第四章微分中值定理

1、第四章 微分中值定理4.1 微分中值定理微分中值定理在微积分理论中占有重要地位，它建立了函数与导数之间的联系，提供了导数应用的基础理论依据，本节介绍罗尔（Rolle）定理以及拉格朗日（Lagrange）中值定理。一、罗尔定理我们已经知道，有界闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值，但是最大值与最小值不一定是极值，例如当最大值和最小值仅在区间端点处取得时就不是极值，而如果最大值或最小值在区间内部取得时，则一定为极值，因此，如果有界闭区间上的连续函数在两个端点处的函数值相等，那么它的最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而一定是极值，如果函数可导的话，相应的极值点一定是驻点，即该点处导数为0

2、，这样，我们自然得到下面的罗尔定理。定理4.1（罗尔定理）设函数f（x）满足：（1）在闭区间a、b上连续；（2）在开区间（a、b）内可导；（3）f（a）=f（b）,则至少存在一点罗尔定理也有十分明显的几何意义，设曲线弧（如图4.1所示）的方程为y=f（x）（axb），罗尔定理的条件在几何上表示：是一条连续的曲线弧，除了端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两个端点A和B的纵坐标相同。定理结论表述了这样的几何事实：曲线弧上至少有一点C，在这点处曲线 的切线是水平的，即罗尔定理的几何意义是：当曲线弧在a、b上为连续弧段，在（a、b）的曲线弧上每一点均有不垂直于x轴的切线，并且曲线弧两个端点的纵坐标相

3、同，那么曲线弧上至少有一点的切线平行于x轴（如图4.1所示）有必要指出，罗尔定理中的三个条件缺一不可，条件（1）保证了函数f（x）的最大值与最小值的存在性；条件（3）保证了最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而是极值；条件（2）保证了该极值点处函数的可导性，因此，如果缺少这三个条件中的任何一个定理都将不成立，读者不妨自己举些反例加以验证。例1在区间-1，1上满足罗尔定理条件的函数是（）答疑编号10040101：针对该题提问解：因为在x=0处没定义，所以不连续，故在区间-1，1上不满足罗尔定理的条件。虽然函数y=（x+1）2和y=x在-1，1上连续、可导，但是这两个函数在端点-1和1处的

4、函数值不相等，所以满足罗尔定理的条件。函数虽然在闭区间-1，1上连续，在开区间（-1，1）内可导，并且y（-1）=y（1）=2，所以满足罗尔定理的条件。综上所述，选择（D）例2验证函数y=lnsinx在闭区间上满足罗尔定理的条件，并求出使罗尔定理成立的。答疑编号10040102：针对该题提问解：函数y=lnsinx是初等函数，而在上所以函数y=lnsinx在上有定义，因而连续，且在内可导。其导数为因此，函数上满足罗尔定理的条件，从方程不难解出使罗尔定理成立的只有一个，即例3说明下列函数在所在的区间上是否满足罗尔定理的三个条件，如果满足，请求中值C。答疑编号10040103：针对该题提问答疑编号

5、10040104：针对该题提问答疑编号10040105：针对该题提问答疑编号10040106：针对该题提问 在-1，1上有意义，f（x）在-1，1上连续内不是处处可导，不满足罗定理第二个条件。f（x）在1，2上连续，在（1，2）内可导。f（1）=1，f（2）=4， f（1）f（2）f（x）=x2在1，2上不满足罗尔定理的第三个条件。f（0）=2，f（2）=2f（0）=f（2）上满足罗尔定理三个条件例4验证：若f（x）=x（x-1）（x-2）则方程f（x）=0在（0，1）、（1，2）内各有一实根。答疑编号10040107：针对该题提问证：（1）f（x）处处可导，处处连续。f（0）=f（1）=0在

6、（0，1）内至少存在实数0<c1<1，使 （2）f（1）=f（x）=0即x=C2是方程f（x）=0的实根。（3）因为f（x）=0是一元二次方程，只有二个实根，所以方程f（x）=0在（0，1），（1，2）内各有一实根。例5证明方程4x3-4x+1=0在（0，1）内至少有一实根。答疑编号10040108：针对该题提问证：讨论函数f（x）=x4-2x2+x f（x）=4x3-4x+1,f（0）=f（1）=0,f（0）=f（1）=0,很明显f（x），在0，1上满足罗尔定理三个条件，所以在（0，1）内至少有0<c<1，使f（c）=0，即方程f（x）=0在（0，1）内至少有一根。故

