【高考精品】导数的综合应用——导数与方程

1、1.函数 y= 3X3+ x1 2+ x+ 1 的零点个数为(B)A. 0 B. 1C. 2 D. 333 因为 f (x) = x2+ 2x+ 1 = (x+ 1)20, 所以 f(x)在 R 上单调递增，因为 f(0) = 10, f( 3) = -20 ,所以 f(x)在 R 上有且只有一个零点.2.已知函数 y = x3 3x + c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则c= (A)A . 2 或 2 B . 9 或 3C. 1 或 1D . 3 或 139 由三次函数的图象与 x 轴恰有两个公共点，结合函数的图象，极大值或极小值为 零即可满足要求.2而 f (x) = 3x 3= 3(

2、x 1)(x+ 1),当 x =时，取得极值，由 f(1) = 0 或 f( 1) = 0,可得 c 2 = 0 或 c+ 2= 0,所以 c= 2.3.若曲线 f(x) = ax2+ In x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是(A)A.(汽 0) B. (a,0C. 0 ,+ ) D . (0 ,+ )1该函数的定义域为(0, +m). f (x)= 2ax+ -.x因为曲线 f(x)= ax2+ ln x 存在垂直于 y 轴的切线,1问题转化为方程 2ax +-=0 在(0,+a)内有解，x1324.(2017 湖南湘中名校高三联考)已知函数 f(x) = x3+ ax2

3、+ bx+ c 有两个极值点X2,若 x1f(x1)x2，则关于 x 的方程f(x)2 2af(x) b= 0 的实根的个数不可能为(D)A . 2 B . 3第 19 讲导数的综合应用导数与方程1于是可得 a =衣勺,0).因为 X1, X2是函数 f(x)的两个极值点，所以 X1, X2是方程x2+ 2ax + b= 0 的两个实数根，2所以由f(x) 2af(x) b= 0,可得 f(x)= X1,或 f(x) = X2,X1,C. 4 D. 5薛 3 由题意得,2f (x) = x + 2ax+ b,由题意知，f(x)在(一a,X1), (X2,+a)上单调递减，在(X1, X2)上单

4、调递增, 又X1f(X1)2,因为 X12x2，所以aa2，22(方法二)由 f (x)= 3x 4ax+ a = 0,且 *2血，所以 f (2)0,解得 2a2: a = 0, b= 2; a = 1, b =2.32令 f(x)= x + ax + b,贝 U f (x) = 3x + a.当 a0 时，f (x) 0, f(x)单调递增，正确;当 av0 时，若 a = 3,2则 f (x) = 3x 3= 3(x+ 1)(x 1),所以 f(x)极大=f( 1) = 1 + 3 + b= b+ 2,f(x)极小=f(1) = 1 3 + b= b 2,要使 f(x) = 0 仅有一个

5、实根，需 f(x)极大v0 或 f(x)极小0,所以 bv 2 或 b 2,正确，不正确.故填327. (2016 北京卷)设函数 f(x)= x + ax + bx+ c.(1) 求曲线 y= f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；设 a = b = 4,若函数 f(x)有三个不同零点，求c 的取值范围；(3)求证：a2 3b 0 是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.3 (1)由 f(x) = x3+ ax2+ bx+ c,得 f (x) = 3x2+ 2ax+ b.因为 f(0) =c,f (0) = b,所以曲线 y = f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y=bx+

6、 c.32(2) 当 a = b = 4 时，f(x) = x + 4x + 4x+ c,所以 f (x)= 3x2+ 8x + 4.令 f (x) = 0,得 3x2+ 8x + 4= 0,2解得 x= 2 或 x= 3.当 x 变化时，f(x)与 f(x)在区间(s,+s)上的变化情况如下：x(m, 2)22( (-2, ,-寸寸2一 32(3, +m)f (x)+0一0+5.设 X1, X2是函数 围是(2,6).C33 (方法一)由 F得 xi= a, X2= a.f(x)= x3 2ax2+ a2x 的两个极值点，且 X12X2,则实数 a 的取值范2 2(x) = 3x 4ax+

7、a = 0,所以 2a 0 且 c 27 0 时，存在 Xi( 4, 2), X2 一 2, 3), X3 一 3, 0),使得 f(Xl) = f(X2)= f(X3)= 0.由 f(X)的单调性知，当且仅当 cqo, 2!)时，函数 f(x) = X3+ 4X3+ 4x+ c 有三个不同零点.(3)证明：当 =4a2 12b 0, xq ,+),此时函数 f(x)在区间(一s,+g)上单调递增，所以 f(x)不可能有三个不同零点.当= 4a2 12b= 0 时，f (x)= 3x2+ 2ax+ b 只有一个零点，记作 x.当 Xqg, X0)时，f (X) 0 , f(x)在区间(g,X0

8、)上单调递增；当 XqX0,+g)时，f (X) 0 , f(x)在区间(X0,+g)上单调递增.所以 f(x)不可能有三个不同零点.综上所述，若函数 f(x)有三个不同零点，则必有 = 4a2 12b 0.故 a2 3b 0 是 f(x)有三个不同零点的必要条件.当 a = b= 4, c= 0 时，a2 3b 0, f(x) = x3+ 4x2+ 4x = x(x+ 2)2只有两个不同零点，所以 a2 3b 0 不是 f(x)有三个不同零点的充分条件.因此 a2 3b 0 是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.&(2017 广东深圳一调)已知函数f(x)= In x ax2

9、+ x 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是(A)A. (0,1)B.(g,1)1+e1 + eC.(g,)D.( (0,) )2令 g(x) = In x, h(x)= ax x.将问题转化为两个函数图象交点的问题.当 a 0 时，由 In x ax + x= 0,得 a=2 ,x，x+ In x令 r(x) =x2,120 +1 )x(Inx + x)2x 1 x 2in x贝 H r (x)=4=3.XX当 0 x0 , r(x)是单调增函数，x+ In x当 x1 时，r (x)0,所以 0a1.X所以 a 的取值范围为(0,1).3 x + x 2根据题意，f (x) = x+

10、 1 X =-19. f(x) = ?x2+ x 2In x+ a 在区间(0,2)上恰有一个零点，贝 U 实数 a 的取值范围是a 2In32 4 或 a = 2.x+2x1=x ，当 xqo,1)时，f (x)0, f(x)为增函数，若函数 f(x)在区间(0,2)上恰有一个零点，则 f(1) = 0 或 f(2) 0,由 f(2) = 4 2ln 2 + a0 时，f(x) 2a + aln .a39 (1)f(x)的定义域为(0,+s),f (x) = 2e2x?(x0),当 aw0 时，f (x)0，所以 f (x)没有零点；当 a0 时，因为 y= e2x单调递增，y= 单调递增，x所以 f (x)在(0 , +8)上单调递增.因为 f (a)= 2e2a 10,a1假设存在 b 满足 0b4 且 b4 时，f (b)0 时，f (x)存在唯一零点.(2)证明：由(1)可设 f (x)在(0, +)存在唯一