理学常微分方程模拟题浙江师范大学

1、   模拟试题1一、填空题: (每小题2分,共8分)1. 方程的通解是 ;2. 是全微分方程(恰当方程)的充要条件 ;3. 方程的通解是 ;4. 方程 的特解可设为 .·参考答案o 1.  2. o 3.    4. 二、是非判断题: (每小题2分,共12分)1. 如果是微分方程组的复值解(这里、都是实向量函数,是实矩阵函数),那么是微分方程组的解; 2. 方程(是实数)的通解是;3. 如果存在定负函数V(X),使得V通过方程组其中）的全导数定正,那么这个方程组的零解渐近稳定;4. 方程(其中a(x),b(x),c(x)连续

2、)可以有三个线性无关的解;5. 如果、均为方程组的基解矩阵,那么必存在可逆常数矩阵C使得成立;6. 方程=2 满足初始条件:x=0时y=0的解只有y=0 .·参考答案o 1. ×, 2. ×, 3. , 4. , 5. , 6. ×.三、(24分)求解下列各方程:1 =; 2. =; 3. ; 4. .·参考答案o 1. = 通解为 或者 写成;o 2. =,即,通解为;o 3. ,设,则=,所以 ,即得通解; o 4. x()2-2y( )+x=0 ,设,则,两边关于求导得或 . 由得 , 所以通解是,由得奇解 .四、(20分)求下列各方程的

3、通解:1. ;2. .·参考答案o 1. 的通解是 ,设原方程的特解是,将代入原方程得,所以有 ,所以原方程的通解是 ;注:如果用常数变易法或利用辅助方程求解,则参照此解法给分.o 2. 设 则原方程化为,(其中 ),即 ,此方程通解是,所以原方程的通解是.五、(14分)解方程组:·参考答案o 由 =0 得 ,所以，特征值是 .对于，设 (6分) 代入方程组可得记,则.对于,可求得一特征向量.因此,原方程的通解是 ,或者写成 .六、(12分)已知微分方程,其中g(x)= 试求一连续函数y=y(x),满足条件y(0)=0,且在区间内满足上述方程.·参考答案

4、o 1.当时,所以,.由得;当时,所以,.因为y(x)在x=1连续,所以.所以,所求函数是.七、(10分)判断下列方程组的零解的稳定性:12·参考答案o 1. 一次近似方程是 ,特征方程 ,.因为,特征根的实部都,所以原方程组的零解是渐近稳定的.o 2. 构造Lyapunov函数(定正),则 定负,因此,原方程组的零解是渐近稳定的.     模拟试题2       一填空题：（第1小题4分，其它每小题3分，共25分）1方程是阶是(非)线性方程.2若方程（连续）是全微分方程，则

5、满足关系 .3李普希兹条件是保证初值问题 解唯一性的条件.4对于一阶方程（p(x),q(x)C(a,b)）, 则其任一解的存在区间是.5对于欧拉方程 ，只需作变换，即可将其化为常系数线性方程. 6对于二阶方程，其由解所构成的Wronski行列式必为.7对于常系数线性齐次方程组，若常系数矩阵A的特征根的实部都是负的，则方程组的任一解当时.8单摆运动方程可化为一阶方程组.·参考答案1.三 ，非 2 3充分， 4(a,b)， 5，o 6常数 ， 7. 趋于零， 8. . 二求解下述方程：（每小题6分，共42分）1234.5.6.7.·参考答案o 1. (6分)o 2. ，解为 o

6、 3. 积分因子为，解为 (6分)；o 4. 设(1分)，令，解为 (6分)；o 5. （I）当，;（II）当,不防设a>0,则方程的两个基本解为，易求得一个特解 所以此时方程的解为 o 6. x+x=0的通解是 (2分)，设原方程的特解是(4分)，将代入原方程得 ，所以有 ,所以原方程的通解是 注：如果用常数变易法或利用辅助方程求解，则参照此解法给分o 7. ,设，则（2分）.所以，原方程化为 由得，因此得 （6分）三（本题11分）1何谓是线性齐次方程组的基解矩阵？ 2试求系数矩阵A=上述方程组的基解矩阵.·参考答案o 1. 称是的基解矩阵，如果满足（a） (b) .（4分）

