概率论与数理统计公式全

1、第1章随机事件及其概率(1)排列组合公式Pmnm从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(mn)!Cmm从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n!(mn)!(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mxn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mxn种方法来完成。(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验和随机事件如果一个试验

2、在相同条件卜可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,表示事件，匕们ZE的子集。为必然事件，？为不可能事件。不可能事件(？)的概率为

3、零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B发生)：AB如果同时有AB,BA,则称事件A与事件B等价，或称A等于B:A=BAB中至少有一个发生的事件：AB,或者A+Bo属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。AB同时发生：AB,或者ABAB=?,则表示A与B不可能同时发生，称事彳A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立

4、事件，记为Ao它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)德摩根率：AiAii1i1ABAB,ABAB概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件：1°0<P(A)&1,2°P(Q)=130对十而两互不相容的事件A,A2,有常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。(8)古典概型1°1,2n，。12P(1)P(2)P(n)一。n设任一事件A,它是由1,2m

5、组成的，则有P(A)=(1)(2)(m)=P(1)P(2)P(m)(9)几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对事件A,L(A)P(A)''。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。L()(10)加法公式P(A+B尸P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B尸P(A)-P(B)当A=Q时，P(B)=1-P(B)(12)条件概率定义设AB是两个事件，且P(A)&g

6、t;0，则称P(AB)为事件A发生条件下，事件BP(A)发生的条件概率，记为P(B/A)P(AB)0P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Q/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)般地，对事件Ai,A,A,若P(AAA-1)>0,则有P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|AiA2.An1)/o(14)独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B)，则称事件a、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)0,则有若事件A、B相互独立，则可得到入与

7、B、A与B、区与否也都相互独立。必然事件和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB尸P(A)P(B);P(BC尸P(B)P(C);P(CA尸P(C)P(A)并且同时满足P(ABC尸P(A)P(B)P(C)那么A、BC相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件B1,B2,，Bn满足1。B1,B2,Bn相容，P(Bi)0(i1,2,n),nABi2。i1A,则有P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。(16)贝叶斯公式设事件B1,B2,，Bn&A满足10B1，

8、B2,，Bn两两互/、相容,P(Bi)>0,i1,2,，n,nABi2i1P(A)0则P(Bi/A)¥岭/一P(Bj)P(A/Bj)j1此公式即为贝叶斯公式。P(Bj),(i1,2,，n),通常叫先验概率。P(Bi/A),(i1,2,，n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。(17)伯努利概型我们作了n次试验，且满足每次试验只后两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利J概型，或称为n重伯努利试验。用p

9、表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1pq，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率，k.kknkPn(k)CnPqk0,1,2,no第二章随机变量及其分布(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为(k=1,2,)且取各个值的概率，P(X=Xk)=p%k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列X|X1,X2,xk,P(Xxk)p1,p2,pk,o显然分布律应满足下列条件：pk1(1)pk0,k1，2，,(2)k1o(2)连续型随机变量的分布密度设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x),对任意实数XF(x)f

10、(x)dx则不X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简密度函数具有卜面4个性质：1 f(x)0。f(x)dx12 o(3)离散与连续型随机变量的关系积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)pk(4)分布图数设X为随机变量，x是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)F(b)F(a)可以彳4到X落入区间(a,b的概率。分布函数具有如下性质：1。0F(x)1,x；2°F(x)是单调不减的函数，即x1x2时，有F(x1)F(x2)；3F()limF(x)0,F()limF(x)1；xx4°F(x0)

11、F(x),即F(x)是右连续的；5。P(Xx)F(x)F(x0)o对于离散型随机变量，F(x)pk；xkxx对于连续型随机变量，F(x)f(x)dxo(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为po事件A发生的ZPXk)Pn(k)C：pkqnk,其中q1p,0p1,k贝称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为XB(n,当n1时，P(Xk)pkq1k,k0.1,这就是(0-1)分布泊松分布设随机变量X的分布律为kP(Xk)ek!0,k0,1,2贝称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X()或者于松分布为二项分布的极限分布(np=入，n-8

12、)。走i机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)几何分 布 匚 何 分 布 均 匀 分 布 一. k 1_P1(X k) q p, k 1,2,3,其中 p>0, q=1-p随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 G(p) o设随机变量 X的值只落在a , b内，其密度函数f(x)在a , b1(x) b a0,a< x< b其他,X在a , b上服从均匀分布，记为XU(a, b)贝称随机变量 分布函数为ax1,x2)x、-F(x)f(x)dxx1当a<xi<X2<b时，X落在区间x2x1P(XiXX2)baxxf(x)?e，X0,的指

13、数分布?君中0，则称随崂量X服从参数为设随机变量X的密度函数为X的分布函数为正 态 分 布1()r-f(x)-e2,x，,2其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为f(x)具有如下性质:1。f(x)的图形是关于x对称的;2°当若XF(x)xN(12叱f()的分布函数为dt为最大值;参数(x)仙寸的正态分布称为标准正态分布，记为2分布函数为1x-(x)-,e2dt。2已编制成表可供查用(x)是不可求积函数，其函数值,(-x)=1-(x)且(0)=N(0,1)如果XN(,2),则XP(x1Xx2)x1(6)分位数下分位表：P(X)=上分位表：P(X)=(7)函数分布离散型已知X的分布列为