7、方程4x3-4x+1=0在（0，1）内至少有一实根。例6若f（x）在0，b上连续，在（0,b）内可导，且f（b）=0，证明在（0,b）内有0<c<b，使答疑编号10040109：针对该题提问证：令g（x）=xf（x）g（0）=0,g（b）=bf（b）=0,且g（x）在 0,b上连续，在（0，b）内可导。g（x）满足罗尔定理的三个条件在（0，b）内存在0<c<b，使二、拉格朗日中值定理定理4.2（拉格朗日中值定理）设函数f（x）满足：（1）在闭区间a,b上连续（2）在开区间（a,b）可导， 关于拉格朗日中值定理的证明我们不作要求，感兴趣的同学可以阅读其他的高等数学教材下面

8、用拉格朗日中值定理得到在积分学中有用的推论：推论1，如果f（x）在（a,b）内可导，并且在（a,b）内恒有证明在（a,b）内任意取定一点c，对任意的 由拉格朗日中值定理可得其中位于c与x之间，故对任意的 均有f（x）=f（c）推论得证：推论2如果f（x）和g（x）在（a,b）内可导，并且（a,b）内恒有那么其中C为某个常数。事实上，由已知条件及导数运算可知故由推论1知f（x）-g（x）=C，即f（x）=g（x）+C例7在区间-1，1上满足拉格朗日中值定理条件的函数是（）答疑编号10040110：针对该题提问解：显然，函数在x=0处不连续，而函数在端点x=±处没有定义，从而也不连续，因

9、此它们在区间-1，1上都不满足拉格朗日中值定理的条件。虽然函数在闭区间-1，1上连续，但是在x=0处不可导，事实上，因此，函数在-1，1上也不满足拉格朗日中值定理的条件。而函数y=ln（1+x2）是初等函数，所以在定义域（-，+）内连续，因而在闭区间-1，1上连续，并且函数y=ln（1+x2）是可导的，其导数为它满足拉格朗日中定理的条件，故选择（B）。例8函数y=lnx在区1，e上使拉格朗日中值定理结论成立的是（）答疑编号10040111：针对该题提问解：由于函数y=（x）=lnx在1，e连续，在1，e内可导，所以在1，e上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗中日值定理知，必定至少存在一个使得

10、而f（e）=1,f（1）=0,从而 因此应选（B）例9证明：当x>1时答疑编号10040112：针对该题提问则f（x）在（1，+）内可导，并且故f（x）C（x（1,+）,特别地，取 得 例10用中值定理证明：答疑编号10040113：针对该题提问证：令f（x）=lnx f（x）在a,b上连续，在（a,b）内可导在（a,b）内至少存在一点C，a<c<b，使4.2 洛必达法则如果当时，函数f（x）与g（x）均趋于0或，那么极限可能存在，也可能不存在，通常别称这种极限为型或型未定式，例如就是一个型未定式，而就是一个型未定式，对这样的极限，即使存在也无法直接利用极限的商的法则来求，下

11、面介绍计算这类极限的一种有效简便的方法洛必达（LHospital）法则。一、型和型洛必达法则定理4.4（洛必达法则）如果f（x）和g（x）满足下列条件：（1）（2）在点a的某去点心领域内f（x）与g（x）可导，并且（3）那么有公式这也就是说，如果是型或型未定式，并且满足条件（2）那么当存在时，也存在且等于，当为无穷大时，也为无穷大，定理4.4的证明要用到我们未介绍的柯西中值定理，在此略去。定理4.4中的xa也可以换成，或，或x，或x+，或x-，定理仍然成立，但此时需对条件（2）中“点a的某去心邻域”做相应的改动。这种在一定条件下通过分子、分母分别求导再求未定式的极限值的方法称为洛必达方法。例1

12、 求极限答疑编号10040201：针对该题提问解：当x1时，所求极限是型未定式，由洛必达法则得例2 计算极限答疑编号10040202：针对该题提问解：当x0时，所给极限是型未定式，由洛必达法则有这里用了重要极限例3 计算极限答疑编号10040203：针对该题提问解设f（x）=x3-3x+2，g（x）=x3-x2-x+1，极限是一个型未定式，而仍是一个型未定式，但是故对利用洛必达法则，得从而也满足洛必达法则的条件，因此再次对利用洛必达法则有即：例3说明可以连续使用洛必达法则计算极限，但是上面的叙述有些繁杂，一般不宜这样叙述，而采取以下叙述比较方便直观：上述各式等号上面的表示我们已经验证了等号左边

