《船舶结构力学》课件：第四章位移法

1、 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。分析超静定结构时，有两种基本方法：分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种第一种: : 以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移后计算位移力法。力法。( (可以解决所有杆系问题，对于复可以解决所有杆系问题，对于复杂杆系并不方便杂杆系并不方便) )第二种：第二种： 以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力计算内力位移法。（求解大型复杂问题）位移法。（求解大型复杂问题）结构结构在外因作用下在外因作

2、用下产生产生内力内力变形变形内力与变形间存在关内力与变形间存在关系系4-1 4-1 矩阵位移法基本原理矩阵位移法基本原理4-2 4-2 矩阵位移法概述矩阵位移法概述 1 1、基本概念、基本概念 所谓位移法就是以杆系结构节点处的位移作为基所谓位移法就是以杆系结构节点处的位移作为基本未知量的方法。求出这些位移后，再求结构的内力。本未知量的方法。求出这些位移后，再求结构的内力。qP123xy 对于图示阶梯变截面梁。采用力法求解时，将其对于图示阶梯变截面梁。采用力法求解时，将其拆开为两根单跨梁处理，这是力法和位移法研究的出拆开为两根单跨梁处理，这是力法和位移法研究的出发点。发点。1223图4.14-1

3、4-1位移法位移法 力法的简化：力法的简化： 位移法的简化：位移法的简化：力法是去掉多余联系，并以未力法是去掉多余联系，并以未知力（多于约束力）代替的静知力（多于约束力）代替的静定结构作为计算模型定结构作为计算模型位移法是增加多余约束，以单跨超位移法是增加多余约束，以单跨超静定梁代替原结构作为计算模型静定梁代替原结构作为计算模型增加的多余约束是：增加的多余约束是：阻止节点阻止节点2 2发生挠度和转角发生挠度和转角附加约束附加约束图4.2(a)图4.2(b)4-14-1位移法位移法 从图从图4.2b看出，基本结构与原结构有两点差别：看出，基本结构与原结构有两点差别：一是原结构在外载荷作用下节点一

4、是原结构在外载荷作用下节点2将发生挠度将发生挠度v2和转和转角角 2，而基本结构节点，而基本结构节点2处的挠度和转角为零；二是处的挠度和转角为零；二是原结构在外载荷作用下处于平衡状态，节点原结构在外载荷作用下处于平衡状态，节点2的弯矩的弯矩和力是平衡的和力是平衡的将节点将节点2隔离出来，作用于节点隔离出来，作用于节点2上上的弯矩和剪力均满足平衡条件。而基本结构中梁的弯矩和剪力均满足平衡条件。而基本结构中梁1-2在在2端的弯矩和剪力与梁端的弯矩和剪力与梁2-3在在2端的弯矩和剪力显然端的弯矩和剪力显然不是分别相等的，也就是节点不是分别相等的，也就是节点2不满足原结构的平衡不满足原结构的平衡条件了

5、。条件了。4-14-1位移法位移法 为了使得基本结构受力和变形与原结构一致，为了使得基本结构受力和变形与原结构一致，必须强迫基本结构中的梁必须强迫基本结构中的梁1-2和梁和梁2-3在在2端发生挠度端发生挠度v2和转角和转角 2,而且而且v2和转角和转角 2恰好能够使得两个单跨梁恰好能够使得两个单跨梁联系起来时，将节点联系起来时，将节点2隔离出来，作用于节点隔离出来，作用于节点2上的上的剪力和弯矩都能满足平衡条件。剪力和弯矩都能满足平衡条件。v图4.2(c)4-14-1位移法位移法1223 设基本结构中梁设基本结构中梁1-2由于外载荷由于外载荷q而引起的在梁端而引起的在梁端2的弯矩和剪力分别为的

6、弯矩和剪力分别为 ；梁；梁2-3由于外载荷由于外载荷P引引起的在梁端起的在梁端2的弯矩和剪力为的弯矩和剪力为 。这些由外载荷。这些由外载荷引起的梁端弯矩和剪力分别称为固端弯矩和固端剪引起的梁端弯矩和剪力分别称为固端弯矩和固端剪力。又设梁力。又设梁1-2由于梁端由于梁端2发生挠度发生挠度v2和转角和转角 2而引起而引起的在梁端的在梁端2的弯矩和剪力分别为的弯矩和剪力分别为 ;梁梁2-3由于梁由于梁端端2发生挠度发生挠度v2和转角和转角 2而引起的在梁端而引起的在梁端2的弯矩和剪的弯矩和剪力分别为力分别为 。那么作用于各自梁端。那么作用于各自梁端2的总的弯矩和的总的弯矩和剪力应当是：剪力应当是：2