14、Xx1,x2,xn,?,P(Xxi)p1,p2,pn,Yg(X)的分布列(yg(xi)互不相等)如下：Yg(x1),g(x*,g(xn),P(Yyi)p1,p2,pn,若有某些g(xi)相等，厕应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。连 续 型先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数FY(y) =P(g(X) <y),第三章二维随机变量及其分布(1)联 合分布离散型连续型(2)二维随机变量的本质如果二维随机向量(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序设=(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj)(i,j1,2,),且J(1) pij >0 (i,j=1,2,)；Pij1.对于二维

15、随机向量(X,Y),如果存在非负函数f(x,y)(D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=(X,Y)的分布密度或分布密度f(x,y)具有下面两个性质：(1) f(x,y)>0;(2) f(x,y)dxdy1.(3)联合分布函数设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或不为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件(1,2)lx(1)x,y(2)y白(1) 0F(x,y)1;(2) F(x,y)分别对x和y是非减的，即当x2>x1时，有F

16、(x2,y)>F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)>F(x,y1);(3) F(x,y)分别对x和y是右连续的，即(4) F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.(5)对于x1x2,y1y2,F(x2,y)F(x2,y1)F(x1,y)F(x1,y1)0.(4)离散型与连续型的关系(5)边缘分布离散型X的边缘分布为P?P(Xx。pj(i,j1,2,);Y的边缘分布为P?jP(Yyj)Pj(i,j1,2,)。连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为(6)条件分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为连续型在已知Y

17、=y的条件下，X的条件分布密度为f(x|y)(,y)；fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为独立性一般型F(X,Y)=Fx(x)FY(y)离散型有零不独立连续型f(x,y)=fx(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布=0随机变量的函数若Xl,X2，Xm,Xm+,入相互独立，h,g为连续函数，则:h(Xi,X2,X)和g(Xm+1,Xn)相互独立。特例：若X与丫独立，则：h(X)和g(Y)独立。例如：若X与丫独立，则：3X+1和5Y-2独立。(8)二设随机向量(X,Y)的分布密度函数为维均匀其中Sd为区域D的面积，则称(X,Y)服从D上的均匀分

18、布，记为(X,丫)U(D)分布例如图3.1、图3.2和图3.3。(9)二维正态分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为其中1，2,10,20,|1是5个参数，则称X,丫)服从二维正态分布,记为(X,Y)-N(1,2,2,；,).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,即XN(1，12),丫N(2,；).但是若XN(1,2),YN(2,2),(X,Y)未必是二维正态分布(10)Z=X+Y函数分布根据定义计算：FZ(z)P(Zz)P(XYz)对于连2型，fz(z)=f(x,zx)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(12,22)n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服

19、从正态分布。_2_22C2C2Jii,JiiZ=max,min(X1,X2，Xn)若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1(x),Fx2(x)2分布设n个随机变量Xi,X2,Xn相互独立，且服从标准正态分布，的分布密度为.22一一我们称随机变量Wi艮从自由度为n的分布，记为w(n),金所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中2,一一,一分布满足可加性：设则t分布设X,丫是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。F分布、一、“2/、“2/一X/设X伯1),丫(门2),且X与丫独立，可以证明FY/r我们称随机

20、变量F服从第一个自由度为ni,第二个自由度为n2的F第四章随机变量的数字特征(1)一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为P(XXk)=pk,k=1,2,n,(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量，其概率密(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2,标准差(X)%；D(X),矩对于正整数k,称随机变量X的k次募的数学期望为X的k阶原点矩，记为Vk,即vk=E(Xk)=xkpi,k=1,2,对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次募的数学期望为X的k阶中心矩，记为k,即k=(XiE(X)pi,k=1,2,对于正整

21、数k,称随机变量X的Vk=E(Xk尸xkf(x)dx,k=1,2,对于正整数k,称随机变量X与k=(xE(X)f(x)dx,k=1,2,切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X)“方差D(X)=b,则对于任切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。(2)期望的性质(1) E(C尸C(2) E(CX尸CE(X)nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y),E(CiXi)CiE(Xi)i1i1(4) E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。(3)方差的性质(1) D(C)=0;E(C)=C(2) D(aX尸a2D(X)

22、；E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E2(X)(5) D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X士Y)=D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。(4)常见分布的期望和方差期望0-1分布B(1,p)p二项分布B(n,p)np泊松分布P()几何分布G(p)超几何分布H(n,M,N)均匀分布U(a,b)指数分布e()正态分布N(,2)nt分布0(5)J好望二维区数的期望随机EG(