7、o 2. 令，可求得（7分）对于 由可取, 对于，由可取对于，由可取因此基解矩阵为.（11分）四讨论题：（本题12分） 研究方程 1 当n=1, 方程是什么类型的方程？并求解之。2 当n=2, 方程是什么类型的方程?通过观察能否直接求出其解？如何作变换将其化为可求解的类型，并具体求解之。·参考答案o 1. 当 n=1 时，方程为线性非齐次方程，其解为 （3分）o 2. 当 n=2 时，方程为Riccati方程，通过观察，易知为其一特解（6分），令（8分），代入原方程后可化简为 此为伯努里方程，再令，则又可化为可求其解为，因此原方程的解为 .五证明题：（本题10分）设是方程的基本解组，

8、则线性非齐次方程满足初始条件的解可表为（其中w 为解所成的Wronski行列式），试证明之.·参考答案o 证明：设 为方程 （1）的两个线性无关解.令 ，则（1）化为，其中 （3分）则据常数变易公式，满足初始条件的解为,（6分）其中 代入可算得 .     模拟试题3     一、填空题：（每小题3分，共21分）1. 方程的阶数是.2. 方程的通解是；3. 是方程的积分因子的充要条件是；4. 方程的通解是；5. 方程的特解可设为；6. 如果是某个二阶线性非齐次方程的特解，那么这个方程的通解是；7

9、. 方程满足条件的解有个. ·参考答案o 1. 三，o 2，o 3，o 4，o 5,o 6，o 7.无穷多.二、是非判断题：（每小题2分，共10分）8. 如果是微分方程组的复值解（这里、都是实向量函数，是实矩阵函数），那么是微分方程组的解.9. 方程（a是实数）的通解是.10. 方程（其中连续）可以有三个线性无关的解.11. 如果是n维方程组=A(t)X的基解矩阵，C是n阶可逆常数矩阵，那么C也是方程组=A(t)X的基解矩阵.12. 方程= 2满足初始条件：x=0时y=0的解只有y=0. ·参考答案o 8. ×， 9. ×， 10 ， 11, 12,&#

10、215;. 三、（24分）求解下列各方程：1. ；2. =；3. -=；4. .·参考答案o 1. =(3分) 通解为或者写为 (6分)；o 2. =(3分) (6分)；o 3. 设(2分)，则= (4分)，所以，通解是(6分)；o 4. 设(1分)，则，两边关于求导得 (4分)代入得(5分)，所以通解是 (6分).四、（18分）求下列各方程的通解：1. ；2. .·参考答案o 1. 的通解是(2分)，设原方程的特解是(4分)，将代入原方程得，所以有，以原方程的通解是(6分).注：如果用常数变易法或利用辅助方程求解，则参照此解法给分.o 2. 设(2分) 则原方程化为，（其

11、中） (4分)，此方程通解是，所以原方程的通解是(6分).五、（15分）(1) 求方程组, ,一基解矩阵；(2) 利用常数变易法求方程组+F(t) F(t)= ，满足初始条件X（0）=的特解X(t).·参考答案o (1) .o (2) .六、（12分）已知微分方程，其中试求一连续函数，满足条件，且在区间内满足上述方程.·参考答案o 当时，所以，.由得；当时，所以，.因为在x=1连续，所以.所以，所求函数是.     模拟试题4       一、填空题: (每小题3分

12、,共21分)1. 方程的阶数是; 2. 方程的满足条件的特解是 ;3. 方程存在只与y有关的积分因子=(y)的充要条件是 ;4. 方程的通解是;5. 方程的特解可设为;6. 方程的特解可设为;7. 方程满足条件的解有 个.·参考答案o 1. 三 , 2. , 3., 4. , o 5., 6., 7. 无穷多.二、是非判断题: (每小题2分,共10分)1. 如果是微分方程组的复值解(这里、都是实向量函数,是实矩阵函数),那么是微分方程组的解; 2. 方程(是实数)的通解是 ; 3. 方程y+a(x)y+b(x)y=c(x)(其中a(x)、b(x)、c(x)连续)最多有三个线

13、性无关的解;4. 如果(t)是n维方程组的基解矩阵,C是n阶常数矩阵,那么(t)C也是方程组的基解矩阵;5. 对于常系数方程组X= AX,若A的特征根的实部都是非正的,则方程组的任一解当时都趋于零.·参考答案o 1., 2.×, 3., 4.×, 5.×.三、求解下列各方程: (49分)1. ; 2. ;3. ;4. .5. x+x=et;6. ;7. .·参考答案o 1.;2. 或者 ;3. 设，则 ,所以，通解是 ;4. ;通解是 y=0也是解;5. x+x=0的通解是 ,设原方程的特解是,将代入原方程得 ,所以有 所以原方程的通解是 ;6

