线性代数试题集

1、（1）一、单项选择题（每小题2分，共16分）1设A是方阵且非奇异，若AB=AC，则必有( )（a） B=C; b）B=C=O;（c）A=B=C;（d）BC.2. 设A为3阶方阵，|A| = 3，则其行列式 | 3A|是（ ）（a）3 （b）32 （c）33 （d）34 3设齐次线性方程组有非零解，则k = （ ）（a）2 （b）0 （c）-1 （d）-24下列矩阵为初等矩阵的是（ ）（a） （b） （c）（d）5设向量组线性相关，则一定有（ ）（a）线性相关 （b）线性相关（c）线性无关 （d）线性无关6设n阶方阵A为非奇异阵，则必有（ ）（a） 秩（A）= n；（b）秩（A）= 0；（c）|

2、A|=0；（d）方程组AX=0有非零解。7设向量（2，-3，5）与向量（- 4，6，k）线性相关，则k=（ ） （a）5；（b）-5；（c）10； （d）-10.8设AX=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）（a）是AX=0的一个解；（b）是AX=b的一个解；（c）是AX=0的一个解；（d）是AX=b的一个解。二、填空题（每格2分，共26分）1.求行列式的值(1) =_；（2）=_ ； (3) =_;(4)行列式中元素0的代数余子式的值为_2. 设，则3A+2B=_; AB=_; _.3.齐次线性方程组的全部解 =_4. ， 若；则=_；_5.若A= 则r(A

3、)=_6. 已知, 向量与的内积=_, 的长度=_.三、证明题（任选两题,每小题5分,共10分）1. 设线性无关，试证：线性无关。2. 如果n阶方阵A满足试证:A的特征值只能是0或.3. 如果对称矩阵A为非奇异,试证:也是对称矩阵四、计算题（共48分）1. （10分）已知向量组=（1,1,3）,=(-1,1,-1) , =(5,-2,8), =(-1,3,1), (1)求向量组的一组极大无关组,(2)将其余向量用此极大无关组线性表示,(3)求这组向量组的秩. 2（10分）若AX = B，其中，求（1）A-1；（2）X 3（12分）解线性方程组,要求用其齐次方程组的基础解系表示全部解4. （10

4、分）设方阵, (1)求A的特征值和特征向量, (2)求可逆矩阵P,使为对角阵5.（6分）设实对称矩阵的三个特征值,相应的特征向量为, 试求正交矩阵Q,使得为对角阵，并写出此对角阵.（2）一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分) 1 A是n阶方阵，则有。 （ ）2 A，B是同阶方阵，且，则。 （ ）3如果与等价，则的行向量组与的行向量组等价。 ( )4若均为阶方阵，则当时，一定不相似。 ( )5n维向量组线性相关，则也线性相关。 （ ）二、单项选择题（每小题3分，共15分）1下列矩阵中，（      ）不是初等矩阵。（A） (B)

5、(C) (D) 2设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。（A） （B） （C） （D）3设A为n阶方阵，且。则（） (A) (B) (C) (D) 4设为矩阵，则有（ ）。（A）若，则有无穷多解；（B）若，则有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量；（C）若有阶子式不为零，则有唯一解；（D）若有阶子式不为零，则仅有零解。5若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（ ） （A）A与B相似 （B），但|A-B|=0 （C）A=B （D）A与B不一定相似，但|A|=|B| 三、填空题（每小题4分，共20分）1 。2为3阶矩阵，且满足3,则=_， 。3向量组，是线

6、性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。4 已知是四元方程组的三个解，其中的秩=3，则方程组的通解为 。5设，且秩(A)=2，则a= 。四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。1已知A+B=AB，且，求矩阵B。2.设，而，求。3.已知方程组有无穷多解，求a以及方程组的通解。4.求一个正交变换将二次型化成标准型5 A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。五证明题（每题5分，共10分）。1若是对称矩阵，是反对称矩阵，是否为对称矩阵？证明你的结论。2设为矩阵，且的秩

7、为n，判断是否为正定阵？证明你的结论。（3）一. 填空(每题2分, 共20分)1 1设五阶行列式|aij|=3(i,j=1,2,3,4,5)，先交换1、5两行；再转置；最后用2乘所有元素, 其结果为_。2 2设A为四阶矩阵，若，则|AA*|= , |A*|= , (A*)-1= , |2A-1|= 3 3设, f(x)=2x2-4x+5, 则f(D)= 4 4设C=, A = (3, 2, 1), B = (1, -2, 1),则ATB-2C= 5非齐次线性方程组AX=b有解的充要条件是 。6设A为m×n矩阵，则AX=0有非零解的充要条件是 。7设为矩阵，且2，则_。8= ， = 。

