第十一章微分方程(教师用)

1、第十一章 微分方程 177页第一节微分方程的基本概念 177页阶常微分方程:，或初值问题（柯西问题）求方程满足已给初始条件的特解叫初值问题.一阶微分方程的初值问题，其几何意义是求微分方程的通过点的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题，记作：几何意义是求通过点且在该点处的切线斜率为的积分曲线。补例 求下列曲线族所应满足的微分方程(1)； (2) .分析：要求的微分方程其阶数应和曲线族中参数的个数一致.解：(1)，对求导，有：；，；故所求的微分方程是：(2) ；对求一阶，二阶导数有：；(已不含参数)； 所求微分方程是：习题11-1- 微分方程的基本概念 183页5. 写出由下列条件确定的曲线所满足

2、的微分方程：(1)在点处的切线与该点向径垂直；5(1)（2）图解:补充1：指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（2），是。补充3：在下列各题中确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件（3），.,由,得练习册2设微分方程为(1)验证为任意常数）是方程的通解；(2)由通解求满足初始条件的特解。(3)说明上述通解和特解的意义。解：（1）所以结论成立。（2）又因为（3）通解是满足的一簇曲线。特解是过（0，1）的一条曲线。3社微分方程的通解为为任意常数，求此微分方程。解：求导： 即或者：第二节 一阶微分方程 184页一变量可分离变量方程若一阶微分方程能写成：或：的形式，称为变量可分离

3、变量方程.分离变量积分： （4）就得通解.补例1： 求解：解：其中是任意常数。补例2:放射性元素铀由于不断的有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫衰变，由原子物理学知，铀的衰变速度与当时未衰变的原子含量成正比，已知时铀的含量为求在衰变过程中铀的含量变化的规律。解：铀的衰变速度即，由题意有：补例3： 是可分离变量方程，得：；两边积分得：，记作，得；故通解：归纳：积分过程中，原函数出现对数函数时，真数可以不加绝对值，任意常数也写为lnc。二. 齐次方程：185页方程 （6） 称齐次方程.解法：令（为未知函数），原方程化为： 这是可分离变量方程，解此方程，求出通解后，换回原

4、变量得原方程通解.注：方程形如，可令即，原方程化为：三 可化为齐次方程的微分方程187页（不讲）四 一阶线性微分方程 188页 称为一阶线性方程. 当时称为齐次线性方程，的通解为：这就是一阶线性方程通解的公式，另法：，两边同乘,即得：有时方程关于不是线性的，但视为自变量，是函数时，方程关于是线性的，此时有：方程： 的通解为：.补例2：不是一阶线性方程，但可改写为：。即 是方程的通解.二. 贝努利方程： 方程 称为贝努力方程.解法：引入代换化为线性方程.，代回有：这就是一阶线性方程，求出通解后换回原变量，就得原方程通解.补例3：设，且与路径无关，求，并求时的积分.解：积分与路径无关，故，所以有即

5、 一阶线性方程又 得 ,下面求的积分能用变量替换化为可积型的方程：补例4：解方程：解：变形：这是一阶线性微分方程。；也可用变量代换法来解所给方程：令，代入原方程得：，以代回即得：五. 全微分方程 193页若方程的左端，恰是某二元函数的全微分，即，则称此方程为全微分方程或恰当微分方程. 是全微分方程的充分必要条件是. 取路径通解 ；或取路径 ： 是通解补例1：解解：这里：，是全微分方程，取，取路径，由公式有：通解：补例2：求解： 解：， 是全微分方程，取路径 ：； 通解： 含积分因子的方程：若对方程，存在函数，使得是全微分方程，则称是原方程的积分因子.通常用下面的全微分式子来找积分因子：； ；例

6、如：方程不是全微分方程，但是，可知是一个积分因子，（不难验证：也都是积分因子，事实上：）；乘上其中任何一个积分，便得通解:又如,也不是全微分方程，但将其各项重新合并得：，容易看出为积分因子，方程就变为：补例：. 判别方程是否全微分方程，并求通解.解:是全微分方程. 通解：习题11-2一阶微分方程 194页1. 求下列微分方程的通解解：得从而有：即：.2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.(1)得(2)，；解：分离变量得：；积分：， ，得，所求特解为 （3），解：积分得：由初始条件得：特解为：（4）3. 一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程.6图解

