立体几何几何法—线面角

1、立体几何（几何法）线面角例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，。（）证明：平面；（）设二面角为，求与平面所成角的大小。【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.设ACBDF，连结EF.因为AC2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，FC，从而，.因为，FCEPCA，所以FCEPCA，FECPAC90°，由此知PCEF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AGPB，G为垂足因为二面角APBC为90°

2、;，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD为正方形，AD2，PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，AD两点到平面PBC的距离相等，即dAG.设PD与平面PBC所成的角为，则sin.所以PD与平面PBC所成的角为30°.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，E

3、，B(，b,0)于是(2，0，2)，从而·0，·0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)(0,0,2)，(，b,0)设(x，y，z)为平面PAB的法向量，则·0，·0，即2z0且xby0，令xb，则(b，0)设(p，q，r)为平面PBC的法向量，则·0，·0，即2p2r0且bqr0，令p1，则r，q，.因为面PAB面PBC，故·0，即b0，故b，于是(1，1，)，(，2)，cos，60°.因为PD与平面PBC所成的角和，互余，故PD与平面PBC所成的角为30°.例2（2012高考

4、天津文科17）（本小题满分13分）如图14，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC1，PC2，PDCD2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值图14【答案】解：(1)如图所示，在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以ADBC且ADBC，又因为ADPD，故PAD为异面直线PA与BC所成的角在RtPDA中，tanPAD2.所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故ADCD，又由于ADPD，CDPDD，因此AD平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面

5、PDC平面ABCD.(3)在平面PDC内，过点P作PECD交直线CD于点E，连接EB.由于平面PDC平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE平面ABCD.由此得PBE为直线PB与平面ABCD所成的角在PDC中，由于PDCD2，PC2，可得PCD30°.在RtPEC中，PEPCsin30°.由ADBC，AD平面PDC，得BC平面PDC，因此BCPC.在RtPCB中，PB.在RtPEB中，sinPBE.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.例3（2012高考浙江文20）（本题满分15分）如图15，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A

6、DBC，ADAB，AB，AD2，BC4，AA12，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点(1)证明：(i)EFA1D1；(ii)BA1平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值图15 【答案】解：(1)证明：()因为C1B1A1D1，C1B1平面A1D1DA，所以C1B1平面A1D1DA，又因为平面B1C1EF平面A1D1DAEF，所以C1B1EF，所以A1D1EF.()因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1B1C1.又因为B1C1B1A1，所以B1C1平面ABB1A1，所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B，即A1B1FAA1B，故BA1B1F，所以BA1平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.由(1)知BA1平面B1C