第10章无穷级数习题详解

1、第十章 无穷级数习题10-11. 写出下列级数的前五项:（1）; （2）;（3）; （4）.解（1）（2） （3）（4）.2. 写出下列级数的一般项:(1) ;(2) ;(3);(4) ().解（1）因为 ，因此一般项 (2) 因为 ，因此一般项（3）因为 ，因此一般项（4）因为 ，因此一般项.3. 判定下列级数的敛散性:（1）; （2）;（3）; （4）;（5）; （6）;（7）;（8）;（9） （）;(10) .解（1）因为当时，故级数发散.（2）因为 , 当时，故级数收敛.(3) 因为 ，当时，故级数收敛.（4）因为 由于 不存在，所以不存在，因而级数发散.（5）因为 当时，故级数收敛.

2、(6) 该级数的一般项，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.(7) 该级数为公比的等比级数，该级数收敛，而该级数为公比的等比级数，该级数也收敛，故也为收敛级数.(8) 该级数的一般项，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.(9) 因为 当时，故该级数收敛.(10) 该级数的一般项，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.4. 证明下列级数收敛，并求其和：.证当时，故该级数收敛，且.5若级数与都发散时，级数的收敛性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级数收敛性又如何？解 若级数分别为；(发散)；（发散）则级数显然收敛；但是如果另外有级数，则级数显然发散。即两个发散的级数相加减所得级数可能

3、收敛，也可能发散。若其中一个级数收敛，另一个发散，则肯定发散.若不然，收敛，则应该收敛，与假设矛盾.同理，若收敛,则应该收敛，与假设矛盾.习题10.21. 用比较判别法或其极限形式判定下列各级数的敛散性：（1）;（2）1+;（3）;（4）;（5）.解（1）由于而级数 收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛.(2) 由于，而级数 发散，由比较判别法的极限形式，故原级数发散.（3）由于而级数 收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛. （4），而为公比的等比级数，该级数收敛，由比较判别法,故级数 也收敛.（5）由于 ，而收敛，故也收敛.2. 用比值判别法判别下列级数的敛散性：（1）;（2）;

4、（3）;（4）;（5）;（6）; （7）.解（1），故该级数收敛. （2），故该级数发散. （3），故该级数收敛.（4），故该级数收敛.（5），故该级数收敛.（6），故该级数发散.（7），故该级数收敛.3. 用根值判别法判定下列各级数的敛散性：（1） ; （2）;（3）; （4）;（5），其中均为正数；（6）解（1）由于，故该级数收敛.(2) 由于，故该级数发散.(3) 由于，故该级数发散.(4) 由于，故该级数发散.(5) 当，该级数收敛；当，该级数发散；当，不能判断.(6) 1）当时，该级数发散2）当时，有当，该级数收敛；当，该级数发散；当，根值法不能判断.4. 判别下列级数的敛散性：（1

5、）; （2）;（3）; （4）;（5）;（6）； （7）.解（1），故该级数收敛.（2），所以发散.(3) ，故该级数收敛.(4) ,因 ，故，而收敛，故该级数收敛.(5) ,因,有,收敛，由比较收敛法，故该级数收敛.(6) ,因，而级数收敛，由比较收敛法，故该级数收敛.(7) , (由罗比达法则)，故该级数收敛.5判别下列级数是否收敛？若收敛的话，是绝对收敛还是条件收敛？（1）; （2）;（3）; （4）;（5）（不为负整数）;（6）;（7）;（8）.解（1），显然为交错级数，且，故该级数收敛，又因为 是级数，故发散，即原级数是条件收敛.(2) 因为，故收敛，即原级数是绝对收敛。(3) 因为

6、,而收敛，故收敛，即原级数是绝对收敛。(4) ,显然为交错级数，且，故该级数收敛。又因为 ，而发散，故发散，即原级数是条件收敛.(5) ,显然为交错级数，且，故该级数收敛；又因为 ，而发散，故发散，即原级数是条件收敛.(6) ,显然为交错级数，且，故该级数收敛，又因为 ，因，由比较收敛法，而发散，故发散，即原级数是条件收敛.(7) 因为,因 ,而，收敛，故收敛，即原级数是绝对收敛。(8) 因为 ，故收敛，即原级数是绝对收敛。习题 10.31. 求下列幂级数的收敛域：（1）; （2）;（3）; （4）;（5）;（6）;（7）; （8）;（9）; （10）.解（1），所以收敛半径当时，原级数为，该

