第10章_曲线积分和曲面积分

1、第十章 曲线积分和曲面积分一、 基本内容（一）第一型曲线积分与曲面积分1. 第一型曲线积分（1）第一型曲线积分的定义若是封闭的，则记作(2) 第一型曲线积分的计算2. 第一型曲面积分（1）第一型曲面积分的定义（2）第一型曲面积分的计算（二）第二型曲线积分1. 第二型曲线积分的定义设，当，都存在时，其中是的单位切向量， 称为一般形式的第二型曲线积分.2. 第二型曲线积分的计算3. 格林公式及其一些命题（1）格林公式（2）若、在单连通域上均连续，则下列四个命题等价：1) 只依赖于区域内的起点与终点，而与连结、的积分路径无关；2) 在区域上，是某一个函数的全微分，且其中点是内的某一定点，点是内的动点

2、；3) 在区域上的每一点处都成立；4)，其中是内的任意一条逐段光滑的闭曲线（三）第二型曲面积分1. 第二型曲面积分的定义称为一般形式的第二型曲面积分，当是闭曲面时，积分号将写成2. 第二型曲面积分的计算,同理计算,3. 奥-高公式与斯托克斯公式（1）（2）4. 向量场的散度与旋度称为散度,称为旋度二、练习题10.1计算下列第一型曲线积分：（1）计算,其中为连接，的直线段所围成的围线解：如图10-1，；O11ABxy 图10-1；（2），其中为摆线，的第一拱解：摆线的第一拱，则（3），其中是解：是关于的奇函数,而是关于轴对称.由第一型曲线积分的对称性知：(x,y)a/2axyOt图10-2（4）

3、，其中为圆周解：如图10-2，方程为：，其中原式 （5），其中为圆周解：的参数方程为：z OBaxACyaa图10-3（6）计算球面在第一象限上的边界曲线的形心解：不妨假设，如图10-3， 其中； ； 故又由于图形的对称性知（7）设的方程为，其线密度，求对于原点处的单位质点的引力解：的极坐标方程为， 由对称性知10.2计算下列第二型曲线积分：（1），为抛物线解：原式 （2），其中为抛物线段，为直线解：原式（3），为沿参数增加的方向进行的曲线z OB1xACy11图10-4解：原式 （4），为球面的第一象限中的部分的边界，从z轴正向向负向看去，L为逆时针方向解：如图10-4，由对称性知原积分为

4、，从到原积分 （5），是从沿曲线到点的曲线解：设，有，故积分与路径无关， 原积分 （6），其中为域的正方向的围线解：由格林公式，图10-5（7），为沿正向进行，而不经过坐标原点的简单闭曲线解：（1）若原点不在所围的区域内，直接应用格林公式 （2）若原点在所围成的区域内，如图10-5，在原点附近作一个充分小的圆周，其方向为顺时针方向，设 与所围成的复连域为，则 （8）解：，故积分与路径无关设，选取路径计算积分， （9）1OB(1, ) xy图10-6A解：，故积分与路径无关， 如图10-6，选取路径计算积分原积分2图10-710.3计算下列第一型曲面积分：（1），是在第一象限的部分解：，如图10

5、-7，a图10-8（2），是的表面解：如图10-8，取取， 则 （3）设曲面的面密度为，求其质心坐标及对于坐标轴的转动惯量解：由对称性知： 故质心坐标为 由对称性知 10.4计算下列第二型曲面积分：（1）,是由与所围成的立体的表面内侧解：由高斯公式知（2），是由，及所围成立体表面外侧解：由高斯公式（3），为球面的外侧解：由对称性知故原积分设，则仍有（4）求向量穿过曲面为的全表面流向外侧的流量解：三、测验题1. 填空（1）是曲线，其周长为，则等于 解：由积分的对称性知，又即：，故（2）是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为，则 解：由格林公式，（3） .解：由第一、二型曲面积分的关

6、系，应填.（4） 解：由第一、二型曲面积分的关系，应填.2. 选择（1）设曲线段从沿到点，已知，则等于（ ）.A. B. C. D.A,B,C全不对解：设，满足，故积分与路径无关，又因为在无定义，应选B.（2）设是在第五象限且通过点及的右侧的光滑曲面，的方程为，且的一阶偏导数不为零，有等式则等于（ ）.A. B. C. D. 解：的法向量为，单位化后为，又已知为右侧，所以符号为正，应选C.（3）设曲线积分其中闭曲线为逆时针方向，则等于（ ）A. B. C. D. 解：利用格林公式，应选C.（4），其中是平面被柱面所截得部分的上侧，则等于（ ）A. B. C. D.解：，故，有， 选取坐标：，则，应选B3. 计算下列各题（1），其中是从沿，到的一段弧解：补充直线段，（设L的参数方程为） （2）求摆线， 的弧的重心解： 故，（