直线与椭圆位置关系专题经典讲义

1、直线与椭圆的位置关系专题讲义知识点1：直线与椭圆位置关系、弦长问题：将直线方程（或）代入椭圆方程：，整理得到关于x（或y）的一个一元二次方程（或）当直线与椭圆相交；当直线与椭圆相切；当直线与椭圆相离。若直线：与椭圆相交于A，B两点，弦长公式：或焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦叫通径。通径公式为：_ .例1.当m为何值时，直线y=x+m与椭圆相交？相切？相离？练习、直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点，则m2=（ ）(A) (B) (C) (D) 例2、直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆x2/9+y2/m=1总有

2、公共点，求实数m的取值范围是（ ） A、1/2m9 B、9m10 C、1m9 D、1m9练习、若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围 例3、求直线xy1=0被椭圆截得的弦长练习、已知椭圆：，右顶点为A，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，求弦的长及的面积。知识点2：中点弦问题（点差法）例4 椭圆内有一点P（2，1），求经过P并且以P为中点的弦所在直线方程。练习、如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A. B. C. D.例5、求直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4截得的弦的中点坐标。练习、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。例6.已知椭圆的

3、右焦点为，过点的直线交椭圆于两点。若的中点坐标为，则的方程为 ( )A.B.C.D.练习、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。知识点3：椭圆中的最值问题 例7. （1）求x+y的最大值（2）求点P到直线x-y+10=0的距离的最小值。练习：求椭圆上的点到直线的最小距离知识点4.直线椭圆综合问题例8（12北京）已知椭圆C：+=1（ab0）的一个顶点为A （2,0），离心率为， 直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N（）求椭圆C的方程（）当AMN的面积为时，求k的值 练习【12陕西】已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。（1）求椭圆的方

4、程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，求直线的方程。例9(2013课标全国2)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(ab0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值例10（2014新课标2）设F1 ，F2分别是椭圆C：（ab0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N。（I）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（II）若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|F1N|，求a，b直线与椭圆的位置关系专题基础训练一、选择题1.已

5、知椭圆C:,过点与椭圆C只有一个交点的直线方程是 （ ）（A） x+2=0 （B）x-2=0 （C）y+2=0 （D） y-2=02直线与椭圆的位置关系为 （ ） （A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）不确定3椭圆上的点到直线的最大距离是 （ ） （A）3 （B） （C） （D）4.直线被椭圆所截的弦的中点坐标是 （ ）（A） (, ) （B）(, ) （C）(, ) （D）(, )5.已知椭圆，椭圆内一点,则以为中点的弦所在的直线的斜率是 （ ） （A） （B） （C）2 （D）26设定点F1（0，3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是 （ ）A椭圆 B线段 C不存在D椭圆

6、或线段二、填空题7.方程表示椭圆，则m的取值范围为 8. 椭圆的焦点、，为椭圆上的一点，已知，则的面积为 _ 9称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为 10.（浙江卷13）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点 若，则= 。11.（海南卷15）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_12.经过椭圆的一个右焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于、两点设O为坐标原点，则等于 。三、简答题13、已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求|AB|及的面积14. 已知椭圆及直线（1）当

7、为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程15.已知椭圆方程为，内有一条以点为中点的弦，求所在的直线的方程及的弦长。16、已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆,，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程。17.椭圆C: 的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（）求椭圆C的方程；（）若直线过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线的方程.18.已知圆及点，为圆上任一点，线段的垂直平分线与线段的交点为，设点的轨迹为曲线。（1）求曲线的轨迹方程；（2）过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，为原点，求

8、的面积；（3）过点的直线与曲线交于两点，且线段被点平分，求直线的方程。直线与椭圆的位置关系专题能力提高1.设,分别是椭圆E：+=1（0b1）的左、右焦点，过的直线L与E相交于A、B两点，且，成等差数列。求 若直线L的斜率为1，求b的值。2.椭圆的离心率为，且过点。（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若直角三角形，求的值。3.（2013年高考陕西卷（文）已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍. () 求动点M的轨迹C的方程; () 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.

9、4椭圆的对称中心为原点O，焦点在轴上，离心率为， 且点（1，）在该椭圆上.（I）求椭圆的方程；（II）过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求圆心在原点O且与直线相切的圆的方程. 5（2013年高考天津卷（文）设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. () 求椭圆的方程; () 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. 6.设直线与椭圆C：相交于，两点，且过椭圆C的右焦点，若以为直径的圆经过椭圆的左焦点，求该椭圆C的方程。7.2014全国新课标卷 已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l