13、的极限是型未定式，如果当你对分子、分母分别求导后已经不再是型未定式，就不能再用洛必达法则，如上式中的例4 求极限答疑编号10040204：针对该题提问解：由洛必达法则有例5 计算极限答疑编号10040205：针对该题提问解 由洛必达法则有例6 计算极限答疑编号10040206：针对该题提问解：由洛必达法则有例7 计算极限。答疑编号10040207：针对该题提问解 由洛必达法则有对任意的a>0，类似地可以证明：例6、7表示，当x+时，lnx，xa（a>0）和ex三个无穷大量中趋向+的速度最快的是ex其次是xa，最慢的是lnx。例8 计算极限其中m，n均不为0。答疑编号10040208

14、：针对该题提问解：由洛必达法则得二、其它类型的未定式除了上述型和型未定式外，还有0·，-，00，1，0等类型未定式，所谓的0·型未定式就是指形如的极限，其中，而，所谓00型未定型式就是指形如的极限，其中，其他类型的未定式类似定义。由于这些未定式都能化为型或型未定式，所以，也常常用洛必达法则来计算它们的值，下面用例子说明如何将他们化为型或型未定式并加以计算。例9计算极限。答疑编号10040209：针对该题提问解：当x0+时，xa0，而lnx-，所以这是0·型未定式。例10 计算极限。答疑编号10040210：针对该题提问解：当x1时，型未定式原式=例11 计算极限。

15、答疑编号10040211：针对该题提问解：这是00型未定式，由于所以故例12 计算极限。答疑编号10040212：针对该题提问解：这是1型未定式，由于所以。而因此例13 计算极限答疑编号10040213：针对该题提问解；这是0型未定式，由于所以因此从上面各例可以看出，利用洛必达法则可以将前面几乎无从下手的函数极限比较容易的计算出来，那么是否用洛必达法则计算数列极限呢？当然可以，具体做法见下面的例14例14 计算数列极限答疑编号10040214：针对该题提问解：因为这即是说当x不论用什么方式趋于+时，函数都趋向于，特别的，当x取正整数n趋于+时，函数值也应趋于，即最后强调一下，在利用洛必达法则计

16、算未定式的极限值时必须注意两点：（1）只能对型和型未定式才能直接使用洛必达法则，其他类型的未定式必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。（2）洛必达法则只说明了如果（有穷或无穷），那么，也就是说，当不存在又不是无穷大时，无法断定极限存在与否，此时无法利用洛必达法则（洛必达法则条件（3）不满足），必须利用其他方法讨论。例15 计算极限答疑编号10040215：针对该题提问解 这是型未定式，如果分别对分子、分母求导得注意到不存在，不存在这个极限不存在，但是我们不能由此断定 不存在，事实上这里用了无穷小的性质，有界变量乘无穷小量仍然是无穷小量，即用到了4.3 函数的单调性函数的单调性是函数的

17、一个重要特征，第一章中我们已经介绍了函数在区间上的单调的概念，本节将利用导数对函数的单调性进行研究。由几何图形可以直观地观察到，如果函数y=f（x）在a，b上单调增加，那么它的图形是一条随x增大而上升的曲线，如果此曲线上处处有非垂直的切线，那么曲线上各点处的切线斜率非负，即（如图4.3（a）所示），同样的，如果函数y=f（x）在a，b上单调减少，那么它的图形是一条随x增大而下降的曲线，如果此曲线上处处有非垂直的切线，那么曲线上各点处的切线斜率为正，即（如图4.3（b）所示）这也容易从导数以及函数的单调性推出。反过来，能否利用导数的符号来断定函数的单调性吗？回答是肯定的，利用拉朗日中值定理可以得

18、到判定函数的单调性的如下定理。定理4.5，设函数f（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导，（1）如果在（a，b）内，那么函数f（x）在a，b上单调增加（2）如果在（a，b）内，那么函数f（x）在a，b上单调减少证明：对任意的x1，x2a，b，不妨设x1<x2，由定理的条件知，f（x）在x1，x2上连续，在（x1，x2）内可导，故由拉格朗日值定理得 （1）其中由于x2-x1>0，因此，如果在（a,b）内，那么也有，从而由（1）可知f（x2）-f（x1）>0，即f（x2）>f（x1）,故y=f（x）在a,b上单调增加。同理，如果在（a，b）内，那么也有，从而由（1）知f（

19、x2）-f（x1）<0，即f（x2）<f（x1）,故y=f（x）在a，b上单调减少，定理证毕。分析定理的证明不难看出，如果将定理中的闭区间a，b换为开区间，半开半闭区间或换为无穷区间仍然成立，仍有类似结果。如果将定理中的条件“（<0）”改为“（0），但只在有限个点处等于0”，定理仍然成立。例1 讨论函数f（x）=x-sinx在区间上的单调性答疑编号10040301：针对该题提问解：因为函数f（x）=x-sinx在区间上连续，在内可导，并且在内因此，函数f（x）=x-sinx在区间上单调增加例2讨论函数f（x）=arctanx-x的单调性答疑编号10040302：针对该题提问解

