【高考精品】导数的综合应用——导数与不等式

1、第 18 讲导数的综合应用导数与不等式丼圾11 .定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(1) = 1，且 f(x)的导函数 f (x)2，则满足 2f(x)x+ 1 的 x 的集合为(A)A . x|x1 B. x| 1x1C. x|x1 D . x|x133 令 g(x) = 2f(x) x 1,贝 U g (x) = 2f (x) 10 ,所以 g(x)在 R 上为增函数，又 g(1) = 2f(1) 1 1 = 0,所以 g(x)0? x1.即原不等式的解集为x|x1.2.f(x)是定义在(0,+s)上的非负可导函数且满足xf (x) f(x)w0，对任意正数 a, b, 若ab，则必

2、有(A)A.af(b)wbf(a) B.bf(a)af(b)C.af(a)wbf(b) D.bf(b)af(a) 饭设 F(x) =严，则 F (皆一w0, 故 F(x) =号在(0, +)上是减函数或常函数，由 0ax(x0) B . sin x0)2C. xsin x D .以上各式都不对n令 g(x) = sin x x，贝 U g (x)= cos x 1w0,所以 g(x)在(0,+8)上单调递减，所以 g(x)g(0)，所以 sin xx.4.已知 e 是自然对数的底，若函数f(x) = ex x + a 的图象始终在 x 轴的上方，则实数 a 的取值范围为(C)A.2,2 B.(

3、 a, 2)U(2,+)C.(1,+) D.( a, 2U2,+a) 锂 3 因为函数 f(x) = ex x+ a 的图象始终在 x 轴的上方，所以 f(x) = ex x+ a 的最小值大于 0.f (x) = ex 1,当 xqa,0)时，f (x)0，所以 f(x)的最小值为 f(0) = 1 + a.由 1 + a0 ,得 a 的取值范围为(一 1,+a).5. 已知 f(x)= xex, g(x)= (x+ 1)2+ a,若?捲，乂? R，使得 f(X2)wg(x”成立，则实数一 1a 的取值范围是-,+a).edS 因为 f (x) = ex+ xex= (1 + x)ex,当

4、x 1 时，f (x)0, f(x)单调递增；当 x 1 时，f (x)1e.6.(2017 河南模拟)设 f(x)= x3+ x, x R，当 Ow，f(msin f(1 m)0 恒成立，则实数 m 的取值范围是(一R,1).薛 3 因为 f (x) = 3x2+ 1O,所以 f(x)在 R 上为增函数，又 f(x)为奇函数，所以条件即为 f(msin 0)f(m 1),n所以 ms in9m 1 对 旳 0,恒成立,即 m(1冗sin 0)1 对 00,恒成立，因为=n寸，上式恒成立；当旳 0,n时，m，贝ym0,则当 xq0, +R)时，f (x)0,故 f(x)在(0，+R)上单调递增

5、.1若 av0,则当 xq0,扃)时，f (x)0;1当 xq 2, +R)时，f (x)v0.1 1故 f(x)在(0，芬)上单调递增，在(务，+R)上单调递减.1 1 1(2)证明：由(1)知，当 av0 时,f(x)在 x=亦处取得最大值，最大值为 f(亦)=ln( )所以 f(x)w乎2 等价于 ln(-円-1 +w严2, 即卩 ln(円+扌+ 1w0.4a2a 4a 4a2 a 2a1设 g(x) = ln x x+ 1,贝Ug (x) = 一一 1.x当 xq0,1)时，g (x) 0;当 x(1, +R)时，g (x)v0, 所以 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1, +R)

6、上单调递减.x+ 1 2ax+ 1x故当 x= 1 时，g(x)取得最大值，最大值为g(1) = 0.所以当 x 0 时，g(x)w0.从而当 av0 时，ln( - 2L)3 即 f(x)w42.&若 0X1X2|n X2 In X1B. ex2 ex1X1ex2D. X2ex1X1ex2Xe令 f(x)= -(0 x1),XXX.xe ee (x 1 则 f(x)= x2当 0 x1 时，f因为 0X1X21 ,eX2 eX1即 V，所以X2X1如何说明 A 和 B 不成立？下面进行探讨：设 g(x) = ex In x(0 x1),Xx1 xe 1因为 g (x) = e =令

7、g (x)= 0 得，xex- 1= 0,即1由 y = ex与 y = -的图象知两图象的交点x(0,1),x因此，g(x)在 (0,1)上不单调，由此可知A 和 B 选项不可能成立.9.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0,且 g( - 3) = 0,则不等式 f(x)g(x)0 的解集为(一， 3) L(0,3).C39 当 x0 ,所以函数 f(x)g(x)在(- , 0)上为增函数，又 f(x)g(x)为奇函数，故 f(x)g(x)在(0 ,+)上为增函数，且 f( - 3)g( - 3) = 0, f(3)g(3) = 0.故 f(x)g(x)0 , f(x)在(0，+a)上单调递增；1若 a0,则当 xqo,)时，f (x)0 ；a当 Xa)时，f (x)0 ,a11所以 f(x)在(0,-)上单调递增，在(：，+a)上单调递减. aa由(1)知当 aw0 时，f(x)在(0,+a)上无最大值，=2x (x)0， 即 f(x)在(0,1)上单调递减, 所以 f(X2)xiex2.由此可知选 C.x1e= x，当 a0 时，f(x)在 x= 1 处取最大值，1令 g(a)= In a + a 1,贝 U g (a) = + 10