理工本科下册练习册答案

1、第六章 空间解析几何练习6.1空间直角坐标系1、设，则A,B两点间的距离为。2、与点、点等距离的点的轨迹方程为。3、球心为，半径为4的球面方程为。4、已知球面方程，则其球心坐标和半径分别为和 5 。5、以点为顶点的三角形 是 直角三角形。练习6.2 向量的概念与向量的代数表示1、设，求=，其在轴上的投影和分量分别为3 和。、设，则与平行的单位向量的坐标为。、设，则连线中点的坐标为。、设，求与三个坐标轴的方向余弦。解：则与三个坐标轴的方向余弦练习6.3 向量的数量积与向量积、 设，则= 4 ，=。、 判定下列各组向量之间的关系，它们平行或垂直？（）与的关系是 垂直 。（）与的关系是 平行 。（）

2、与的关系是 既不平行也不垂直 。练习6.4平面方程1、过点且与平面平行的平面方程为。、已知平面在轴、轴、轴上的截距分别为，则平面的方程为。、过点且过轴的平面方程为。、过点且平行于坐标面的平面方程为。、判定下列各组平面之间的关系（1），则它们的关系是 平行 。（2），则它们的关系是 重合 。（3），则它们的关系是 垂直 。、已知点，与平面求过点且与平面都垂直的平面的方程。解：平面的发现向量分别为，取平面的法线向量为则得过点且与平面都垂直的平面的方程为。练习6.5 空间直线方程、过坐标原点，且与直线平行的直线方程为。、已知点，直线，则过点且与平行的直线方程为。、已知点，平面，则过点且与平面垂直的直

3、线方程为。、已知点，直线，则过点且与直线垂直的平面方程为。、已知直线，则与的关系是 垂直 。、已知直线，平面，则直线与平面的关系是垂直 。练习6.6 两类特殊曲面方程及特殊曲线方程1、将曲线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面方程为。2、曲面可以认作是平面曲线绕轴旋转所生成的旋转曲面。3、指出下面方程所表示的曲面名称（1）是 母线平行于oz 轴椭圆柱面 。 （2）是 母线平行于ox 轴的双曲柱面 。 （3）是 母线平行于oy 轴的抛物柱面 。 5、设曲线的方程为，该曲线在坐标面上的投影曲线方程为。6、求下列曲线在上的投影曲线方程（1）在上的投影曲线方程为。（2）在上的投影曲线方程为。（3）在上的投影

4、曲线方程为。练习6.7 常见的二次曲面1、说明下列方程表示什么曲面（1）是椭球面。（2）是 单叶双曲面 。（3）是 双叶双曲面 。（4）是 单叶双曲面 。第七章 多元函数微分学练习7.1多元函数、极限与连续性1、用集合记号表示下列平面区域（1）由抛物线与直线所围成的闭区域表示为。（2）以点为顶点的梯形闭区域表示为。2、，求，=。3、函数的定义域为。4、函数的定义域为。5、函数的定义域为。6、极限= 1 。 7、极限=。8、极限= 2 。 9、极限= 0 。练习7.2 偏导数1、 求下列函数的一阶偏导数（1） （2）解： 解：（3） （4）解： 解：2、 求下列函数的一阶偏导数（1） （2）解：

5、 解：3、计算（1），求， （2），求，解： 解：（3），求 （4），求解：解：4、设，则= 2 。5、设，则=。6、设，则，。练习7.3全微分1、 求下列各函数的全微分（1）解：， ，（2）解：， ，（3） 解：， ，（4）解：， ，2、 求下列各函数的全微分（1）解：，（2）解：，3、 设，则=。4、 设，则=。练习7.4多元复合函数的微分法1、设，求。解：2、设，求。解：3、求下列复合函数的偏导数，其中具有一阶连续偏导数。（1） （2）解：设 解：设则 则（3） （4）解：设 解：设则 则练习7.5 隐函数的微分法1、设函数由方程确定，求。解：设因为 ，所以 2、设函数由方程确定，求。解

6、：设因为 ，所以 3、设函数由方程确定，求。解：设因为 ，所以 练习7.8 多元函数的极值与最值1、求下列函数的极值。（1）解：令解得驻点为。在驻点处，所以在驻点处函数取得了极大值（2）解：令解得驻点为。在驻点处，所以在驻点处函数取得了极小值2、应用题求内接于半径为的球且有最大体积的长方体。解：设长方体的长、宽、高分别为，则有，长方体的体积为构造辅助函数令解得。由于体积最大的内接长方体一定存在，而方程组的解又是唯一的，故就是所求的最大值点，所求长方体的最大体积为。本章附加题一、选择题 1、若函数在点处（ ），则在该点处可微；D A、连续 B、偏导数存在 C、连续且偏导数存在 D、某邻域内存在连