7、：设切点为则切线的截距分别为即：通解为：由得：故曲线方程为4某车间体积为12000开始时空气中含有0.1的二氧化碳，为了降低空气中二氧化碳的含量，用一台风量为每分钟2000的鼓风机通入含0.03的二氧化碳的新鲜空气，同时以同样的风量将混合均匀的空气排出，问鼓风机开动6分钟后，车间内二氧化碳的百分比降低到了多少？解：以表二氧化碳的浓度，则；即：故=0.56。5. 求下列齐次方程的通解：（1）解：令：，回代得; 解：变形：补充：解：，代回原变量得：。6. 求齐次方程满足所给初始条件的特解.解：令，则回代得，又：所以，特解： 7 设有连结点和的一段向上凸的曲线段，对于上任一点，曲线弧与直线段所围图形

8、的面积为，求曲线弧的方程.解：设，由条件得：对求导得：又故：，回代：；通解为：由得：故：.8（不要求）9. 求下列微分方程的通解（1）解：先求解：，常数变易法，令，代入非齐次方程，得：法2，用公式：得：解：(3)。解：变形得：,（4），因为：故补充1：补充2：; 补充3：解：，补充4：注不易解。解：10求下列微分方程满足所给初始条件的特解.补充1：补充2：补充1：求一曲线的方程，这曲线过原点，并且它在点处的切线斜率等于.补充2：设曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可导，且.求.条件，,，,由得,.14. 判别下列方程哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解.，通解。通解。；通解：不是，变形有当

9、时，是全微分方程，解为：2. 利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解：（1）(2) ；变：通解积分因子：通解：补充1：补充2：解：变形：,两边乘得: 即: 通解,积分因子.练习册（可分离变量的微分方程）1求下列微分方程的通解：2求下列微分方程满足所给初值条件的特解。3若以曲线为底的曲边梯形的面积与纵坐标次幂成正比，且已知求此曲线的方程。齐次方程1求下列齐次方程的通解：2求下列齐次方程满足所给初始条件的特解。3用适当变量替换，求解下列方程一阶线性微分方程1求下列微分方程的通解（1）2求下列微分方程满足所给初始条件的特解3已知在全平面上与路径无关，其中具有一阶连续导数，并且L是起点为（0，0

10、），终点为（1，1）的有向曲线时，该曲线积分值等于试求函 数4求下列贝努利方程的通解：补充：求解：全微分方程1验证下列各方程为全微分方程，并求出方程的通解成立，所以方程为全微分方程，取积分路径如图，则通解为：2已知为全微分方程，并求此全微分方程的通解。3利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解。解：变形：通解积分因子：补充1：补充2：第三节、可降价的高阶方程（三种最简类型）196页型的微分方程特征：缺；求解方法：令，；得关于的一阶方程，设其通解为因此得到一个一阶微分方程：，再积分得：补 例2：；解：方程中缺，令，代入方程得。分离变量，积分：，即，方程通解：.型的微分方程特征；缺；求解方法：

11、令，。得关于的一阶方程，设解得：，分离变量并积分得：。补例3：求方程的特解。解： 缺，令，将，代入方程得： ；因为，所以不是方程的解，于是有：积分，得 ，即 ， ，得 于是有 ， 即 ， 积分得：，；原方程特解为 习题11-3 可降阶的高阶微分方程 199页1. 求下列各微分方程的通解(1) ； （2）：解：设，代入有：， (3) ；解:设则原方程化为解：设则原方程化为补充1：补充2：2. 求下列微分方程，满足所给初始条件的特解.；再由：, 故特解：（3）解：令，代回有：在时约去并分离变量得，再分离变量并积分得：由由,故特解解：设则原方程化为补充. 试求的经过点M(0,1)且在此点与直线相切的

12、积分曲线.解:初始条件，对积分：由得：积分：由得：故：练习册1求下列微分方程的通解(4) ；解:设则原方程化为2求下列微分方程满足所给初始条件的特解。解：，代入有：，第四节、高阶线性微分方程 200页叫做二阶线性微分方程，当时叫做二阶齐次线性微分方程当时称阶齐次线性方程；时称阶非齐次线性方程.二. 二阶线性微分方程解的结构定理：设有二阶线性方程 定理1：设与是齐次线性方程的两个解，则也是解.叠加起来的解从形式上看含有两个任意常数，但它不一定是方程（1）的通解，什么情况下才是方程（1）的通解呢？这就要用到下面的线性相关与线性无关的概念。设个不全为零的常数时有恒等式：，那末称这个函数在区间上线性相

13、关，否则称为线性无关对于两个函数的情形，它们是否线性相关，只要看它们之比是否为常数：如果比为常数，那么它们就线性相关，否则就线性无关定理2：设与是齐次线性方程的两个线性无关解（即常数），则 是方程的通解.推论：如果阶齐次线性方程的个线性无关解，则此方程的通解为：，其中：为任意常数。定理3：设是非齐次线性方程的一个特解，是对应齐次线性方程的通解，则是方程的通解.定理4：若是方程的解，是方程的解，则 是方程 的解.习题11-4 高阶线性微分方程 206页1 验证及都是方程的解. 并写出通解.,；是方程的解,同理也是方程的解.因常数,故与线性无关；通解：3. 验证及都是方程的解. 并写出通解.4.