8、9设，则 。10A,B为同阶方阵，则（A+B）（A-B）=A2-B2成立的充要条件是 。二选择题(每题2分, 共10分)1. 若 n阶矩阵A满足A2-A-3I=0,，则A （ ）(a) (a)    不可逆(b) (b)    可逆，且A-1=A-I (c) (c)    可逆，且A-1=(A-I)(d) (d)    以上结论都不对2设矩阵A=(aij)，AX=0仅有零解的充要条件是（ ）(a) (a)A的行向量组线性无关(b) (b)A的行向量组线性相关(c) (c)A的

9、列向量组线性无关(d) (d)A的列向量组线性相关3 设a1,a2,as为n维向量组, 则( )正确.(a).若 k1 a1+ k2 a2+ k s as=0, 则a1,a2,as线性相关;(b).对任一组不全为零的数k1, k2, ks总有k1 a1+ k2 a2+ k s as ¹0,则a1,a2,as线性无关;(c).若a1,a2,as线性相关,则对任一组不全为零的数k1, k2, ks总有k1 a1+ k2 a2+ ks as =0;(d).若k1 a1+ k2 a2+ k s as ¹0, 则a1,a2,as线性相关.4若是线性方程组的两个解向量，则（ ）必为其导

10、出组的解。 (a)； (b)； (c)； 以上答案都不对。5. 向量组 的秩为r,则下述说法不正确的是（ ）(a) 中至少有一个r个向量的部分组线性无关(b) 中任何r个向量的线性无关部分组与可互相线性表示© 中r个向量的部分组皆线性无关(d) 中r+1个向量的部分组皆线性相关三计算题(每题10分, 共40分)1、计算n阶行列式Dn=2解矩阵方程AX=A+X,其中A=3. 解下列方程组: 4. 求向量组a1=(1,-1,2,4), a2=(0,3,1,2), a3=(3,0,7,14), a4(2,1,5,6), a5=(1,-1,2,0)的秩和一个极大无关组,并把每个向量都用极大无

11、关组线性表示出来.四证明题(每题10分, 共30分)1已知向量组线性无关，而向量组线性相关，试证明：（1）向量一定可由向量组线性表示；（2）表示法是唯一的。 2A,B是同阶对称矩阵，证明：AB为对称矩阵的充要条件是A与B可交换。3设A为n阶实方阵, 且A0, 求证:若Am = 0(m为大于1的正整数),则A不能与实对角形方阵相似.（4）一、选择题1. 设为阶矩阵，则下列矩阵中不是对称矩阵的是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 2. 已知向量组线性相关，则（ ）。 （A）可由线性表示 （B）不可由线性表示 （C）若，则可由线性表示 （D）若线性无关，则可由线性表示3. 设，则当（）时，。（

12、A）1 （B） （C） 2（D） 4. 齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）。 （A）的列向量组线性无关 （B）的列向量组线性相关 （C）的行向量组线性无关 （D）的行向量组线性相关5. 设阶矩阵的个特征值全为零，则（ ）。 （A） （B）只有一个线性无关的特征向量 （C）不能与对角矩阵相似 （D）当与对角矩阵相似时，二、填空题1. 设四阶行列式的第一行元素分别为第一行元素的余子式分别为，则 2. 设，则 3. 设，则 4. 设是由向量组，所生成的向量空间，则的维数为 5. 设三阶矩阵的特征值分别为1，2，3，则的特征值为 ， 6. 实二次型的矩阵为 三，解答题 1. 设三阶矩阵、满足，且

13、，求。2. 当为何值时，线性方程组（1）有惟一解（2）无解；（3）有无穷多解，并求通解。3. 设为三阶矩阵，三维列向量组线性无关，且，（1）求，使得；（2）求。4. 设三阶矩阵的特征值分别为，对应的特征向量分别为，求。四、证明题1. 设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，证明的秩。2. 设维向量组线性无关， 证明：线性无关的充要条件是为奇数（5）一、选择题1. 设、为阶矩阵，则下面必成立的是（ ）。 AB C （D）2. 设为阶矩阵，且，则（ ）。 ABCD3. 设向量组的秩为3，则（A）任意三个向量线性无关（B）中无零向量（C）任意四个向量线性相关（D）任意两个向量线性无关4. 线性方程组，有解的充