7、续的偏导数 2、设，则（ ）C A、1 B、 C、 D、3、对函数，点（ ）；BA、不是驻点 B、是驻点却非极值点C、是极大值点 D、是极小值点4、二元函数的极大值点是（ ）；CA、 B、C、 D、 5、函数 在原点间断，是因为该函数（ ）；BA、在原点无定义 B、在原点二重极限不存在C、在原点有二重极限，但无定义 D、在原点二重极限存在，但不等于函数值6、设 ，则（ ）。BA、6 B、3 C、-2 D、2二、应用题1、要造一个容积等于定数的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。解：设水池的长、宽、高分别为，则有，水池的表面积为构造辅助函数令解得，。由于容积一定，表面积最

8、小的水池一定存在，而方程组的解又是唯一的，故就是所求的最小值点。 2、在平面上求一点，它与坐标原点的距离最短。解：设平面上的点为，则有，点到坐标原点的距离为即要求满足的条件下的最小值构造辅助函数令解得，。由实际知，平面上到坐标原点距离最短的点一定存在，而方程组的解又是唯一的，故就是所求的最小值点，此时点到原点的距离为。3、从斜边长为L的一切直角三角中，求有最大周长的直角三角形。解：设三角形的两直角边长为，斜边长为，则有，三角形的周长为即要求满足的条件下的最大值构造辅助函数令解得。由实际知，斜边为定长的直角三角形，最大周长存在，而方程组的解又是唯一的，故就是所求的最大值点，此时最大周长为。练习8

9、.1二重积分1、填空：（1）在直角坐标系下化二重积分为二次定积分：若由，及围成，则。（2）= 1 ，中为轴，及围成区域。（3）=，其中由围成。（4）=，其中由围成。（5）= 12 其中为方型区域：，。（6）=，其中由围成。（7）=，其中由围成。（8）=，（为常数）其中由围成。（9）=，（为常数）其中由围成。2、改变积分顺序：（1）=。（2）=。3、计算下列二重积分：（1），其中积分区域由，与轴围成的平面图形。 （2）,其中积分区域由，,及围成的平面图形。（3），其中积分区域由围成的平面图形。 （4），其中积分区域由抛物线，围成的平面图形。（5），是直线，围成的矩形区域。第九章 无穷级数练习9.

10、1数项级数判定下列级数的敛散性1、解： ，级数收敛。 2、解：，级数发散3、解：等比技术 ，级数收敛。 4、解：，级数发散。5、解：等比技术 ，级数收敛。 6、解：，级数收敛。练习9.2 正项级数敛散性的判别法判定下列级数的敛散性1、解：因为，而等比级数收敛，所以级数收敛。2、解：，而级数发散，所以级数发散。 3、解：，而级数收敛，原级数收敛。4、解：，而级数收敛，原级数收敛。5、解： ，而级数发散，原级数发散。6、解：，而级数收敛，原级数收敛。7、解：比值判别法，级数收敛。 8、解：比值判别法，级数收敛。9、解：比值判别法 ，级数发散。 10、解：比值判别法，级数收敛。练习9.3 交错级数判

11、定下列级数的敛散性，若级数收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛1、是收敛的。 2、是收敛的。3、是收敛的。 4、是收敛的。5、是收敛的。 6、是收敛的。1、条件2、发散3、绝对4、绝对5、发散6、绝对练习9.4 幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域1、解：，收敛区间， 当 ，级数发散，原级数收敛域为 。 2、解：，收敛区间， 当 ，级数收敛，原级数收敛域为 。 3、解：，收敛区间， 当 ，级数收敛，原级数收敛域为 。 4、解：，收敛区间， 当 ，级数收敛，当 ，级数发散原级数收敛域为 。练习9.5 函数展开为幂级数1、 把下列函数展开为的幂级数（1）解：，（2）解：，（3）解：（4）解：，2、 把下列函数在指定点处展开为的泰勒级数（1），在处解：（2），在处解：（3），在处解：3、 求下列幂级数的和函数（1）解：令（2）解：令第十章 常微分方程初步练习10.1微分方程概述一、填空题 1、微分方程的阶数是 2 。2、微分方程的通解所含任意常数的个数为 2 。二、选择题1、过原点的曲线，其上面任一点