20、：函数f（x）=arctanx-x为定义在（-，+）内的可导函数，在（-，+）内，而且仅仅在x=0处为0，因此，f（x）=arctanx-x在其定义域（-，+）内单调减少，如果一个函数在其定义域内单调增加（减少）则称为单调增加（减少）函数，单调增加与单调减少函数统称单调函数，例3讨论函数的单调性答疑编号10040303：针对该题提问解：函数在其定义域（-，+）内可导，并且在（-，+）内，而仅仅在x=0处等于0，因此，y=x3在其定义域（-，+）内单调增加，即y=x3是一个单调增加函数。例4 讨论函数f（x）=3x-x3的单调性。答疑编号10040304：针对该题提问解：函数f（x）=3x-x3

21、为定义在（-，+ ）内的可导函数，并且；因此，当x<-1时，从而f（x）在（-，-1）内单调减少，当-1<x<1时，从而f（x）在（-1，1）内单调增加，当x>1时，从而f（x）在（1，+）内单调减少，为讨论方便，表4.1中列出了在单调区间上的符号以及f（x）在单调区间上增加或减少的变化情况。表4.1x（-，-1）-1（-1，1）1（1，+）- 0+0-y=f（x）-22例5 讨论函数的单调性答疑编号10040305：针对该题提问解：函数的定义域为（-，+），当x0时，当x=0时，函数不可导，在（-，0）内，所以在（-，0）内单调减少，而在（0，+）内 ，所以在（0，+

22、）内单调增加。由例4和例5知，有些函数虽然不是单调函数，但是当用驻点（导数为0的点）和导数不存在的点将其定义区间划分为一些小区间后，函数在各个小区间上单调，这些小区间称为函数的单调区间，如果函数在这样的某个小区间上单调增加（减少），则该称小区间为函数的一个单调增加（减少）区间，例如（-，-1）和（1，+）为函数f（x）=3x-x3的单调减少区间，而（-1，1）是其单调增加区间，它们都是函数f（x）=3x-x3的单调区间。例6，试求出函数的单调区间答疑编号10040306：针对该题提问解：函数为定义在 （-，+）内的连续函数，并且函数在x=-1处不可导。令，2.驻点和不可导点将定义域分成的4个小

23、区间，列表讨论（见表4.2）表4.2x（-，-1）-12（2，+）-不存在+-0+y=y(x)00故函数的单调增加区间是和（2，+），而单调减少区间是（-，-1）和.例7 求函数的增减区间答疑编号10040307：针对该题提问解：（1）f（x）的定义域为（0,+）（2）由于函数的增减性与导数的正负性相关，导数变号的分界点有两种，一是导数为零的点，以后将它驻点，二是导数不存在的两点，即不可导点。（3）求驻点（导数为零的点）和不可导点驻点为x=1（x=-1及x=0不在定义域内，舍去）（4）判断（I）0<x<1时，f（x）减少（II）1<x<+时，f（x）增加判断最好用下面的

24、表格说明x（0,1）1（1, +）-0+f（x）1/2由上例可知，求函数f（x）增减区间的步骤为（1）写出定义域（2）求并且整理合并为一个整式或分式（3）求驻点（即导数分子为零的点）和不可导点（即导数分母为零的点），用驻点，不可导点将定义域分为n个区间。（4）列表分析，需要注意的驻点，不可导点多于一个时，应当按左小右大的顺序列表例8 求的增减区间答疑编号10040308：针对该题提问解：（1）定义域为（-，+）（2）（3）不可导点为 x1=0，驻点为x2=2（4）列表分析x（-,0）0（0,2）2（2, +）+×-0+f（x）  （-,0），（2, +）是增加区间

25、，（0,2）是减少区间例9：求的增减区间答疑编号10040309：针对该题提问解：（1）定义域为（-，+）（2）求（3）求驻点，不可导点（4）列表分析x-0+f（x） 例10 在（0，+）上，讨论在（0，+）上函数的增减性。答疑编号10040310：针对该题提问解：在（0，+）上在（0，+）上f（x）减少定理：（1）若f（0）=0，在（0，+）上连续，在（0，+）上f（x）>0,则在（0，+）上f（x）>0（2）若f（0）=0，在（0，+）上连续，在（0，+）上，则在（0，+）f（x）<0说明见下图：在（0,+）上f（x）增加，f（x）>0在（0,+）上f（x

