立体几何中的角度与距离问题

1、立体几何中的角度与距离问题【基础知识】一空间角度问题（一）理解空间中各种角的定义及其取值范围1异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的概念。2各种角的取值范围：（1）异面直线所成的角的取值范围是：0°< q 90°；（2）直线于平面所成的角的取值范围是： 0° q 90°；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，通常认为二面角平面角的取值范围是： 0°< q 180°（二）空间中的角的计算1、用直接法求角的一般步骤是：（1）找出或做出有关角的图形；（2）证明它符合定义（3）计算（一般通过解三角形）2、异面直线所成的

2、角：用平移转化的方法使它成为相交直线所成的角。当异面直线垂直时，运用直线垂直平面的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成角是90°.3 斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段/斜线段及斜线段在平面内的射影。4 二面角要转化为其平面角，掌握以下三种基本做法：（1）直接利用定义；（2）利用三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面AOBMNababAOPABOPab(1)(2)(3)另外，还要特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角注意：1.空间各种角的计算方法都是转化为平面角来计算的，应熟练掌握这种转化。2.计算题必须有推理过程。二空间距离问题1立体几何中

3、的各种距离有：（1）点到直线的距离（2）点到平面的距离（3）平行直线间的距离（4）异面直线间的距离（5）直线与平面的距离（6）两个平面间的距离（7）球面上两点间距离2空间七种距离求法，通常是转化为平面上两点间的距离：（1）找出或作出有关距离的图形；（2）证明它们就是所求的距离；（3）利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算3 求异面直线距离（1）定义：关键确定公垂线段（2）转化为直线和平面间距离（过a而与b平行的平面）（3）转化为平面间距离（4）极值法4 求点面距离其法有二：（1）直接法，确定垂足的位置（2）等体积法，同一个三棱锥，从不同的角度选择底和高计算体积并加以比较即可。5 曲面上两点间

4、距离（1）曲面可展开，则在侧面展开图上计算。（2）曲面不可展开，球面上两点的球面距离按定义求。6各种距离可相互转化：点到平面的距离、点到直线的距离是重点。求点到平面的距离：转移法、体积法体现了转化的思想。【课后训练】1.ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角ABDC，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为A. B. C. D.12在ABC中，AB=15，BCA=120°，若ABC所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到的距离是 A.13B.11C.9D.73长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为A.1+B.2+C

5、.3D.24（2006全国卷）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_5（2006年辽宁卷）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=_.【针对练习】1（2002全国）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）A. B. C. D.2右图是正方体的平面展开图在这个正方体中，BM与ED平行 CN与BE是异面直线 CN与BM成60°角 DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A.B.C.D.3平面内的MON=60°，PO是的斜线，PO=3，POM=PON=45&#

6、176;，那么点P到平面的距离是A. B. C. D. 4已知直线a，且a与间的距离为d，a在内的射影为a，l为平面内与a平行的任一直线，则a与l之间的距离的取值范围是A.d，+） B.（d，+）C.（0，dD.d5（2006年四川卷）已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成的角为（）（A） （B） （C） （D）6关于直角AOB在定平面内的射影有如下判断：可能是0°的角；可能是锐角；可能是直角；可能是钝角；可能是180°的角.其中正确判断的序号是 （注：把你认为是正确判断的序号都填上）.ABCDA1B1C1D1第8题图A17正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面

7、成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_.8（2006年安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的编号）参考答案【课后训练】1答案：D解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求.易证CE=1.选D.2答案：B解析：作PO于点O，连结OA、OB、OC，PA=PB=PC，OA=OB=OC.O是ABC的外心.OA=5.PO

8、=11为所求.选B.3答案：C解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.4答案：解析：底面正方形面积，底面边长，高，二面角的余切值。代入数据，得：。又必为锐角，所以。5答案：【解析】不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故.【针对练习】1答案：C解析：如图，作出轴截面，设公共底面圆的半径为R，圆锥的高为hV锥=R2h，V半球=·R3V锥=V半球，h=2R tan= cos=2.答案：C解析:展开图可以折成如图的正方体,由图可知不正确.正确.3答案：A解析：cosPOM=cosPOH&

9、#183;cosMOH，= cosPOH.cosPOH=.sinPOH=.PH=PO·sinPOH=3×=.4答案：B解析：如图，在a上任取一点P作POa，垂足为O，过O作OAl，垂足为A，连结PA.则PAl，PAa，故PA就是a与l之间的距离.在RtPOA中，PA>PO=d，选B.5答案：B6答案：解析：直角AOB在平面的射影为直线l，如图所示.因此，判断是正确的.直角AOB在平面的射影为ASB，ASB为锐角，如图.因此，判断是正确的.直角AOB在平面的射影为AOB而AOB为直角，如图，因此判断是正确的.判断、如图7答案：解析：设正方形边长为1，可得FD1，FC，BF，又BC1，在CBF中，由余弦定理得cosCBF.8解：如图，B、D、A1到平面的距离