直线与圆锥曲线的几种题型

1、本节知识：1、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：>0相交=0相切 （需要注意二次项系数为0的情况）<0相离2、涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题：（1）弦长公式： （2）中点弦问题：利用“设点代点、设而不求”或点差法（3）相交弦问题：利用“设点代点、设而不求”的方法3、违达定理的应用：方法：将条件化成两根之和或之积的形式 方法尽量简单 计算整理的能力4、恒成立（过定点定直线）问题方法：参量的联系和转化如何消参量（解方程的思想）计算整理的能力典型例题：例1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交

2、于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标变式：直线与双曲线相交于点，问是否存在这样的实数，使得关于直线对称？如果存在，求出实数，如果不存在，请说明理由。变式2、设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点 （1）若，求的值； （2）求四边形面积的最大值DFByxAOE例2、已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆m的中心，且（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围 变式：已知椭圆两焦点、在轴上，短轴

3、长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；（3）求PAB面积的最大值。 例3、如图，双曲线M是以B、C为焦点且过A点.()建立适当的坐标系，求双曲线M的方程；()设过点E(1,0)的直线l分别与双曲线M的左、右支交于F、G两点，直线l的斜率为k，求k的取值范围.；（）对于（II）中的直线l，是否存在k使|OF|=|OG|若有求出k的值，若没有说明理由（O为原点）ABC变式1：已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，在双曲线上有一点，使，且的面积为。（1）求双曲线的方程；（

4、2）过点的动直线 与双曲线的左、右两支分别交于两点、，在线段 上取异于、的点，满足，证明：点总在某定直线上。变式2如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m0），l交椭圆于A、B两个不同点。 （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.作业：已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足2，·（1）若，求点的轨迹的方程；（2）若动圆和（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数，使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，

5、说明理由答案解析：例1、解：（）椭圆的标准方程为 （5分）（）设，联立得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，即，解得：，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为 （14分）变式1：略变式2：例2、解：依题设得椭圆的方程为， 直线的方程分别为， 2分DFByxAOE 如图，设，其中， 且满足方程， 故 由知，得； 由在上知，得 所以，化简得，解得或。6分 （）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为 ， 9分 又，所以四边形的面积为 ， 当，即当时，上式取等号所以的最大值为12分 解法二：由题设， 设，由得， 故四边

6、形的面积为 9分 ， 当时，上式取等号所以的最大值为12分例2、解（1）椭圆m： 5分（2）由条件D（0，2） M（0，t）1°当k=0时，显然2<t<2 6分2°当k0时，设 消y得 8分由>0 可得 9分设则 11分由 t>1 将代入得 1<t<4t的范围是（1，4）13分综上t（2，4） 14分变式：（1）设椭圆方程为，由题意可得，方程为，设则点在曲线上，则 从而，得，则点的坐标为（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为，则PB的直线方程为： 由得设则 同理可得，则 所以：AB的斜率为定值（3）设AB的直线方程

7、：.由，得，由，得P到AB的距离为，12分则 。当且仅当取等号三角形PAB面积的最大值为。14分例3、解：（I）以BC边的中点为原点，BC边所在直线为x轴，建立直角坐标系，1分则，得3分设双曲线方程为 5分 （II）当轴时，l与双曲线无交点.当l不垂直x轴时，可设l的方程：由，消去y，得7分与双曲线的左、右两支分别交于则10分（）若|OF|=|OG|，三角形OFG中，设M是FG的中点，则有：OM12分由（II）易得，中点M（则应有：，使|OF|=|OG|14分变式1：（1）解：双曲线的方程为 （2）设点，的坐标分别为，且3，即，即. 设直线的方程为， 将代入1中整理，得（1-3. 依题意，是上

8、述方程的两个根，且， 将代入整理，得. 由、消去得，这就是点所在的直线方程.点（）总在定直线上. 变式2解：（1）设椭圆方程为1分则3分椭圆方程为4分（2）直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又KOM=5分由6分直线l与椭圆交于A、B两个不同点，（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可9分设10分则由10分而故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.14分作业：解：（1）点为的中点，又，或点与点重合 2分又点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，的轨迹方程是 6分(2)解：不存在这样一组正实数，下面证明： 7分由题意，若存在这样的一组正实数，当直线的斜率存在时，设之为，故直线的方程为：，设，