第4章 不定积分

1、第4章 不定积分一元函数积分学是一元函数微积分学的另一重要组成部分，包括不定积分，定积分和定积分的应用不定积分的概念是由研究导数问题的逆问题而引入的，定积分的概念则是由研究微小量的无限累加问题而引入这是一元函数积分学的两个基本问题，它们似乎互不相干，却可以通过微积分基本公式密切地联系起来本章介绍不定积分的基本概念、性质及求不定积分的基本方法§1 不定积分的概念一、原函数的概念已知一个函数，求它的导数或微分，是微分学所研究的最基本的问题在许多实际应用中，还会碰到它的逆问题例如，从微分学知道，若已知曲线方程为，则可求出该曲线在任一点处切线的斜率现假设知道某一曲线上在任一点处切线斜率为，且

2、曲线经过原点，则如何求出此曲线方程？又如，若作变速直线运动的质点的位置函数为，则质点在任一时刻的瞬时速度为现若知道从静止状态开始作变速直线运动的质点在时刻的瞬时速度为，则如何求出它的位置函数？以上两个例子，研究对象虽属于不同范畴，但本质上都是已知某一函数的导数，要求该函数表达式的问题为了解决这类问题，我们引入原函数的概念定义1 设是定义在区间（有限或无穷）上的已知函数，如果存在函数，使得对区间上任一点，恒有或，则称是在区间上的一个原函数例如，当时，因为，所以是在区间上的一个原函数当时，因为，所以是在上的一个原函数当时，因为，所以是在上的一个原函数从上述后面两个例子可见，的原函数是不唯一的一般地

3、，若是在区间上的一个原函数，由于常数的导数是零，所以对任意常数，也是在区间上的一个原函数因此，如果函数存在原函数，则它的原函数必有无穷多个为此需要讨论两个问题：（1）一个函数满足什么条件才有原函数？（2）如果函数有原函数，它的无穷多个原函数相互之间有什么关系？对于上述两个问题，我们有以下两个结论：定理1（原函数存在定理）如果函数在某区间上连续，那么它在该区间上必定存在原函数简单的叙述是：连续函数必定有原函数定理的证明将在下一章给出需要指出的是，因为一切初等函数在其定义区间上都是连续的，所以每个初等函数在其定义区间上都有原函数定理2（原函数族定理）若是在某区间上的一个原函数，则是在该区间上的全部

4、原函数，其中是任意常数证 一方面，由于是的一个原函数，即因此对任意常数，即都是的原函数另一方面，若是的任意一个原函数，即，则由第3章§1定理2的推论2可得，与最多相差一个常数，即由以上两个方面可得，是在该区间上的全部原函数，其中是任意常数证毕二、不定积分的概念定义2设是在区间上的一个原函数，则（是任意常数）称为在区间上的不定积分，记为，即，其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分常数例1 求解 因为，所以例2 求解 因为，所以例3 求解 因为，所以三、不定积分的几何意义O图4-1设是的一个原函数，那么方程的图形是平面直角坐标系上的一条曲线，称为的一条积分曲

5、线将这条积分曲线沿着轴方向任意平行移动，就可以得到的无穷多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为的积分曲线族不定积分的几何意义就是一个积分曲线族它的特点是：在横坐标相同的点处，各积分曲线的切线斜率相等，都是，即各切线相互平行（如图4-1）在求的所有原函数中，有时需要确定一个满足条件的原函数，也就是求通过点的积分曲线这个条件一般称为初始条件，它可以唯一确定积分常数的值例4 求通过点的积分曲线解，代入初始条件，可得因此所求的积分曲线为四、不定积分的性质由于为的原函数族，因而有：性质1 或又由于是的原函数，故有：性质2 或注由上可见微分运算与积分运算是互逆的两个运算连在一起时，完全抵消，抵消后相差一常

6、数利用微分运算法则和不定积分的定义，可得下列运算性质：性质3 若函数及的原函数均存在，则有证证毕注此性质可推广到有限多个函数的情形性质4 若函数的原函数存在，为常数，则有证证毕五、基本积分表由于不定积分运算是导数运算的逆运算，因此可以从导数的基本公式得到相应的积分基本公式（1）(为常数)；（2）；（3）；（4）；特例；（5）；（6）；（7）；（8）；(9）；(10)；（11)；（12)六、直接积分法从前面的例题知道，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的为解决一些简单函数的不定积分的计算问题，这里我们先介绍一种利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分的方法，即直接积分法例