7、121NM2323NM2121NM2323NM21N23M23M21M21M23N21N21N23N21M23N23M2图4.34-14-1位移法位移法1223232323212121232323212121NNNNNNMMMMMM(a) 隔离出来的节点隔离出来的节点2处于平衡状态，必须满足弯处于平衡状态，必须满足弯矩和剪力平衡方程：矩和剪力平衡方程：0023212321NNMM(b) 将（将（a）式代入到（）式代入到（b）中得到：）中得到：002323212123232121NNNNMMMM(4-1)4-14-1位移法位移法 应该指出，若在节点应该指出，若在节点2上作用有集中外力或外上作用有

8、集中外力或外力矩，则式（力矩，则式（4-1）中还应把他们包括进去。）中还应把他们包括进去。 式（式（4-1）中的固端弯矩）中的固端弯矩 和固端剪力和固端剪力 可可以由两端刚性固定单跨梁的弯曲要素表中查得。以由两端刚性固定单跨梁的弯曲要素表中查得。一一旦导出了因两端刚性固定而引起的梁端弯矩、剪力旦导出了因两端刚性固定而引起的梁端弯矩、剪力与梁端挠度和转角的关系式（弯曲杆元刚度方程与梁端挠度和转角的关系式（弯曲杆元刚度方程式），式），并将其代入式（并将其代入式（4-1）就可以得到以节点挠度）就可以得到以节点挠度和转角表示的节点平衡方程，并称之为位移法方程。和转角表示的节点平衡方程，并称之为位移法方

9、程。由位移法方程解出未知的挠度和转角，就可进一步由位移法方程解出未知的挠度和转角，就可进一步求出杆元的内力。求出杆元的内力。MN4-14-1位移法位移法 因此，位移法的基本原理是：通过在节点处增因此，位移法的基本原理是：通过在节点处增加约束来获得由一系列超静定（两端刚性固定）单加约束来获得由一系列超静定（两端刚性固定）单跨梁组成的基本结构，以节点位移（线位移和转角）跨梁组成的基本结构，以节点位移（线位移和转角）作为基本未知量，由节点静力平衡条件列位移法方作为基本未知量，由节点静力平衡条件列位移法方程，求节点位移，而后再依据结点位移求出结构程，求节点位移，而后再依据结点位移求出结构（各杆元）内力

10、。（各杆元）内力。4-14-1位移法位移法2 2、位移法中的符号规定与弯曲杆元刚度方程、位移法中的符号规定与弯曲杆元刚度方程 首先对位移法中的弯矩、剪力、线位移和角位首先对位移法中的弯矩、剪力、线位移和角位移的正负作一规定。符号规定：令移的正负作一规定。符号规定：令x轴为杆元的轴线，轴为杆元的轴线，y轴垂直与杆轴线（图轴垂直与杆轴线（图4-44-4），规定杆端的挠度与），规定杆端的挠度与y轴轴方向一致为正，杆端转角顺时针方向为正；杆端弯方向一致为正，杆端转角顺时针方向为正；杆端弯矩（不论是左端截面还是右端界面）一律规定顺时矩（不论是左端截面还是右端界面）一律规定顺时针为正，杆端的剪力一律与针为

11、正，杆端的剪力一律与y轴方向一致时为正（图轴方向一致时为正（图4-44-4）。）。NijNjiMijMjiyxij4-14-1位移法位移法图4.4 必须指出，若必须指出，若y轴向上，轴向上，x x轴仍然自左向右，则轴仍然自左向右，则转角和弯矩逆时针方向为正，即在右手坐标系转角和弯矩逆时针方向为正，即在右手坐标系oxyzoxyz中，转角矢量和弯矩矢量与中，转角矢量和弯矩矢量与z z轴方向一致时为正。轴方向一致时为正。 图图4.34.3中的杆端弯矩和剪力就是依据上述符号规中的杆端弯矩和剪力就是依据上述符号规定按正向做出的。定按正向做出的。 显然，上述关于弯矩和剪力的正负规定与力法显然，上述关于弯矩