26、）减少f（x）<0注：f（0）=0必不可少，否则结论不一定对。函数的单调性在不等式证明中有重要应用。例11 试用函数的单调性证明：当x>0时，答疑编号10040311：针对该题提问证明：设，则f（x）在0,+ ）内连续，在（0，+）内可导，并且在（0，+）内所以，函数f（x）在区间0，+）上单调增加，故当x>0时即同理，令g（x）=x-ln（1+x），可以类似地证明：当x>0时，ln（1+x）<x综上所述，当x>0时，例12 证明：当x>1时答疑编号10040312：针对该题提问证：即需证明：x>1时令f（1）=0当x>1时，x>1时

27、，f（x）增加x>1时f（x）>f（1）=0即x>1时，4.4函数的极值及其求法（一）极值的定义（1）若函数f（x）在点x=x0处的值f（x0）比点x=x0附近点x的函数值都大，即f（x0）>f（x）。就说函数值f（x0）是函数f（x）的一个极大值，点x=x0是函数f（x）的一个极大值点。（2）若函数f（x）在点x=x0处的值f（x0）比点x=x0附近点x的函数值小，即f（x0）<f（x）。就说函数值f（x0）是函数f（x）的一个极小值，点x=x0是函数的一个极小值点。由上图可见，f（x1）f（x3）是函数f（x）的极大值，x=x1、x=x3是函数f（x）的极大值

28、点。f（x2），f（x4）是函数f（x）的极小值，x=x2，x=x4是f（x）的极小值点。需要注意的是由于极大值和极小值都是局部范围内的极值，所以极大值、极小值可能不止一个，还可能有极小值大于极大值的情况。（二）极值的必要条件首先需要解决的是，因为一个函数f（x）只在定义域内个别点处取极值，因此需要知道哪些点可能取极值，从上面的图中可以看出，若在点x=x0处取极值而且函数在x=x0处有切线，则切线是水平的，即切线的斜率，即若f（x）在可导点f（x）取极值，则必有K，即点x=x0是驻点。证：（1）若f（x0）是f（x）的极大值，则f（x）-f（x0）<0（2）若f（x0）是f（x）的极小值

29、，则f（x）-f（x0）>0 存在，需要说明的是，本定理只说明：（1）在可导点中只有驻点才可能是极值点，即驻点只是极值点的必要条件而不是充分条件，所以不能说驻点一定是极值点，只能说在可导点中非驻点一定不是极值点。（2）不可导点也可能是极值点，例如，显然x=0是极小值点，由于，所以不存在，即在x=0处不可导，在此本例的不可导点x=0是极值点。综上所述，可以有下面结论：（三）极值的充分条件根据函数的增减性由上面的三个图形定理二的正确性是明显的（1）x<x0时f'（x）>0，；x>x0时f'（x）<0，而且x=x0是连续点，是极大值。（2）x<x0

30、时f'（x）<0，；x>x0时f'（x）>0，而且x=x0是连续点，是极小值。（3）x<x0时与x>x0时都有f'（x）>0，；而且x=x0连续，不是极值。定理三（充分条件二）证：已知f'（x0）=0，在x=x0连续（1）时，则f'（x）与（x-x0）异号时， f'（x）>0；x>x0时f'（x）<0根据定理二知f（x0）是极大值（2）时，则f'（x）与x-x0同号时，f'（x）<0；x>x0时f'（x）>0根据定理二知f（x0）是极小值。例1

31、：求f（x）=x3-3x2-9x-1的极值。【答疑编号：10040401针对该题提问】解：（1）（2）驻点x1=-1x2=3（3）是极大值是极小值根据定理一和定理二、三可以按下列步骤求函数f（x）的极值点和极值：（1）求出导数f'（x）（2）求出函数f（x）的全部驻点（即求出方程f'（x）=0在所讨论的区间内的全部根）；和不可导点（3）考查f'（x）在每一个驻点、不可导点的左右两侧附近的符号，由定理二（或定理三）判定这些点是否是极值点，是极大点还是极小点。（4）求出各极值点处的函数值，就是函数f（x）的全部极值。例2：求函数y=x3-3x+1的极值。【答疑编号：1004

32、0402针对该题提问】解：函数y=x3-3x+1在其定义域（，+）内可导，并且y'=3x2-3=3（x-1）（x+1），令y'（x）=0得驻点x1=-1，x2=1。当x<-1时y'（x）>0，而当-1<x<1时y'（x）<0，所以x1=-1为函数y=x3-3x+1的极大值点。当-1<x<1时y'（x）<0，而当1<x时y'（x）>0，所以x2=1为函数y=x3-3x+1的极小值点。因此函数y=x3-3x+1的极大值为y（-1）=（-1）3-3（-1）+1=3，极小值为y（1）=13-3&