14、. ,设 ,则原方程化为,(其中 ),的通解是,的通解是, 所以原方程的通解是 . 7. 的通解是.设,代入原方程得所以,原方程的通解是 .四、求方程组的基解矩阵,其中.(9分)·参考答案o 因为所以,特征值是 . 对于,解齐次方程组 得特征向量,同理,对于,可求得特征向量.因此,原方程的通解是,或者写成.五、证明题:(11分)1.(6分)给定方程,其中在上连续,设是上述方程的两个解,证明极限存在.2.(5分)设f(x)是已知的以为周期的连续函数,k是非0常数,试证明方程有且仅有一个周期为的周期解,并求出这个周期解.·参考答案o 1.证明:由条件知是线性齐次方程的解,因为

15、的特征方程是 ,特征根是,所以 的通解 ,所以 ,从而极限 存在.o 2. 证明:如果有两个以为周期的周期解,则是齐线性方程的解,所以.由于是以为周期的函数,所以c=0,即.方程的通解是.由得,所以.因此,所求解是.     模拟试题5        一、填空题：(3×10)1方程的通解为.2形如的方程叫做欧拉方程.3若方程组中矩阵有个互不相等的特征根1 ，2 ，,n，而是对应的特征向量，则基解矩阵为() =_.4阶非齐线性方程+ 的通解等于与之和.5考虑定义在区间a，b上的

16、函数, 如果存在，使得恒等式对于所有ta,b都成立，则说这些函数是线性相关的. 6设函数组，则在区间上它们的伏朗斯基行列式是它们在区间上线性相关的条件（填“充分”，“必要”或“充要”）.7. 方程为恰当方程的充要条件是.8. 与方程组相对应的线性方程为 . ·参考答案o 1.o 2.o 3.o 4它所对应的齐线性方程的通解，它本身的一个特解.o 5. 不全为零的常数, . o 6. 必要.o 7. .o 8. 二、解方程（5×4）12. 3. 4. ·参考答案o 1、，令，代入方程中得，令，则方程转化为，两端积分得不为0；此外，也是解，故原方程的通解为，即，为任意

17、常数.2令，代入原方程得，且，故有，所以，所以原方程的通解为3由于所以. 于是有，所以原方程的通解为，其中c为任意常数4对应的齐线性方程的通解为，设代入原方程得，所以原方程的通解为+.三、解答题（本大题共15分，其中第一题7分）1已知，试求方程组的一个基解矩阵，并计算.2用比卡逐步逼近法求下列初值问题的解（其他方法不予计分）.·参考答案o 1. 特征根为，对应的特征向量为.2. ,这里，所以在为中心的任何邻域内都满足解的存在唯一定理的条件，故此初值问题的解存在且唯一，作比卡逐步逼近序列：，由此取极限得：.四、证明题1（10分）设是n阶齐线性方程的任意n个解，它们所构成的伏朗斯基行列式

18、为W(t)，证明：(1) 满足(2) 2（10分）设为区间上的连续实矩阵，为方程的基解矩阵，而为其一解. 试证：对于方程的任一解必有常数.为方程的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵，使.3（15分）设是方程组的任意个解，试证明它们线性相关的充要条件是伏朗斯基行列式.·参考答案o 1. 证明：(1) 设是n阶齐线性方程的任意n个解，它们所构成的伏朗斯基行列式为，由行列式的求导公式得. 把这个行列式的第1行、第2行、第n行分别乘以后加到最后一行上，最后一行全部变成0，所以.（2）当时，等式当然成立。当时，两端取到的定积分，得化简即得.2. 证明: 令，则有,因而有常数：若存在非奇异

19、的常数矩阵C使得，求导得：，这就说明是解矩阵而，所以，所是基解矩阵：若、分别是这两个方程的基解矩阵，则所以，而，以为非奇异的常数矩阵.3. 证明:相关存在不全为零的常数，使得恒成立微分得由于常数不全零，所以这个关于得齐线性方程组由非零解，故有=系数行列式=0线性相关（见课本定理，证略）     模拟试题6       一、(3×10)填空题:1. 微分方程的阶数的是.2. 方程 的通解为.3. 方程 的奇解指的是.4. 方程组的解矩阵为基解矩阵的充要条件是 .5. 常系数齐线

20、性方程组中,若矩阵有个互不相等的特征根 ,而 是这个特征根对应的特征向量,则方程组的基解矩阵为 =.6. 阶非齐线性方程+ 的通解等于与之和.7. 形如 的方程叫方程.8. 对,若有定正函数,则当为时,零解为渐近稳定的.9. 对于非线性方程,若的特征根的实部时,其零解为不稳定.·参考答案1 1.未知函数最高次导数的次数, 2., 3.这个解的每个点上至少还有方程的另外一个解4. 且, 5. , 6. 它所对应的齐线性方程的通解，它本身的一个特解.7. 克莱罗, 8.定负函数, 9. 大于零.二、解方程(8×3)1. ; 2. ;3. .·参考答案o 1. 提示:令