14、要条件是（A） （B） （C）（D）5. 阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件是（ ）。（A）的个特征值互不相同 （B）可逆（C）无零特征值 （D）有个线性无关的特征向量二，填空题1. 各列元素之和为0的阶行列式的值等于 2. 设三阶矩阵，则 3. 设矩阵，则 （为正整数）4. 设，则 5. 设向量组线性无关，则向量组，线性 6. 设三阶可逆矩阵的特征值分别为2、3、5，则的伴随矩阵的特征值为 7. 设实二次型为正定二次型，则参数的取值范围是 三，解答题1. 设，求矩阵。2. 当取何值时，线性方程组有（1）惟一解；（2）无解；（3）无穷多解，并求通解。3. 设四维向量组，求该向量组的秩及一个极大线性

15、无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表示。4. 求一个正交变换，将实二次型化为标准形，并判断该二次型是否正定。四，证明题1. 设为阶矩阵，如果，则。2. 设阶矩阵，（为正整数），则不能与对角矩阵相似。（6）一、选择题1. 如果行列式，则（A）可能为（B）不可能为1 （C）必为1（D）不可能为22. 设、为阶矩阵，则（ ）成立。 （A） （B） （C） （D）3. 设均为维向量，则下面结论正确的是（ ）。 （A）如果，则线性相关 （B）若线性相关，则对任意一组不全为零的数，有 （C）若对任意一组不全为零的数，有，则 线性无关 （D）如果，则 线性无关4. 齐次线性方程组有非零解的充要条件是

16、（ ）。 （A） （B） （C） （D） 5. 设可逆矩阵有一个特征值为2，则有一个特征值为（ ）。 （A） （B） （C） （D） 二、填空题1. 行列式 2. 设，则3. 设，则 4. 已知向量组，线性相关，则 5. 向量组，的一个最大无关组为 6. 如果线性方程组有解，则常数满足条件 7. 二次型的秩为 三、计算题1. 设，且，求。2. 设，（1）是否线性相关；（2）可否由线性表示，如能则求其表示式。3. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，为它的三个解向量，且，求该方程组的通解。4. 设，求一个正交矩阵使得，其中为对角矩阵。四、证明题1. 设阶矩阵满足，证明：。2. 设阶实对称矩

17、阵满足，证明。（7）一、 1. 填空 （每空4分，共20分）1 . 2.若，则 . 3. 的伴随矩阵，则.4.从的基到基的过渡矩阵为 5.若，是4阶方阵的伴随矩阵，则 .二、 选择题 （每题5分，共40分）1.已知是阶方阵，则下列结论中正确的是( )(A)且 (B) (C)或 (D)2.设，若的伴随矩阵的秩等于1，则必有( ).(A)或 (B) 或 (C) 或 (D) 或3.设三阶方阵满足，其中为三阶单位矩阵，则( ).(A) (B) (C) (D) 4. 是阶方阵,且则未必有( ).(A) 可逆， (B) 可逆 (C) 可逆 (D) 可逆5.设是矩阵，是矩阵，则线性方程组 （ ）.（A）当时

18、，仅有零解 （B）当 时，必有非零解（C）当 时，仅有零解 （D）当时，必有非零解6.若向量组线性无关；线性相关，则（ ）（A）必可由线性表示 （B）必不可由线性表示7. 是阶可逆矩阵的一个特征值，则的伴随矩阵的特征值之一是（ ）（A） （B） （C） （D）（C）必可由线性表示 （D）必不可由线性表示8. 二次型，若其对称矩阵的秩为2，则值应为（ ）（A） 0 （B） （C） （D） 1.三、若线性无关，则 线性无关. (10分)四、设 求正交阵，使 为对角阵.（10分）五、（10分）设二次型， 其中的特征值之和为1，特征值之积为-12. （1）求的值；（2）利用正交变法将二次型化为标准型，

19、并写出正交矩阵.六、（10分）设线性方程组与有公共解，求的值及所有公共解.（8）一、 单项选择题1.设行列式=m，=n，则行列式等于（ ） A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.设矩阵A=，则A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0B. BC时A=0 C. A0时B=CD. |A|0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D.

20、 46.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全为0的数1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全为0的数1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全为0的数1，2，s和不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，则下列结论

21、错误的是（ ） A.1+2是Ax=0的一个解B.1+2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ） A.如存在数和向量使A=，则是A的属于特征值的特征向量 B.如存在数和非零向量，使(E-A)=0，则是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如1，2，3是A的3个互不相同的特征值，1，2，3依次是A的属于1，2，3的特征向量，则1，2，3有可能线性相关11.设0是矩阵

22、A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k3B. k<3 C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1B.|A|必为1 C.A-1=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.B. C.D.第二部分 非选择题（共72分）二、填空题15. .16.设A=，B=.则A+2B= .17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22