12、和剪力的正负规定与力法中不同。而附录中的弯曲要素表是按力法中的符号中不同。而附录中的弯曲要素表是按力法中的符号规定给出的，因此，在位移法中利用附录中两端刚规定给出的，因此，在位移法中利用附录中两端刚性固定单跨梁的弯曲要素表来确定固端弯矩和剪力性固定单跨梁的弯曲要素表来确定固端弯矩和剪力时必须注意正负号的差别。时必须注意正负号的差别。4-14-1位移法位移法 对图对图4.2a4.2a左边的杆元，由弯曲要素表和位移法左边的杆元，由弯曲要素表和位移法中的正负规定，可得到固端弯矩和剪力为：中的正负规定，可得到固端弯矩和剪力为：4-14-1位移法位移法12211212212212121221,21121

13、,121qlNqlNqlMqlM 下面来寻求两端刚性固定弯曲杆元因杆端发生下面来寻求两端刚性固定弯曲杆元因杆端发生线位移和角位移而引起的杆端弯矩和剪力与线位移线位移和角位移而引起的杆端弯矩和剪力与线位移和角位移的关系式，即弯曲杆元的刚度方程式。和角位移的关系式，即弯曲杆元的刚度方程式。 一般起见，假定杆元一般起见，假定杆元i-j两端发生了线位移两端发生了线位移vi、v vj和角位移和角位移 i、 j。 （图图4-5a4-5a）4-14-1位移法位移法EIijlijvivjjiij图4.5 由由2-22-2中例中例3 3的结果，并考虑到位移法中的弯的结果，并考虑到位移法中的弯矩、剪力的正负号规定

14、，可得出杆元两端同时发生矩、剪力的正负号规定，可得出杆元两端同时发生线位移和角位移而引起的杆端弯矩和剪力的关系式。线位移和角位移而引起的杆端弯矩和剪力的关系式。4-14-1位移法位移法jijjijiijiijjijijjijiijiijjijijjijiijiijijjijjijiijiijijlEIvlEIlEIvlEIMlEIvlEIlEIvlEINlEIvlEIlEIvlEIMlEIvlEIlEIvlEIN46466126122646612612222323222323(4-2) 这就是弯曲杆元的刚度方程。这就是弯曲杆元的刚度方程。 杆元的杆端总弯矩为因杆元上所有外载荷引起杆元的杆端总弯

15、矩为因杆元上所有外载荷引起的固端弯矩与因杆端发生线位移、角位移而引起的的固端弯矩与因杆端发生线位移、角位移而引起的杆端弯矩之和；杆端总剪力为因杆元上所有外载荷杆端弯矩之和；杆端总剪力为因杆元上所有外载荷而引起的固端剪力与因杆端发生线位移和角位移而而引起的固端剪力与因杆端发生线位移和角位移而引起的杆端剪力之和。因此对任一弯曲杆元引起的杆端剪力之和。因此对任一弯曲杆元i- -j，有：，有：4-14-1位移法位移法(4-3)jijijiijijijjijijiijijijNNNNNNMMMMMM 一旦求出了杆端总弯矩和剪力，杆元任一截面一旦求出了杆端总弯矩和剪力，杆元任一截面上的内力就可由图上的内力

16、就可由图4-64-6所示的计算图形求出。图中所示的计算图形求出。图中q( (x) )代表杆元上所有的外载荷。代表杆元上所有的外载荷。4-14-1位移法位移法3 3、位移法方程、位移法方程 下面以图下面以图4-14-1为研究对象讨论位移法方程。根据为研究对象讨论位移法方程。根据图图4-2a4-2a所示的基本结构，由单跨梁弯曲要素表及位所示的基本结构，由单跨梁弯曲要素表及位移法中的正负号规定可得到由外载荷引起的固端剪移法中的正负号规定可得到由外载荷引起的固端剪力和固端弯矩：力和固端弯矩：q(x)IijiMijMjijlij图4.64-14-1位移法位移法2, 28,1223122123232122

17、1PNqlNplMqlM 由图由图4-2b4-2b可知，对于杆元可知，对于杆元1-21-2，仅在右端发生线，仅在右端发生线位移位移v2v2和角位移和角位移 2 2；对于杆元；对于杆元2-32-3仅在左端发生线位仅在左端发生线位移移v2v2和角位移和角位移 2 2，所以利用刚度方程（，所以利用刚度方程（4-24-2）将得出：）将得出：2232322232323222323232323232121222121221221212231212214661246612lEIvlEIMlEIvlEINlEIvlEIMlEIvlEIN4-14-1位移法位移法 将以上结果代入式将以上结果代入式(4-1)(4-