7、5 求解例6 求解例7 求解例8 求解例9 求解例10 求解例11 求解习题4-11简述原函数及不定积分的定义2已知函数的导数为，且时，求3设，则（ ）A；B；C；D4若，则（ ）A； B；C； D5求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）§2换元积分法前一节介绍了利用不定积分的性质与基本积分公式计算不定积分的直接积分法但能直接积分的简单函数是有限的这一节我们将把复合函数的微分法反过来用于求不定积分利用中间变量的代换得到的积分法，称为换元积分法，简称换元法换元法通常分为两类，第一类是把积

8、分变量作为自变量，引入中间变量；第二类是把积分变量作中间变量，引入自变量作变换，从而将复杂的被积函数化为简单的类型，运用直接积分法求出积分一、第一换元积分法（凑微分法或配方法）例1 求不定积分解 如果凑上一个常数因子2，使之成为，令，则，回代，求得原不定积分更一般地，若函数是函数的一个原函数，是可微函数，且复合函数有意义，根据复合函数求导法则，及不定积分的定义，有，由于，从而综上所述，可得如下定理1：定理1 设是连续函数，是的一个原函数如果可微，且复合函数有意义，那么这种求不定积分的方法称为第一换元积分法，也称为“凑微分法”凑微分时，要灵活运用以下微分公式：； ； ； ； ； ； ；例2 求解

9、 令，由，得于是例3 求解例4 求解类似可得例5 求解有时，需要将被积函数作适当的代数或三角函数式的恒等变形后，再用凑微分法求不定积分例6 求解类似可得例7 求解类似可得例8 求解，利用例6得故类似可得例9 求解二、第二换元积分法（代换法或置换法）我们通过一个具体的例子来说明第二换元积分法计算不定积分的基本思想例10 求解 作变量代换，即，其目的是把被积函数中的根号去掉，在上述代换下，有，于是一般地，若积分不易计算，而如能作适当变换，把原积分化为的形式后容易积分，并且在求出原函数后容易将代回还原，则可以使用这种方法这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想定理2 设连续，是单调、可导函数，且若

10、是的一个原函数，即，(1)则 (2)证 由复合函数的求导法则以及反函数的求导公式，有这说明是的原函数，即(2)式成立证毕将(1)式和(2)式合起来写成便于应用的形式：例11 求解 令，则，于是一般来说，若不定积分中的被积函数含有(为正整数)时，则可令清除根式这种代换，称为一次根式代换例12 求解 令，则，于是例13 求解 令，则，于是一般来说，若不定积分中的被积函数含有二次根式，或，为了消除根号，通常利用三角函数关系式来换元比如(1)被积函数含有因式，则令；(2)被积函数含有因式，则令；(3)被积函数含有因式，则令我们称以上代换为三角代换在采用三角代换求不定积分时，为了将回代，可根据代换式的形

11、式，构造一个以为锐角的直角三角形(如图4-2)，将会给变量回代带来许多方便图4-2例14 求解 令，则，于是，其中例15 求解 被积函数的定义域为当时，令()，则，于是，其中当时，则根据上面的计算，有，故，其中综上所述，下面我们再介绍一种很有用的代换-倒代换例16 求解 令，则于是当时，；类似可求有 故 为了以后计算不定积分的方便，我们将几个重要的积分公式放入基本积分表中，以便在今后的积分中引用(13)；(14)；(15)；(16)；(17)；(18)；(19)；(20)；(21)；(22)习题4-21求下列不定积分：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)；(7)； (8)；(9

12、)； (10)；(11)； (12)；(13)； (14)；(15)； (16)；(17)； (18)；(19)； (20)；(21)； (22)；(23)； (24)；(25)； (26)；(27)； (28)2若已知，求(1)； (2)§3 分部积分法前一节我们在复合函数求导法则的基础上研究了换元积分法现在我们利用两个函数乘积的微分法则，来推得另一个求积分的基本方法-分部积分法定理1 设都是的函数且有连续导数，则有证 由于都有连续导数，故的微分存在，于是有，两边积分得，所以，移项得到证毕注因上式等式右端还保留不定积分号，所以不必写上上面这个公式称为分部积分公式它把所求的积分分成了

13、两个部分，一部分是，是已经求出了的；另一部分是，是还要积分的，即求不定积分的问题转化成了求不定积分的问题它适用于不易计算，而比较容易计算的情况例1 求解 把某个函数与凑微分，化成分部积分公式左边的形式，现将凑入微分：如果把与凑微分，则有，上式右端的积分比原来的积分更不容易求出由此可见，如果和选择不当，就求不出结果所以应用分部积分法时，适当选取和是一个关键一般选择与有个经验公式：“反、对、幂、指、三”，指的是按反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数及三角函数的顺序被积函数若为其中某两个函数的乘积时，排在前面顺序的函数作为，排在后面顺序的函数作为，凑入微分成为例2 求解例3 求解例4 求解例5 求

