第七章实数的完备性

1、第七章 实数的完备性教学目的：了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明；理解聚点的概念，上、下极限的概念。教学内容：1、实数完备性六个等价定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理；2、闭区间上连续函数整体性质的证明：有界性定理的证明，最大小值性定理的证明，介值性定理的证明，一致连续性定理的证明；3、上、下极限。教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。 教学时数：14学时 1 关于实数集完备性的基本定理（4学时） 教学目的：使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；明确基本定理是数

2、学分析的理论基础。 教学重（难）点：实数完备性的基本定理的证明。 一确界存在定理：回顾确界概念 Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三. Cantor闭区间套定理 : 1.区间套: 设 是一闭区间序列. 若满足条件 对 , 有 , 即 , 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; . 即当 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列

3、 和 , 其中 递增, 递减. 例如 和 都是区间套. 但 、和 都不是. 2. Cantor区间套定理: Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四 Cauchy收敛准则 数列收敛的充要条件 : 1.基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy列. 例1验证以下两数列为Cauchy列 : . . 解 ; 对 ，为使 ，易见只要 . 于是取 . . 当 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 , 又 .当 为奇数时 , , . 综上 , 对任何自然数 , 有 . Cau

4、chy列的否定: 例2 . 验证数列 不是Cauchy列. 证 对 , 取 , 有 . 因此, 取 , 2. Cauchy收敛原理: Th 4 数列 收敛 是Cauchy列. ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则给出证明 ) 五. 致密性定理: 数集的聚点定义 设 是无穷点集. 若在点 (未必属于 )的任何邻域内有 的无穷多个点, 则称点 为 的一个聚点. 数集 = 有唯一聚点 , 但 ; 开区间 的全体聚点之集是闭区间; 设 是 中全体有理数所成之集, 易见 的聚点集是闭区间 . 1.列紧性: 亦称为Weierstras

5、s收敛子列定理. Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 2. 聚点原理 : Weierstrass聚点原理. Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 六. HeineBorel 有限覆盖定理: 1.覆盖: 先介绍区间族 . 定义( 覆盖 ) 设 是一个数集 , 是区间族 . 若对 ,则称区间族 覆盖了 , 或称区间族 是数集 的一个覆盖. 记为 若每个 都是开区间, 则称区间族 是开区间族 . 开区间族常记为.定义( 开覆盖 ) 数集 的一个开区间族覆盖称为 的一个开覆盖, 简称为 的一个覆盖. 子覆盖、有限覆盖、有限子覆盖. 例3 覆盖了区间 , 但不能覆盖

6、;覆盖 , 但不能覆盖 .2. HeineBorel 有限覆盖定理: Th 7 闭区间的任一开覆盖必有有限子覆盖. 补充 2 实数基本定理等价性的证明（4学时）证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: : 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy收敛准则 确界原理 ; : 区间套定理 致密性定理 Cauchy收敛准则 ; : 区间套定理 HeineBorel 有限覆盖定理 区间套定理 . 一. “” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ). 1.用“确界原理”证明“单调有界原理”: Th 2 单调有界数列必收敛 .

7、证 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 证 系1 若 是区间套 确定的公共点, 则对 , 当 时, 总有 . 系2 若 是区间套 确定的公共点, 则有 , , . 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”: Th 4 数列 收敛 是Cauchy列. 引理 Cauchy列是有界列. ( 证 ) Th 4 的证明: 4 用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ： Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设 为非空有上界数集 . 当 为有限集时

8、, 显然有上确界 .下设 为无限集, 取 不是 的上界, 为 的上界. 对分区间 , 取 , 使 不是 的上界, 为 的上界. 依此得闭区间列. 验证 为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则, 收敛; 同理 收敛. 易见 . 设 .有 .下证 .用反证法验证 的上界性和最小性. 二.“” 的证明: 1.用“区间套定理”证明“致密性定理”: Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 证 （ 突出子列抽取技巧 ） Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 证 （ 用对分法 ） 2用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” ： Th 4 数列 收敛 是Cauchy列

