【高考数学秘籍】空间中的垂直关系

1、第 51 讲空间中的垂直关系I丞I1.(2015 安徽卷)已知 m, n 是两条不同直线，a,B是两个不同平面，则下列命题正确 的是(D)A .若a, B垂直于同一平面，则a与B平行B. 若 m, n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C. 若a, B不平行，则在a内不存在与B平行的直线 D .若 m, n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面39可以结合图形逐项判断.A 项，a, B可能相交，故错误；B 项，直线 m, n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m?a, aA 3=n, m/h,贝 U m/牟，故错误；D 项，假设 m, n 垂直于同一平面，则

2、必有m/h,所以原命题正确，故D 项正确.2.(2017 东城区校级月考)1, m, n 是互不相同的直线，a, 3是不重合的平面，则下列 命题为真命题的是(C)A .若a/ 3,l?a ,n?3,则 I/n B .若a丄3,I?a,则I 丄3C.若 I 丄a,I /3,贝y a丄3D.若 I 丄 n , mln ,贝UI / m堪 3 A 选项中，a3I?a,n?3,则 I 与 n 还可能异面；B 选项中，a丄3I?a,则 I 与3还可能斜交或平行；C 选项中，I 丄a, I/3所以3丄是正确的；D 选项中，I _ln , m Jo ,则 I 与 m 还可能相交或异面，选 C.E3.如图，A

3、BCD 是圆柱的轴截面，E 是底面圆周上异于 A , B 的点，则下面结论中，错 误的是(C)A . AE 丄 CEB.BE 丄 DEC.DE 丄 CED .平面 ADE 丄平面 BCE儘3因为 BE1AE , BE JDA? BE 丄平面 ADE? BE1ED ,平面 ADE 丄平面 BCE同理可证 AE1CE.故 A、B、D 都为真命题.对于 C , 假设 DE _LCE ,又 DE _LBE? DE丄平面 BCE ,又 AE丄平面 BCE? DE /AE,这显然 矛盾.故选 C.4.a, 3,丫为不同平面，a , b 为不同直线,给出下列条件：a 丄a , 3 a;a丄Y3丄Y；a 丄a

4、,b 丄3,a 丄 b;a?a,b?3a 丄 b.其中能使a丄3成立的条件的个数为(B)A. 1 B. 2C. 3 D . 4薛根据面面垂直的定义与判定，只有和能使a丄3选 B.5. 已知平面a丄平面3, aA 3=l，在 I 上取 AB= 4, AC? a, BD?3,AC 丄 I, BD 丄 l,且 AC= 3, BD = 12,贝UCD =13.连接 AD，则CD = - AC2+ AD2= AC2+ AB2+ BD2= 13.6.已知正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点，将它沿 AE、AF 和 EF 折起, 使点B、C、D 重合为一点 P,则必有 AP 丄平面 PE

5、F.折起后，有AP JPFAPJPE? AP 丄平面 PEF.PFAPE=PP-ABCD 中，PC 丄平面 ABCD , AB / DC , DC 丄 AC.求证：DC 丄平面 PAC.求证：平面 PAB 丄平面 FAC.设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA/平面 CEF ?说明理由. 堪 3 (1)证明：因为 PC 丄平面 ABCD，所以 PC JDC.又因为 DC 1AC,且 PCAAC = C,所以 DC 丄平面 PAC.(2)证明：因为 AB /DC, DC !AC,所以 AB 1AC. 因为 PC 丄平面 ABCD，所以 PC1AB.又因为 PCAAC

6、= C,所以 AB 丄平面 PAC.又 AB?平面 PAB,所以平面 PAB 丄平面 PAC.棱 PB 上存在点 F，使得 PA /平面 CEF. 理由如下：取 PB 的中点 F，连接 EF, CE, CF.又因为 E 为 AB 的中点，所以 EF /PA.又因为 PA?平面 CEF，且 EF?平面 CEF, 所以 PA/平面 CEF.7. (2016 北京卷)如图，在四棱锥级& （2017 新课标卷川）在正方体 ABCD -AiBiCiDi中，E 为棱 CD 的中点，则（C）A . AiE 丄 DCiB . AiE 丄 BDC. AiE 丄 BCiD . AiE 丄 ACdS 因为 AiE

7、在平面 ABCD 上的投影为 AE,而 AE 不与 AC , BD 垂直，所以 B, D 错；因为 AiE 在平面 BCCiBi上的投影为 BiC，且 BiC JBCi,所以 AiE _LBCi，故 C 正确；（证明：由条件易知，BCilBiC, BCiJCE，又 CEnBiC = C,所以 BCi丄平面 CEAiBi.又AiE?平面 CEAiBi，所以 AiE _LBCi）因为 AiE 在平面 DCCiDi上的投影为 DiE，而 DiE 不与 DCi垂直，故 A 错.故选 C.9. （2017 新课标卷I）已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直 径.若平

8、面 SCA 丄平面 SCB，SA= AC，SB= BC，三棱锥 S-ABC 的体积为 9,则球 O 的表面 积为 36n.如图，连接 OA, OB.由 SA= AC, SB= BC, SC 为球 O 的直径，知 OA _LSC, OB JSC. 由平面 SCA 丄平面 SCB,平面 SCAn平面 SCB= SC，OA1SC，知 OA 丄平面 SCB.设球 O 的半径为 r，贝UOA = OB= r，SC= 2r，所以三棱锥 S-ABC的体积iV= 3x3r2即 3 = 9，所以 r = 3，所以 S球表=4n= 36n310. （2017 新课标卷I）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB /

9、CD，且/ BAP=ZCDP = 90 （1）证明：平面 PAB 丄平面83r OB) OA =亍（2）若 PA= PD = AB= DC，/ APD = 90 且四棱锥 P-ABCD 的体积为 3，求该四棱锥的 侧面积.薛 3 （1）证明：由已知/ BAP =ZCDP = 90 得 AB1AP，CD JPD.由于 AB CD，故 AB JPD，PDnAP= P，从而 AB 丄平面 PAD.又 AB?平面 PAB，所以平面 PAB 丄平面 PAD.如图，在平面 PAD 内作 PE1AD，垂足为 E.可得 PE 丄平面 ABCD.设 AB= x,则由已知可得 AD = _ 2x, PE =号.故四棱锥 P-ABCD 的体积113VP-ABCD= 3AB AD PE = 3X .