做为直线和曲线所围区域部分。 先对积分：，先对积分：，即：（4）圆域；解：积分区域是圆的内部区域。先对积分：先对积分：即：（5）由直线和所围成的区域。解：积分区域可看作直线所围成的区域。 先对积分： 先对积分：，即：2. 画出下列各二次积分所对应的二重积分的积分区域，并更换积分顺序：（1）； （2）； 解：原式=解： 1 0 3将积分区域分为三个部分（3）； （4）。解：积分区域可看作解：积分区域可看作.3. 计算下列二重积分（1），其中为矩形域：；解：（2），其中为矩形域：；解：（3） ，其中为抛物线与直线（）所围成的

5、区域；解：（4），其中为由的下半圆与直线所围成的区域；解：（5），其中为圆域：；解：，令，原式（6），其中为由曲线与直线所围成的区域；解：已知与的交点（7），其中为由双曲线与直线所围成的区域；解：（8），其中为由不等式和所决定的区域。解：已知与交于，令，原式4. 在极坐标系中计算下列二重积分：（1），其中为圆环：；解：令，由已知条件可以得出满足条件，这里，原式（2），其中为圆域：；解：令，由已知条件可得，由此可得，原式（3），其中为由不等式及所决定的区域；解：令，由已知条件及，可得分别满足条件：，原式（4），其中为由双纽线所围成的区域。解：令并带入条件得，知r满足条件，又由推得满足条件，原式5

6、. 利用二重积分求下列图形的面积：（1）由抛物线所围成的图形；解：由题给条件得出两条曲线的交点面积（2）由曲线所围成的图形；解：令代入题设条件可以求得面积（3）由不等式及所决定的图形。解：由题中条件知当即时，当即时面积6. 利用二重积分求下列立体的体积：（1）由曲面和平面所围成立体在第一卦限中的部分；解：据题意，所求体积部分在第一卦限中，故知，令，由题设条件及可得满足条件，于是所求体积为（2）由曲面与所围立体。解：知两曲面交于曲线，令，知积分区域，由题给条件知所求体积：习题 9-31. 把三重积分化为三次积分，其中分别是：（1）由平面和所围成的区域；解：V在xy平面上的投影区域，这里，故得：（

7、2）在第一卦限中由柱面与平面所围成的区域；解：V在xy平面上的投影区域，这里，故得：（3）由抛物面和柱面所围成的区域。解：已知，两曲面在xy平面上交于曲线在xy平面上的投影区域，这里，故得2. 计算下列三重积分：（1），其中是由和不等式， 所确定的区域；解：（2） ，其中为平面，所围成的区域；解：V在xy平面上的投影区域，这里（3） ，其中是由锥面与平面，（，）所围成的闭区域；解：知锥面与平面交于曲线，故V在xy平面上的投影区域，这里令，原式3. 用柱面坐标或球面坐标将三重积分化为三次积分，其中分别是如下各组不等式所确定的区域：（1） ； 解：此题用柱面坐标，令，代入题给区域条件得，知该两曲面

8、交于，其中（2） ；解：此题用柱面坐标，令，代入题给区域条件得，由推得（3） ；解：此题用柱面坐标，令，代入题给区域条件得，两曲面交于，其中，（4） ；解：柱面坐标：令，代入题给区域条件得，由可推得，或采用球面坐标：令代入题给区域条件得，由知，故推得4. 在柱面坐标系中或球面坐标系中计算下列三重积分：（1），其中是由曲面和平面所围成的区域；解：令，代入题给区域条件V得,从而得出积分区域（2），其中是由球面所围成的闭区域；解：令，代入题中球面得出，于是得出积分区域令可得原式（3），其中是由以及平面，所围成的区域；解：令，由题给区域是及平面，围成的，得出（4），其中是为球壳在第一卦限中的部分。解：

9、令，代入题中球壳区域得，所求部分在第一卦限中，得出积分区域5. 利用三重积分求下列立体的体积，其中分别为：（1）由柱面和平面所围成的区域；解：已知积分区域（2）由抛物面与所围成的区域；解：根据题给条件可得令，知积分区域（3）由抛物面和柱面以及平面所围成的区域。解：已知，由柱坐标变换，得习题 9-41. 求圆锥面被柱面所割下部分的曲面面积；解：曲面面积公式，其中，所求曲面方程，得：2. 求由旋转抛物面与平面所围成立体在第一卦限部分的质量，假定其密度为；解：已知积分区域，3. 求圆与所围的均匀环在第一象限部分的重心；解：由于是均匀圆环，即是一个常数，由重心坐标公式知，由于在第一象限，故其中，令，知

10、此时有，得同理得，重心坐标为4. 求椭圆抛物面与平面所围成的均匀物体的重心；解：由于是均匀物体，是一个常数，由重心坐标公式知，令代入题给条件得，故用柱面坐标可得，同理可得，5. 求半径为，高为的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量。（设密度为）。解：根据题意知转动惯量是物体对于过中心平行于母线的轴的转动惯量，建立坐标系，以圆柱底面圆重心为坐标原点则由转动惯量公式可知，根据柱面坐标公式令第九章 总练习题1. 计算下列二重积分（1），其中是顶点分别为和的梯形闭区域；解：由题设可知，令，原式（2），其中是闭区域：；解：（3），其中是闭区域：；解：令，由题中条件可得出，2. 交换下列二次积分

11、的次序：（1） ；解：积分区域，（2） ；解：积分区域（3）。解：积分区域3. 设函数在上连续，且有，求。 解：根据题意已知，令，可知，知积分区域的面积是的两倍，故4. 求，其中：。解：由已知条件可知对于积分，我们令知，是一个奇函数，故，得5. 计算下列三重积分：（1） ，其中是两个球和（）的公共部分；解：根据题意,（2） 计算，其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体；解：曲线绕z轴旋转一周成的曲面和平面围成区域。令，推得积分区域 （3） 求椭球体的体积。解：令，由已知区域条件得、，故该椭球体的体积是6. 在均匀的半径为的半圆形薄板的直径另一边要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄板，为了使整个均匀薄板的重心恰好落在圆心上，问接上