14、解例6 求解，移项得，故类似可得以上这种解题方法称为循环法例7 求解，移项得，故当被积函数是某一简单函数的高次幂函数时，我们可以适当选取和，通过分部积分后，得到该函数的高次幂函数与低次幂函数的关系，即所谓递推公式，故称递推法例8 求的递推公式(其中为正整数)，并用公式计算解 当时，当时，所求的递推公式为：()从而由可求得例9 求(其中为正整数，)解 当时，当时，因为，于是，得递推公式从而由可求得到现在为止，我们一共讲了三种积分方法:直接积分法、换元积分法和分部积分法这几种方法，哪一种都不是万能的，每种方法都是对某些积分适用，而对另一些积分就不适用实际计算时，究竟在什么情况下采用哪种积分方法，这

15、要求我们通过对题目的观察自己决定，而且有时一道题要采用几种积分法综合计算这就要求对以上这些方法会灵活运用例10 求解 令，则，于是例11 设为的一个原函数，连续，且当时，有，求解 由代入得，于是 ，则 由及得，因为，所以，则习题4-31求下列不定积分：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)； (13)； (14)2证明下列递推公式：设，则为自然数且§4 几种特殊类型函数的积分前面介绍了不定积分的两种基本方法-换元积分法和分部积分法下面介绍几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数是指由两个多项式的商

16、所表示的函数，即如下形式的函数，其中皆为自然数当时称有理函数为假分式；当时称有理函数为真分式利用多项式的除法，可以把假分式化为多项式与真分式之和，例如，多项式的不定积分我们已经会求了，因此只需讨论真分式的不定积分的求法1真分式分解成最简分式根据代数学的部分分式分解定理，任何一个真分式都可以唯一地分解为下列四种形式的最简分式的和：； ； ； 其中都是常数；，即二次三项式在实数范围内不能再分解成两个一次因式的乘积；分解的具体原则是：（1）若中含有一次单因式，则的分解式含有一项：（2）若中含有一次重因式，则的分解式一般含有项：（3）若中含有二次单因式()，则的分解式含有一项：（4）若中含有二次重因式

17、()，则的分解式一般含有项：例1 化真分式为部分分式的和解 设(为待定系数)，两端去分母后，有比较等式两边的同次幂的系数得，解方程组得 ，所以例2 化真分式为部分分式的和解 设(为待定系数)，两端去分母后有，比较等式两边的同次幂的系数得，解方程组得 ，所以2四类最简分式的不定积分由于真分式都可以分解为最简分式之和，因此真分式的积分归结为四类最简分式的积分，下面分别讨论其求解方法(1)(2)(3)，其中(4)，其中等式右端第二项的不定积分可以利用§4.3例9得到的递推公式计算通过上面的讨论可知，每一个有理函数的原函数都是初等函数从原则上说，有理函数的不定积分的求法已经解决例3 求解 被

18、积函数是假分式，先将它表示成多项式和真分式之和，再将真分式分解成最简分式之和，两边去分母得，比较等式两边的同次幂的系数得，解方程组得 于是例4 求解 由例1得，所以 例5 求解二、三角函数有理式的积分由三角函数及常数经过有限次四则运算而得到的式子叫做三角函数有理式例如等均是三角函数有理式因为各种三角函数都可用和的有理式表示，所以一般用记号表示三角函数有理式对于一般的三角函数有理式的不定积分，可用万能代换化为有理函数的积分，即令，则，于是，从而上式成为右端是的有理函数的积分例6 求解 令，于是如果被积函数是由及常数施于四则运算而得到的，那么令，可使解法更为简单例7 求解 令，则于是必须注意，万能

19、代换一定能将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但有时代换后所得到的被积函数是较复杂的有理函数，积分较繁因此在计算三角函数有理式的积分时，不能单一地套用万能代换，要选择适当的代换或方法，以简化计算，例如：若，则可令；若，则可令；若，则可令例8 求解 被积函数满足，于是令，得例9 求解 被积函数满足，于是令，得例10 求解 被积函数满足，于是令，得三、简单无理函数的积分简单无理函数的积分在第二换元积分法中已有提到，只是那时所举的例题比较特殊，而一般简单无理函数的积分只有在学习了有理函数的积分后才能解决对不定积分，我们总可以作代换，将其化为有理函数的积分来求解对不定积分，我们也总可以作代换，将其化为有理函数的积分来求解例