21、,则 .方程的解为:;2. ，令，则.方程的解为: ;3. , 解为:.三、判断下列方程在给定区域上是否满足解的存在唯一定理的条件(5×2) (1)、(2)、R :·参考答案o (1) 易验证满足解的存在唯一定理的条件(2) 不满足,因为 当时,所以 在区域R上不满足利普希斯条件,四、确定下列方程组的奇点类型及稳定性(8×2)1、 2、 ·参考答案o 1.鞍点 不稳定o 2.稳定焦点,渐近稳定五、证明题1.(8)设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅倚赖于的积分因子.2.(12)设，, 是阶齐线性方程 + + + + = 0 的任意个解,它们所构

22、成的伏朗斯基行列式为,试证明:（1） W(t)满足;（2） ,其中,.·参考答案o 1. 证 必要性. 若方程为线性方程,则方程可写为.令 ,由题意知,连续,所以方程有积分因子 ,仅依赖于x的积分因子.充分性. 设方程有仅倚赖于的积分因子,即 为恰当方程,有           上式右端仅为x的函数,令其为,积分上式,得 , 故该方程为线性方程.o 2 证明:(1) 设是n阶齐线性方程的任意n个解,它们所构成的伏朗斯基行列式为,由行列式的求导公式得 .把这个行列式的第1行、第

23、2行、第n行分别乘以后加到最后一行上,最后一行全部变成0,所以 (2) 当时,等式当然成立.当时,两端取 到 的定积分 ,得 化简即得 .     模拟试题7       一、填空题(310):1.给定微分方程,则它的通解为,过点的特解为.2.对于微分方程,作变换,可将它化为变量分离方程.3.微分方程为全微分方程的充要条件是.4.克来罗方程的通解为,奇解为 .5.已知常系数齐线性方程 的特征根为,则它的通解为 (用实函数表示). 6.已知常系数齐线性方程组 ,若矩阵的个特征根彼此互异,他们所对应

24、的特征向量,则方程组的基解矩阵.7.阶线性方程有复值解,则其虚部是方程的解.8.与初值问题等价的阶线性方程的初值问题为. ·参考答案o 1.,; 2. ; 3. ; 4., ,5.,; 6 ;7.;8.二、判断题(25)1.阶线性方程的通解包含了方程的一切解,因而方程没有奇解.2.在解的存在唯一定理中,若满足利氏条件,则一定连续.3.对于区间 上的连续函数 ,若它们构成的伏朗斯基行列式,则这个函数在区间上线性相关.4.设线性无关的函数都是二阶非齐线性方程的解,则原方程的通解可以表示为,其中为任意常数.5.方程应该有一个形如特解,其中待定.·参考答案o 1.×, 2

25、.×, 3., 4.×, 5.×.三、解下列微分方程(54):1.2.3.4.·参考答案o 1.积分因子为,通解为 .2.先求解齐次方程:=0,齐次方程通解: 取 ,代入原方程比较系数得:,所以原方程通解:.3.先求解齐次方程,齐次方程特征根(二重),设,代入原方程得, 原方程的解为:.4.设 ,得到K应满足的方程 ,因此,方程的通解为 .(以下四七题每题十分):四. 已知连续函数满足关系式,试求函数的表达式.·参考答案o 提示:对关系式两边关于x求导,易得 ,. 五.已知方程组 ,其中 ,求,并写出方程组的通解.·参考答案o 由得特

26、征根为,由特征向量方程组,分别求得属于特征根的特征向量为 ,所以基本解组为 .标准基本解矩阵为 所以原方程组的通解为 . 六.设不是矩阵的特征值,证明:方程组c有一解形如m,其中c，m是常向量.·参考答案o 证:设方程有形如=m的解,下面证明m是可以唯一确定的.事实上,将m代入方程组,得,又因为不是矩阵的特征值,即,所以存在,于是由,得 ,即m是方程组唯一确定.故方程组有一解 .七.若的个解,在区间上线性无关,则他们的伏朗斯基行列式在这个区间的任何点处都不等于零,即.·参考答案o 证明:参见王高雄常微分方程P106.   模拟试题8一、填空题：（3×10）1、如果把函数带入微分方程后，则称函数为微分方程的解.2、方程的通解为 .3、方程的奇解指的是 .4、