33、#183;1+1=-1。同时讨论函数的单调性一样，我们利用驻点把函数的定义域分成几个单调区间，为此把有关的信息定入表4.3内。表4.3x（，+）-1（-1，1）1（1，+）y'（x）+00+y=y（x）极大值y（1）=3极小值y（1）=-3图4.4是y=x3-3x+1的草图，它是根据表4.3所示的单调区间画出来的。例3：求函数的极值。【答疑编号：10040403针对该题提问】解：函数在定义域（，+）内连续，并且函数在x=-1处不可导。令f'（x）=0得驻点x=，1。列表4.4讨论。表4.4 （-，-1）1（-1，）（，1）1（1，+）f'（x）不存在+00+f

34、（x）极小值f（-1）=0极大值f（）=极小值f（1）=0因此，函数的极小值为0，在x=±1处取到：极大值为，在x=处取得。例4：求函数y=-x4+2x2的极值。【答疑编号：10040404针对该题提问】解：函数y=-x4+2x2在其定义域（-，+）内二阶可导，并且y'=-4x3+4x=-4x（x-1）（x+1）.令y'（x）=0得驻点x1=-1，x2=0，x3=1。又因为，从而，因此由定理三知，f（x）分别在x1=-1和x3=1处取得极大值，极大值为f（-1）=f（1）=1；在x2=0处取得极小值，极小值为f（0）=0（如图4.5所示）。例5：试问a为何值时，函数f

35、（x）=asinx+ sin3x在x= 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。【答疑编号：10040405针对该题提问】解：函数f（x）=asinx+sin3x在其定义域（-，+）内二阶可导，并且f'（x）=acosx+cos3x要使函数在x=处取得极值，点x=必为驻点，故从而a=2，又当a=2时，因此，函数f（x）在处取得极大值，极大值为。需要指出的是：（1）当f'（x0）=0，时，f（x）在x0处可能有极大值，也可能有极小值，还可能没有极值。例如，f（x）=-x4，g（x）= x4，h（x）= x3这三个函数在x=0处的一阶导数和二阶导数均为0，但f（x）在x=0处

36、取得极大值，g（x）取得极小值，而h（x）在x=0处没有极值，因此，如果函数在驻点处的二阶导数为0，那么还得用一阶导数在驻点左右两侧附近的符号来判别。（2）在求极值时，何时用第一充分条件判别（定理二），何时用第二充分条件判别（定理三）要根据具体情况而定，若f'（x）的符号容易判定，可用第一充分条件判别，否则，用第二充分条件判别，但对于不可导点只能用第一充分条件来判别。例6求f（x）=ex+4e-x的极值。【答疑编号：10040406针对该题提问】解：（1）定义域为（-，+）（2）f'（x）=驻点为ex=2，（3）是极小值点，极小值点f（ln2）=eln2+4e-ln2=2+4&

37、#183;=4，极小值为f（ln2）=4例7：求f（x）=的极值。【答疑编号：10040407针对该题提问】解：（1）定义域（0，+）（2）（3）在（0，+）的驻点为x=1（4）是极小值点，极小值为f（1）=例8：若f（x）=ax3+bx2+1在x=2处的极值为-3，求a，b。【答疑编号：10040408针对该题提问】解：（1）f（x）=ax3+bx2+1在x=2处可导，由于可导的极点一定是驻点（2）f（x）=ax3+bx2+1在x=2的极值为-3例9：函数y=f（x）的导数y'=f'（x）的图形如下图所示，则下列结论中正确的是（）。（A）x=x0是驻点但不是极值点（B）x=x

38、0是驻点且是极小值点（C）x=x0是驻点且是极大值点（D）x=x0不是驻点【答疑编号：10040409针对该题提问】解：（1）是驻点（2）x<x0时，f'（x）>0，x>x0时，f'（x）<0，是极大值，是极大值点所以选（C）4.5函数的最大值、最小值（一）函数f（x）在闭区间a，b上的最大值和最小值的求法函数f（x）在闭区间a，b内部的最大值只能在极大值中取得，函数f（x）在闭区间a，b内部的最小值只能在极小值中取得，由于极值只能在驻点和不可导点上取得，所以函数在a，b内的最大值和最小值只能在a，b的驻点和不可导点上取得，除此，边界点x=a，x=b的函

39、数值f（a），f（b）也可能是函数的最值（见上图），所以函数在闭区间a，b上的最值，只能在闭区间a，b内的驻点，不可导点及边界点x=a，x=b上取得，总结上面的分析，下面给出函数f（x）在闭区间a，b上的最大值和最小值的求法步骤：第一步，求f（x）的导数f'（x），并求出函数f（x）在区间a，b内的驻点和不可导点：x1，x2，xn 第二步，计算f（x）a，b内的驻点，不可导点和边界点的函数值f（a），f（x1），f（x2），f（xn），f（b）第三步，比较这些函数值的大小，最大者是最大值，最小者是最小值。例1：求f（x）=x3-3x2+1在闭区间-1，4上的最值【答疑编号：100405