9、.证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy列有界 有收敛子列 验证收敛子列的极限即为 的极限. 三.“” 的证明: 1. 用“区间套定理”证明“HeineBorel 有限复盖定理”: 证 2.用“HeineBorel 有限覆盖定理” 证明“区间套定理”: 3 闭区间上连续函数性质的证明（4学时） 教学目的： 能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点：基本定理的应用。 一. 有界性: 命题1 , 在 上 . 证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法. 证法 三 ( 用有限覆盖定

10、理 ). 二.最值性: 命题2 , 在 上取得最大值和最小值. ( 只证取得最大值 ) 证 ( 用确界原理 ) 三.介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”. 命题3 ( 零点定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) . 证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 . 令 , 则 非空有界, 有上确界. 设 ,有 . 现证 , ( 为此证明 且 ). 取 且. 由 在点 连续和 , , .于是.由在点连续和, . 因此只能有 . 证法 三 ( 用有限覆盖定理 ). 四. 一致连续性: 命题4 ( Cantor定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) . 证法 二 ( 用列紧性 ). 习 题 课（2学

11、时）一实数基本定理互证举例： 例1 用“区间套定理”证明“单调有界原理”. 证 设数列 递增有上界. 取闭区间 , 使 不是 的上界, 是 的上界. 易见在闭区间 内含有数列 的无穷多项, 而在 外仅含有 的有限项. 对分 , 取 使有 的性质.于是得区间套 ,有公共点 . 易见在点 的任何邻域内有数列 的无穷多项而在其外仅含有 的有限项, . 例2 用“确界原理”证明“区间套定理”. 证 为区间套. 先证每个 为数列 的下界, 而每个 为数列的上界. 由确 界原理 , 数列 有上确界, 数列 有下确界 . 设 , . 易见有 和 . 由 ， . 例3 用“有限覆盖定理”证明“聚点原理”. 证

12、 ( 用反证法 ) 设 为有界无限点集, . 反设 的每一点都不是 的聚点, 则对 , 存在开区间 , 使在 内仅有 的有限个点. . 例4 用“确界原理”证明“聚点原理”. 证 设 为有界无限点集. 构造数集 中大于 的点有无穷多个 . 易见数集 非空有上界, 由确界原理, 有上确界. 设 . 则对 ,由 不是 的上界, 中大于 的点有无穷多个; 由 是 的上界, 中大于 的点仅有有限个. 于是, 在 内有 的无穷多个点,即 是 的一个聚点 . 二.实数基本定理应用举例： 例5 设 是闭区间 上的递增函数, 但不必连续 . 如果 ,则,使.证法 一 ( 用确界原理 ) 设集合 . 则 , 不

13、空 ; ,有界 .由确界原理 , 有上确界. 设 , 则 .下证 . 若 , 有 ; 又 , 得 . 由递增和 , 有 , 可见 . 由 , . 于是 , 只能有 . 若 , 则存在 内的数列 , 使 , ; 也存在数列, , . 由 递增, 以及 , 就有式对任何 成立 . 令 , 得 于是有 .证法二 ( 用区间套原理 ) 当 或 时, 或 就是方程 在 上的实根 . 以下总设 . 对分区间 , 设分点为 . 倘有 , 就是方程 在 上的实根.(以下总设不会出现这种情况) . 若 , 取 ; 若, 取 , 如此得一级区间 . 依此构造区间套 , 对 ,有 . 由区间套定理, , 使对任何 , 有 . 现证 . 事实上, 注意到 时 和 以 及 递增, 就有 . 令 , 得 于是有 .例6 设在闭区间 上函数 连续, 递增 , 且有 ,. 试证明: 方程 在区间 内有实根 . 证 构造区间套 ,使 .由区间套定理, , 使对 , 有 . 现证 . 事实上, 由 在 上的递增性和 的构造以及 和 , 有 . 注意到 在点 连续，由Heine归并原则, 有 , , . 为方程 在区