7、级数发散当时，原级数为，该级数发散因而该级数的收敛域为 .(2) ,所以收敛半径.当时，原级数为，为交错级数，该级数收敛.当时，原级数为，该级数也收敛,因而该级数的收敛域为 .(3),故收敛半径，因而该级数的收敛域为 .(4) ,所以收敛半径.当时，原级数为，该级数收敛.当时，原级数为，该级数也收敛,因而该级数的收敛域为 .(5),故收敛半径，因而该级数的收敛域为 .(6) ,所以收敛半径.当时，原级数为，该级数发散.当时，原级数为，该级数为交错级数，收敛,因而该级数的收敛域为 .(7) 因为该级数缺少偶次幂，我们根据比值审敛法来求收敛半径,因而该级数的收敛域为 .(8) 令，则,收敛半径，有

8、，即当时，原级数为，该级数发散.当时，原级数为，该级数为交错级数，收敛.因而该级数的收敛域为 (9) 因为该级数缺少奇次幂，我们根据比值审敛法来求收敛半径.当，即时，该级数收敛.当，即时，该级数发散.当 时，原级数为，该级数发散.当 时，原级数也为，该级数发散.因而该级数的收敛域为 .(10) 令，则,收敛半径，有 ，即当时，原级数为，该级数为交错级数，收敛.当时，原级数为，该级数发散.因而该级数的收敛域为 .2. 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数：（1）; （2）;（3）.（4），并求的和.解（1）由于.故有 .(2) 由于.故有 .(3) 由于 .故有 .(4) 由于

9、 ,故有 ,令, 得. 习题 10.41.求下列函数的麦克劳林公式：（1）; （2）;解（1）.(2) 因为 .则有 .2. 求下列函数展开成关于的幂级数，并求收敛区域：（1）（）; （2）;（3）; （4）;（5）; 解(1)由于 ，则有 (2) 因为 ，(3) .(4).(5) 因为 .3. 将展开为关于的幂级数.解.4. 将展开为泰勒级数.解而 ;因此 .5. 将函数展开成的幂级数.解.6. 将展开成关于的幂级数.解,给上式左右两边同时求导数，得所以 .7. 将展开为的幂级数.（）.解因为 习题10.6 1. 证明下列各式：(1)(2)证明.2. 将下列函数展开成以为周期的傅立叶级数：（

10、1） （2）解（1）由于该函数为偶函数，可利用积分的性质：;故.（2）;故.3将下列函数展开成以为周期的傅立叶级数，并分别作出原函数与傅立叶级数的和函数在上的图形.（1） （2）解(1)设为周期延拓而得到的新函数，在中连续，是的间断点，且，故在中的傅里叶级数收敛于，在，的傅里叶级数不收敛于，计算傅里叶系数如下：因为 是奇函数，所以故.（2）即，类似地可得：;故.其中。4将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.解（1）正弦级数对作奇延拓，得 再周期延拓到，易见是一个间断点,的傅里叶系数为 由于处，故.（2）余弦级数对作偶延拓，得 ，再周期延拓到，则在内处处连续，且，的傅里叶系数为：故 .5设的周期为

11、2，且 使将其展开成傅立叶级数.解,.而在上，的间断点为,故,.6将，在上展开成傅立叶级数，并求级数的和.解,故.令上式，有，因此 .习题10.71 设篮球架上的篮筐到地面的距离为3.05m，一学生投篮未进，篮球落到地面后反弹到原来高度的40%处，落地后又反弹，后一次反弹的高度总是前一次高度的40%. 这样一直反弹下去，试求篮球反弹的高度之和.解设第次的反弹高度为,根据题意,则篮球反弹的高度之和.即篮球的反弹高度之和为7.12m.2. 2000年保险公司可以保证预定年利率一直是6.5%，几十年不变. 某人每年在保险公司存入1000元（每年按复利计算）. 试求（1）10年后，投资额累积（即本息和