40、01针对该题提问】解（1）f'（x）=3x2-6x=3x（x-2）f（x）在-1，4内的驻点为x1=0，x2=2（2）求驻点、不可导点、边界点的函数值f（-1）=（-1）3-3（-1）2+1=-3f（0）=1f（2）=23-3·22+1=-3f（4）=43-3·42+1=17（3）比较上面函数值的大小，知最大值为f（4）=17最小值为f（-1）= f（2）=-3（二）两种特别情形（1）若在a,b上f'（x）>0（个别点处允许导数为0）=>最小值为f（a），最大值为f（b）。若在a,b上f'（x）<0（个别点处允许导数为0）=>

41、最大值为f（a），最小值为f（b），它们的图形见下图：（2）若在（a,b）内函数f（x）只有一个极大值（没有极小值），则这个唯一的极大值一定是最大值；若在（a,b）内函数f（x）只有一个极小值（没有极大值），则这个唯一的极小值一定是最小值；它们的图形见下图：例2：用最大值、最小值的判别方法证明不等式：x>0时，x>ln（1+x）【答疑编号：10040502针对该题提问】证，即需证明x>0时，x-ln（1+x）>0令f（x）=x-ln（1+x）在0，+）上，f'（x）>0左端点x=0的函数值f（0）=0是f（x）在0，+）上的最小值在（0，+）内f（x）&g

42、t;0在（0，+）内x-ln（1+x）>0即x>0时，x>ln（1+x）（三）最大值最小值应用问题举例例1：在一块长为8a，宽为3a的长方形钢板的四个角上各截去一块大小相同的小正方形，然后折叠成一个长方体容器，问：截去的小正方形边长为多少时？可命名长方体容器容积最大。【答疑编号：10040503 针对该题提问】解：设截去的小正方形边长为x（如上图示），容器的容积为v则，（1）v=x（8a-2x）（3a-2x），（）v=24a2x-22ax2+4x3（2）v'=24a2-44ax+12x2=4（6a2-11ax+3x2）=4（3a-x）（2a-3x）在定义域内有唯一驻点

43、（x=3a舍）（3）是唯一的极大值点，也是最大值点答：时，v最大容积为例2：欲建造一个容积为16（米3）的无盖的圆柱形水池，它的底面每米2造价是侧面每米2造价的两倍，问水池的底半径r和高h分别为多少米时，水池的总造价最少？【答疑编号：10040504针对该题提问】解：（1）已知v=r2h=16r2h=16（2）设侧面每米2造价为a元则底面每米2造价为2a元总造价y=2ar2+2rha=2a（r2+rh）（3）得唯一驻点r=2（4）r=2是唯一极小值点，r=2是最小值点答：r=2，时，总造价最少，这时h=2r为直径，最小总造价为y（2）=24a例3：窗户下部为矩形，配以透明玻璃，上部为半圆形，且

44、直径等于矩形的底，配以彩色玻璃，若窗框周长为L，彩色玻璃的透明亮度是透明玻璃透明亮度的一半，问：窗框的底为多少时可使窗框透明亮度最大？【答疑编号：10040505针对该题提问】解：（1）设彩色单位面积的透明度为a，则透明玻璃单位面积的透明亮度为2a设矩形的底为x，高为h，已知条件有：（2）设窗户的亮度为y， 半圆面积，矩形面积A2=xh则有：（3）唯一驻点为（4）x0是唯一极大值点，也是最大值点答：底边长，高时，窗户亮度最大。例4：铁路线上AB的距离是100公里，工厂C位于A正北方20公里处，ACAB。由工厂C修一条公路CD到铁路线上。D是铁路线AB上的一个转运站。若公路每吨货物每公里运费为5

45、元，铁路每吨货物每公里运费为3元。问转运站D应建在何处才能使每吨货物从工厂C运至城市B的总运费最少。【答疑编号：10040506针对该题提问】解：（1）设转运站D与A的距离|AD|=x总运费 （2）驻点为16x2=3600，x2=152得唯一驻点x=15（x=-15舍）（3）因为只有一个驻点x=15，所以这个驻点是最小值点。最少运费为例5：用截面直径为d的圆柱形木材加工成截面是矩形的梁，如果矩形梁的底为b，高为h，则它的强度W=bh2问b和h为多少时，梁的强度W最大？【答疑编号：10040506针对该题提问】解（1）已知d2=b2+h2W=bh2=b（d2-b2）=d2bb3（2）W'

