空间向量及其运算含答案解析

1、向量及其运算（含答案解析）考试目标 主词填空1.空间向量基本定理及应用空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.2.向量的直角坐标运算：设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).则a+b= .a-b= . a·b=.若a、b为两非零向量，则aba·b=0 =0.题型示例 点津归纳【例1】 已知空间四边形OABC中，AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点.求证：OGBC.例1

2、题图【解前点津】 要证OGBC，只须证明即可. 而要证,必须把、用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC，因此可选为已知的基向量.【规范解答】 连ON由线段中点公式得： 又,所以)=().因为.且，AOB=AOC.所以=0,即OGBC.【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.【例2】 在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.【解前点津】 利用，求出向量与的夹角,，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.【规范解答】 因为,所以=因为ABBC，BB1AB，BB

3、1BC， 例2图所以=0,=-a2.所以=-a2.又所以=120°.所以异面直线BA1与AC所成的角为60°【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.【例3】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点.(1)求AE与D1F所成的角；(2)证明AE平面A1D1F.【解前点津】 设已知正方体的棱长为1，且=e1，例3图=e2，=e3，以e1，e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系Dxyz,则：(1)A(1，0，0)，E(1，1，)，F(0，0)，D1(0，0

4、，1)，所以 =(0,1,), =(0, ,-1).所以·=(0,1),·(0, ,-1)=0.所以，即AE与D1F所成的角为90°(2)又=(1,0,0)=，且·=(1,0,0)·(0,1,)=0.所以 AED1A1，由(1)知AED1F，且D1A1D1F=D1.所以AE平面A1D1F.【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法.【例4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).【规范解答】E,G分别为AB,AC的中点,EG,同理HF，EGHF .从而四边形EGFH为

5、平行四边形，故其对角线EF,GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ.只要能证明向量=-就可以说明P,O,Q三点共线且O为PQ的中点,事实上, ,而O为GH的中点, 例4图CD,QHCD,=0.=,PQ经过O点,且O为PQ的中点.【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明两向量共线,从而说明P、O、Q三点共线进而说明PQ直线过O点.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是( )A. B. C. D.2.与向量a=(12,5)平行的单位向量是( )A. B. C. D.3.若向量a， b，c是空间的

6、一个基底，向量ma+b，na-b，那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是( )A.a B.b C. c D.2a4. a、b是非零向量，则a，b的范围是 ( )A.(0，) B.0， C.(0，) D.0，5.若a与b是垂直的，则a·b的值是( )A.大于0 B.等于零 C.小于0 D.不能确定6.向量a(1，2，-2)，b(-2，-4，4)，则a与b( )A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不对7. A(1，1，-2)、B(1，1，1)，则线段AB的长度是( )A.1 B.2 C.3 D.48. m8，3，a，n2b,6,5，若mn，则a+b的值为( )A.0 B. C.

7、D.89. a1,5,-2，bm,2,m+2，若ab，则m的值为( )A.0 B.6 C.-6 D.±610. A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a，b，则a+b对应的点为( )A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C.(5，9，-2) D.(5，-9，2)11. a(2，-2，-3)，b(2,0,4)，则a与b的夹角为( )A.arc cos B. C. D.90°12.若非零向量ax1，y1，z1，bx2，y，z2,则是a与b同向或反向的( )A.充分不必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.不充分不必要条件二、思维激活13.

8、已知向量a, b, c满足a+b+c=0,|a|=3,| b|=1,| c|=4.则ab+bc+ca= .14.已知|a|2，|b|，ab-，则a、b所夹的角为 .15.已知空间三点A、B、C坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P在xOy平面上且PAAB，PAAC，则P点坐标为 .16.已知a8,-1,4，b2,2,1，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为 . 三、能力提高17.已知线段AB在平面内，线段AC，线段BDAB，且与所成的角是30°，如果ABa，ACBDb，求C、D之间的距离.18.长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1

9、中点，若ABBC2，AA14，试用向量法求：(1)的夹角的大小.(2)直线A1E与FC所夹角的大小.19.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DC的中点，求证：D1F平面ADE.第20题图20.如图所示,已知ABCD,O是平面AC外的一点,求证:A1,B1,C1,D1四点共面.第11课 空间向量及其运算习题解答1.C 由向量共线定义知.2.C 设此向量为(x,y),，3.C4.D 根据两向量所成的角的定义知选D.5. B 当ab时，a·b=0(cos a, b=0)6.C a=(1,2,-2)=-·b ab.7.C |AB|=3.8.C mn,故(8,3

10、,a)=k(2b,6,5)，8=2bk,3=6k,a=5k，k= 故a=,b=8,a+b=+8=9.B ab 1·m+5·2-2(m+2)=0. m=6.10.B =(-1,0,-2), =(-4,9,0)，a+b=(-5,9,-2).11.C cos(a·b)=-.12.A若，则a与b同向或反向，反之不成立. 13.-13 a+b+c=0,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)=-(9+1+16)=-13.14.cosa, b=.a,b所夹的角为.15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得.16

11、.9 S=|a|b|sina, b求得.17.如图，由AC，知ACAB.过D作DD，D为垂足，则DBD30°，°，|CD|2= 第17题图b2+a2+b2+2b2cos120°a2+b2.CD点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算.18.如图，建立空间坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).由题设可知E(2，1，0)，F(1，2，4).(1)令的夹角为，第18题图则cos.的夹角为-arccos.(2)直线A1E与FC的夹角为arccos19.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设i，j，k，以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系Dxyz