14、证明下列函数是相应的微分方程的通解.(4) （任意常数）是的通解；证明：故所以是方程的解.同理, 也是方程的解.又常数,所以是任意常数）是方程的通解；练习册1. 已知方程的两个特解为及. 试求该方程满足初始条件.的特解2已知函数是二阶线性非齐次微分方程所对应的齐次方程的两个特解，而该非齐次线性微分方程本身的一个特解为求此二阶线性非齐次微分方程的通解，并写出这个方程。且此时易验证是的二特解，是的特解。第五节常系数线性方程 206页 常数）称为二阶常系数齐次线性微分方程。，叫做特征方程；其根有三种不同情形：一，不相等的实根：通解为：二：，通解为：。三 两个共轭复根，通解补例1： 求解解：通解又，故

15、求导有：又，所以特解：补例2： 求 的积分曲线，使其在点(0,2)与直线相切.解：因所求曲线在点(0,2)与直线相切，问题是的特解.特征方程 ，特征根 ，所以通解是由 求得 ；曲线：阶常系数齐次方程：其中是常数.特征方程 求出特征根，由特征根写出通解特征方程的根方 程 通 解 中 的 对 应 项()单实根给出一项：()一对单复根给出两项：() 重实根给出项：() 一对重复根 给出项：补例：；特征方程：， 通解：二. 二阶常系数非齐次线性方程 210页 （常数）由定理2知，此方程的通解 其中是齐次线性方程的通解，前面已解决.是非齐次线性方程的特解，求的关键是由方程左端函数的形式正确地写出，中的系

16、数待定，然后用待定系数法求出这些系数，从而得.一型若，则方程具有形如的解。其中，的多项式，而则按不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2。上述结论可推广至阶常系数非齐次线性微分方程。补例1：求：的一个特解。解：；不是特征根，故设，代入所给方程，得：于是求得一个特解为补例2：求的通解。解：，先求对应齐次方程的解：由于是特征方程的单根，故设：把它代入所给方程，得：因此求得方程的一个特解为：从而所求的通解为：，二 型：则非齐次线性微分方程的特解可设为：，其中是不同的次多项式系数待定，而按不是特征方程的根，或是特征方程的单根依次取0或1。补例：方程因，故特征根 是二次多项式

17、，不是特征根， 设.补例：方程因是单根，一次多项式，故设.补例 写出下列方程特解的形式：(1) ； (2) ；(3) ；(4) ；(5) ；解：(1) 的特征方程为 ，故特征根.，二重特征根，且二次，故 （a,b,c待定） (2) 的特征方程是，特征根，是特征单根，2是零次多项式，故是零次多项式，且不是特根，故 （a,b待定）(3) 的特征方程为，.，恰是特征根(a,b待定) (4) 特征方程为，特征根.，是特征根，且是一次式；故 (a,b,c,d待定)(5)的特征方程为，.又因 ，不是特征根，是二重特征根，（a,b待定）习题11-5 二阶常系数线性微分方程 215页1. 求下列微分方程的通解

18、：(2) ；通解为，补充1：.通解2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.补充2：4. 求下列各微分方程的通解解：分解为：（1）对（1）而言：不是特征根，令回代得：。对（2）而言：是特征根，令回代得：补充1：解：;补充2：解：故. 补充3：补充4：5 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.补充1；，解：特征方程为对应齐次解为,不是特征根，设则得通解为,由得故特解为故6. 设连续，且满足，求.解：初始条件对应齐次方程通解为, 不是特征根，设则得通解为由得故特解为.练习册1求下列微分方程的通解补充：求以为通解的微分方程（其中为任意常数）3求下列微分方程满足所给初始条件的特解。4一质量为M的船，以速度时动力被关闭，假定水的阻力与船的瞬时速度成正比（比例系数为K），求时间与经过的距离的函数关系。1设为下列情形时，写出非齐次方程特解的形式（不具体计算）。注：2求下列微分方程的通解3求微分方程4试求