46、=d2-3b2驻点，这时（3）是唯一极大值点，也是最大值点。答时，强度W最大。最大强度为例6：电动势为E，内阻为r的电源与外电阻R组成闭合电路。问外路电阻R为多少时，在电阻R上的电功率最大。【答疑编号：10040507针对该题提问】解：根据回路的基尔霍夫定律有：（1）E=I（r+R）在电阻R上的电功率W=RI2（2）唯一驻点为R=r（3）因为只有一个驻点。实际问题R上有最大功率。所以R=r时电阻R上有最大功率。例7：证明不等式：21-pxp+（1-x）p1（0x1，p>1）【答疑编号：10040509针对该题提问】证：设f（x）=xp+（1-x）p，则函数f（x）在0，1上连续，在（0，

47、1）内可导，并且f'（x）=pxp-1+p（1-x）p-1（-1）=pxp-1-（1-x）p-1.令f'（x）=0，xp-1=（1-x）p-1 x=1-x得（0，1）内的唯一驻点，计算得由于p>1，所以21-p<1，因此，函数f（x）在0，1上的最小值为，最大值为f（0）= f（1）=1，故当x0，1（p>1）时，21-pf（x）1即21-pxp+（1-x）p14.6曲线的凹凸性和拐点4.3和4.4讨论了函数的单调性和函数的极值，这对了解函数的性态有很大的作用，但是，仅仅知道这些还不够，还不能准确地描绘函数的图像，例如，函数y=x2和在0，1上都是单调增加的，

48、并且其图像都以（0，0）和（1，1）为端点，但是它们的图形却有着显著的区别（如图4.5所示）。函数y=x2的图形是“下凸的”，而函数的图形是“上凸的”。本节将研究曲线（函数的图形）的凸性及其判别方法。从几何直观上看，“上凸的”曲线弧上任取两点，过两点的弦的中点总是位于这两点之间的弧段的下方（如图4.6（a）所示）；而“下凸的”曲线弧正好相反（如图4.6（b）所示）。因此我们可以利用这一特性来定义曲线的上凸与下凸。（图4.6）（图4.7）定理：设函数f(x)在a，b上连续，在（a，b）内具有二阶导数。（1）若在（a，b）内，则函数f(x)在a，b上的图形是下凸的（凹的）；（2）若在（a，b）内，

49、则函数f(x)在a，b上的图形是上凸的（凸的）。关于这个定理的严格这里不作介绍。下面举例说明如何利用这个定理判别曲线的凹凸性。例1：判定曲线y=xarctanx的凹凸性。【答疑编号：10040601针对该题提问】解：函数y(x)=xarctanx在（-，+）内连续，并且有二阶导数。由于，所以因此曲线y=xarctanx在（-，+）内是下凸的（凹的）。例2：判断曲线y=x3的凹凸性。【答疑编号：10040602针对该题提问】解：函数y=x3在（-，+）内连续，二阶导数存在。由于，当x<0时，所以曲线y=x3在（-，0）上是凸的；当x>0时，所以曲线y=x3在（0，+）上是凹的（如图4

50、.8所示）。（图4.8）例2中，曲线上的点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点，称为曲线的拐点。一般地，连续曲线y=f(x)上凹区间和凸区间的分界点称为该曲线的拐点。例3：讨论曲线y=x3-3x2+2x+1的凹凸性，并求出它的拐点。【答疑编号：10040603针对该题提问】解：函数y=x3-3x2+2x+1在其定义域（-，+）内连续，且二阶导数存在。由于，当x<1时，所以曲线在区间（-，1）上是凸的；当x>1时，所以曲线在区间（1，+）上是凹的。因此，曲线上的点（1，1）为曲线的拐点。例4：讨论曲线的凹凸性。如果有拐点，求出拐点坐标。【答疑编号：10040604针对该题提问】解：函数在其定义域内连续，并且x=0为函数的不可导点。当x<0时，所以曲线在（-，0）上是凹的；而当x>0时，所以曲线在（0，+）上是凸的。（0，0）是曲线的拐点（如图4.9所示）。由例3和例4可以看出，拐点常常发生在二阶导数为0或二阶导数不存在的点处。而拐点的横坐标将函数的定义区间分成了若干部分，在这些部分上曲线要么是凹的，要么是凸。这样的区间分别称做曲线的凹区间和凸区间，例如，（-，1）是曲线y=x3-3x2+2x+1的凸区间，而（1，+）为它的凹区间。例3和例4还告诉了我们寻找连续曲线y=f(x)的拐点以及凹凸区间的方法：（1）求，并求出在所讨论区间内的不存在的点；（2）令