23、X,Y)=EG(X,Y)=变量：斤差的数1办方差字特对于随力几变量X与丫，称它们的二阶混合中心矩11为X与丫的协方滂征与记号XY相对应，X与丫的方差D(X)与D(Y)也可分别记为目关系数对于随才几变量X与丫，如果D(X)>0,D(Y)>0,则称为X与丫的相关系数，记作xy(有时可简记为)。I|<1,当I1=1时，称X与丫完全相关：P(XaYb)1完全相关而当0时，称X与丫不相关。以下五，卜命题是等价的：x10.cov(X,丫)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).办方差矩阵-昆合矩.,I.对于随彳几变量X与丫，

24、如果有E(XY)存在，则称之为X与丫的kT(6)i)cov(X,Y)=cov(Y,X);协方ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);差的iii)cov(Xi+X2,Y)=cov(Xi,Y)+cov(X2,Y)；性质iv)cov(X,丫尸E(XY)-E(X)E(Y).独立0；反之不真和不相关(ii)若(X,Y)-N(1，2，12,；，)，则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。(i)若随机变量X与Y相互独立，则XY第五章大数定律和中心极限定理(1)大数定律切比雪夫大数士律设随机变量Xi,X2,相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D(X)<C(i=1,2,)，则对于任意

25、的正数有特殊情形：若Xi,X,具有相同的数学期望E(X)=心，则上式成为伯努利大数士律设心是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数£,有伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数士律设Xi,X2,，Xn,是相互独立同分布的随机变量序列，且E(Xn)二心，则对于任意的正数£有(2)中心极限定理列维一林德伯格士理设随机变量Xi,X2,相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：E(XQ,D(XQ20(k1,2,),则随机变量的分布函数

26、R(x)对任意的实数x,有此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗一拉普拉斯士理设随机变里Xn为具有参数n,p（0<p<1）的一项分布，则对于任意实数x,有（3）二项定理若当N时,p（n,k/、父），则N超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理9n时，np0,则其中k=0,1,2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布(1)总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或数理母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。统计个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。的基样本我们把从总体中抽取的部分样品x1,x2

27、,xn称为样本。样本中所含的样品数本概念称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指次抽取的结果时，xi,x2,xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，x1,x2,xn表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本设x1，x2,xn为总体的一个样本，称函数和统(x1，x2,xn)为样本函数，其中廿-个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称(x1，x2,xn)k个统常见统计量及其性质、一1n样本均值xxi.niinn一C21/2样本方差S/(Xix).n1ii样本标准差S-1-(

28、xix)2.nn1i1样本k阶原点矩样本k阶中心矩2E(X),D(X),n_22_2n12E(S2)2,E(S*2)2,n1n-其中S*2(XiX)2,为二阶中心矩。ni1(2)正态总体下的四大分布正态分布设x1，x2,xn为来自正态总体N(,2)的一个样本，则样本函数t分布2设x1，x2,xn为来自正态总体N(,)的一个样本，则样本函数其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。2设x1,x2,xn为来自正态总体N(,)的一个样本，则样本函数其中2(n1)表示自由度为n-1的2分布。F分布2设x1，x2,xn为来自正态总体N(,1)的一个样本，而y1，y2,yn为来自正态总体N(,2)的一个

29、样本，则样本函数其中F(n11,n21)表示第自由度为11,第二自由度为n21的F分布。(3)正态总体下分布的性质_2X与S独立。第七章参数估计(1)点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数1,2,m，则其分布函数可以表成一，k、，.一F(x;1,2,m).它的k阶原点矩vkE(X)(k1,2,m)中也包含了未知参数1,2,m，即VkVk(1,2,m)。又设X1,X2,Xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有由上面的m个方程中，解出的m个未知参数(1,2,m)即为参数(1,2,m)的矩估计量。若为的矩估计，

30、g(x)为连续函数，则g(?)为g()的矩估计。极大当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(x1,2,m),其似然中1,2,m为未知参数。又设X1,X2,Xn为总体的一个样本，称估为样本的似然函数，简记为L.计当总体X为离型随机变量时，设其分布律为PXXP(X；1,2,m),则称为样本的似然函数。若似然函数L(X1,X2,Xn；1,2,m)在1,2,m处取到最大值，则称1,2,m分别为1,2,m的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。若为的极大似然估计，g(X)为单调函数，则g(3为g()的极大似然估计。(2)无估计偏设(X1,X2,Xn)为未知参数的估计量。若E()=，则称为

31、量的性的无偏估计量。评选E(X)=E(X),E(S2)=D(X)标准有效设11(X1,X,2,Xn及D22(X1,X,2,Xn)是未知参数的两个性无偏估计量。若D(1)D(2),则称1比2有效。致性设n是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有则称n为的一致估计量(或相合估计量)。若为的无偏估计，且D(?)0(n，则为的一致估计。只要总体的E一致估计量。(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的(3)区间置信设总体X含有-Z个待估的未知参数。如果我们从样本X1,X,2,Xn出发,找估计区间出两个统计量11(x1，x，2，1门)与22(x1,X,2,Xn)(12),和置使得区间1,2以1(01)的概率包含这个待估参数，即信度那么称区间1,2为的置信区间，1为该区间的置信度(或置信水平)O单正设X1,X,2,Xn为总体一一一一一2一.XN(,)的一个样