电动力学静电场答案

1、编号： 班级： 学号： 姓名： 成绩： 第1章 静电场1. 证明均匀介质内部的极化电荷体密度，总等于自由电荷体密度的（1）倍。2. 有一内外半径分别为的空心介质球，介质的介电常数为，使介质内均匀带静止自由电荷，求（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。解 1）由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向故：时 或 时 球壳体内： 在的球形外：式中 写在一起2） （与第一题相符）内表面：外表面：3. 证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折满足： 式中和分别为两介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度

2、，故边值关系为：, （,）若两种介质都是线性均匀的，即， ；上边两式为:，于是得： 4. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面。1 导体2 绝缘体证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体。静电情况下：,由边值关系：,可得：,即，对于各向同性线性介质所以，即导体外的电场线垂直于导体表面2aO图1 5. 如图1，有一厚度为，电荷密度为的均匀带电无限大平板，试用分离变量法求空间电势的分布。解：以O原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性，电势分布仅与x有关，x即一维问题。容易写出定解问题：时 时 直接求解得6. 内半径，外半径为的两个同心导体球壳，令

3、内球接地，外球带电量，试用分离变量法求空间电势分布。解.根据球对称性，空间电势分布仅与r有关，定结问题为： r=b时 求解得 7. 均匀外电场中，置入半径为的导体球。求以下两种情况的电势分布。（1）导体球上接有电池，使球保持电势为；（2）导体球上带有总电荷。解 建立球坐标系 极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性，即电势仅与r有关1）的定解问题为此时是导体球放入前，通过坐标原点的等势面的电势，用分离变量法解为2）的定解问题为类似解为z8. 介电常数为的无限均匀介质中，挖一个半径为的空球，球心处置一电矩为的自由偶极子，试求空间电势分布。解 如图建立球坐标系，的方向为极轴方向,的定解问题

4、为r=a时，；注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性，可写为：第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故Bn=0解的电势分布9半径为R的均匀介质球中心置一自由偶极子，球外充满另一种介质，求空间各点的电势和极化电荷分布（介质球介电常数为，球外为）。解：求解与上题类似，只需得，极化电荷分布，在介质球内因此在球心处有一极化电偶极矩，在的界面上，由，可得，10. 两个接地的无限大导电平面，其夹角为，点电荷位于这个两面角的平面上，并与棱边（两面角之交线）相距为。试用电像法求真空中的电势。解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷Q位于双面角的平分线上，可按下面的方法求得像电荷的位置和大

5、小：A+QNNCDFEB-Q+Q-Q+Q-QA（1）首先考虑半面，为了满足平面的电势为零，应在Q关于对称的位置B处有一像电荷-Q,（2）考虑半面，同样为了满足电势为零的要求，对于A、B处两个点电荷+Q和-Q，应在A、B关于对称的位置C、D处有两个-Q、+Q，（3）再考虑半平面，对于C、D处的-Q和+Q，应在E、F处有两个像电荷+Q和-Q才能使导体的电势为零。可以证明E、F处的两个点电荷+Q和-Q关于平面对称，因而可满足平面的电势为零，这样找出了5个像电荷，加上原来给定的点电荷，能够使角域内的场方程和边界条件得到满足，所以角域内任一点P处的电势可表为，其中分别为给定电荷Q及其像电荷到P点的距离。

6、在其余空间的电势为。11. 接地空心导体球，内外半径为和，球内离球心处（）置一点电荷，试用电像法求空间电势分布。导体上感应电荷分布在内表面还是外表面？其量为多少？若导体球壳不接地而是带电量，则电势分布又如何？若导体球壳具有确定的电势，电势分布如何？解：根据题意设球内区域电势为，球外区域电势为，RR1R2abrBQrQ设像电荷位置如图所示，其中由边界条件要使上式对任意成立，必有（*）解得，（舍去）代入（*），得由上可知，若使有确定，且两种情况有相同解，由边界条件所以，外表面感应电荷面密度，内表面感应电荷面密度，总感应电荷，（可见全部在内表面上）12. 四个点电荷，两个，两个，分别处于边长为的正方形的四个顶点，相邻的符号相反，求此电荷体系远处的电势。-q-q+q+q解：该系统电荷分布为分立分布，在如图坐标系中位置为q(0,0,0)，-q(a,0,0)，-q(0,a,0)，q(0,0,a)的精确到四极矩情况下，可求得远处的电势分布为。13. 求面电荷密度按分布，半径为的球的电矩。问该系统是否存在电四极矩？解：，所以，14. 设真空中电场的势为 式中是离坐标原点的距离，和是常数，求相应的电荷分布。解：，时，时， 15. 在一点电荷的电场中，距离它为的地方有一偶极子，其电矩，求在下列两种情况下，此电矩所