12、）是多少？（2）要存入多少年后才能存到10万元？解（1）由题意可知2001年本息和是2002年本息和是2010年本息和是（元）（2）由题意可知即 （年） 本章复习题A一、选择题1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D二、填空题1.；2.3.4.；5.6.二、判断题12×3×4×5×6×四、计算题1.判断下列级数的敛散性：（1）; （2）； （3）（）; （4）； （5）； (6) .（7）； （8）. 2. 求下列级数的收敛域:（1）; （2）.3. 求下列级数的收敛区间：（1）; （2）.4. 求下列幂级数的收敛区间和收敛半径:

13、（1）; （3）; 5. 将函数展成为关于的幂级数.6. 将函数展成的幂级数.7. 求下列幂级数的收敛域及和函数.（1）; （2）.四计算题解答1判断下列级数的敛散性：（1）因为，而时，当时，该级数收敛，当时，该级数发散。（2），故该级数收敛。（3）该级数为交错级数，且，故该级数收敛，又因为 ，而发散，故发散，即原级数是条件收敛.（4）由于，故该级数收敛。（5）该级数为交错级数，且，故该级数收敛，又因为 ，而发散，故发散，即原级数是条件收敛.（6）由于，故该级数收敛。（7）该级数为交错级数，且，故该级数收敛，又因为 ，而发散，故发散，即原级数是条件收敛.（8）由于，故该级数收敛。2(1) ,故

14、收敛半径,，即当时，原级数为，该级数收敛 因而该级数的收敛域为 （2）因为该级数缺少偶次幂，我们根据比值审敛法来求收敛半径当，即时，该级数收敛当，即时，该级数发散当 时，原级数为，该级数收敛当 时，原级数也为，该级数也收敛因而该级数的收敛域为 3（1），则有，,故收敛半径, 即，故收敛区间为（2），故收敛半径故收敛区间为4（1），则有，即，故收敛半径，故收敛区间为（2），则有，故收敛半径，即，故收敛区间为5 解6（1）解,故收敛半径,当时，原级数为，该级数发散；当时，原级数为，该级数发散，故收敛域为(2) 解,故收敛半径,故该级数的收敛域为。五、证明题1.设且，证明发散.2.证明：若收敛，则绝

15、对收敛.3.设，试证：（1）如果收敛，则收敛；（2）如果发散，则发散.五证明解答1因为，所以由极限定义，对任意给定的，存在正整数，使得当时，有成立，即也就是说，有，此即，而级数发散，所以级数发散.2因为，而级数和级数都绝对收敛，所以级数绝对收敛.3（略）六、傅里叶级数的计算1将在上展开成正弦级数和余弦级数. 2将在内展开成以为周期的正弦级数，并在写出该级数的和函数.3将展开成以2为周期的傅立叶级数，并由此求级数的和.六傅里叶级数的计算解答1解：正弦级数对作奇延拓，得 再周期延拓到，易见是一个间断点，的傅里叶系数为 余弦级数对作偶延拓，得，再周期延拓到，则在内处处连续，且，的傅里叶系数为：故 2

16、解正弦级数对作奇延拓，得 再周期延拓到，易见是一个间断点的傅里叶系数为 3解故本章复习题B1.略2略3设正项级数单调减少，且发散，试问级数是否收敛？并说明理由.解因为单调下降且有下界0，则有，若，由莱布尼茨法则，交错级数收敛，与假设矛盾，于是，现在对正项级数可用根式判别法：，故收敛。4. 设.（1）求的值；（2）试证：对任意的常数，级数收敛.解（1）不必先求出，只须先求出（2）证明显然，为了证明正项级数收敛，对作出估计：于是 ，由于，收敛，故也收敛。5求幂级数的收敛区间，并讨论级数在该区间端点处的收敛性.解收敛半径为：收敛区间为.当时，原级数为正项级数 ，因，且发散，故正项级数 发散。当时，原级数为，该级数为交错级数，且满足莱布尼茨法则，故该级数 收敛.6设函数，试将展开成的幂级数，并求级数的和.解积分得 .当时，右端级数均收敛，又在连续，所以收敛域为，当时，于是,上式令，.7设，求.解,因为 ,故 .8求函数的麦克劳林公式中项的系数.解故的系数为.9. 求幂级数的和函数及其极值.解,积分得因为 ，故 ，令，得驻点，又,故在处有极大值，且极大值为.10.设有