18、1)得：得：081244660226612122321222323121222232321212122223232121223232331212PlqllEIlEIvlEIlEIPqllEIlEIvlEIlEI 这就是以基本未知量（这就是以基本未知量（v2，2）和外载荷表示）和外载荷表示得节点得节点2 2的静力平衡方程，即位移法方程。解之，即的静力平衡方程，即位移法方程。解之，即得出基本未知量。得出基本未知量。 位移法方程的典型形式：位移法方程的典型形式：0022221211212111PPRkkRkk(4-4)(4-5)4-14-1位移法位移法 上式中上式中 i(i= =1, ,2)代表在第

19、代表在第i个附加约束上强迫发生的个附加约束上强迫发生的位移，他们是位移法中的基本未知量；位移，他们是位移法中的基本未知量；kij( (i.j= =1,2) )代表代表在基本结构上的第在基本结构上的第j个附加约束上强迫发生个附加约束上强迫发生 j=1时，在第时，在第i个附加约束上所引起的杆端力，个附加约束上所引起的杆端力，kij称为刚度系数，称为刚度系数，i= =j时时称为主系数，称为主系数，ij时称为副系数。时称为副系数。注意，因为现在第注意，因为现在第j个附个附加约束加约束( (j=1,2)=1,2)是杆元是杆元1-2的的2端和杆元端和杆元2-3的的2端所共有的，端所共有的，所以现在所以现在

20、kij应该是杆元应该是杆元1-2的的2端和杆元端和杆元2-3的的2端因强迫端因强迫发生发生 j1时所引起的杆端力之和。时所引起的杆端力之和。以后将证明以后将证明kij= =kji而而Rip( (i=1.2) )代表在基本结构上由于外载荷在第代表在基本结构上由于外载荷在第i个约束上个约束上所引起的固端力。注意：如果在第所引起的固端力。注意：如果在第i个附加约束处还作用个附加约束处还作用有集中外力和外力矩，在有集中外力和外力矩，在Rip中也应该包括。中也应该包括。4-14-1位移法位移法 对于某一杆系结构，若需要附加对于某一杆系结构，若需要附加n个约束才能得个约束才能得到用位移法求解的基本结构，那

21、么就有到用位移法求解的基本结构，那么就有n个基本未知个基本未知量，可供利用的节点静力平衡条件就共有量，可供利用的节点静力平衡条件就共有n个，从而个，从而就可列出就可列出n个位移法方程。其典型形式是：个位移法方程。其典型形式是：0000221122112222212111212111nPnnnnniPniniiPnnPnnRkkkRkkkRkkkRkkk(4-6)4-14-1位移法位移法上式可按一定的规则（如上所述的符号含义）写出，上式可按一定的规则（如上所述的符号含义）写出，它不依结构的形式而异。故通常称为位移法的典型方它不依结构的形式而异。故通常称为位移法的典型方程。它又可写成如下矩阵形式：

22、程。它又可写成如下矩阵形式：nPiPPPninnnniniinnRRRRkkkkkkkkkkkk212121212222111211或简记为：或简记为： PK4-14-1位移法位移法 式中，式中，KK结构刚度矩阵；结构刚度矩阵； 结构节点结构节点未知位移向量；未知位移向量；PP结构节点外载荷向量。在后结构节点外载荷向量。在后面介绍的矩阵位移法中将会说明如何得到他们。面介绍的矩阵位移法中将会说明如何得到他们。4 4、例题、例题 计算图计算图4-74-7所示的不可动节点复杂刚架，并画出所示的不可动节点复杂刚架，并画出弯矩图。弯矩图。ll/2l/2l2I2IPI1234图4-74-14-1位移法位移

23、法 如果用力法求解此问题，需要将其在节点如果用力法求解此问题，需要将其在节点2 2处拆处拆开，并以三根两端自由支持的单跨梁作为用力法求解开，并以三根两端自由支持的单跨梁作为用力法求解的基本结构，如下图的基本结构，如下图4-7a4-7a所示。在支座所示。在支座1 1、4 4处各有一处各有一个弯矩，在支座个弯矩，在支座2 2处有三个弯矩，共有处有三个弯矩，共有5 5个未知弯矩，个未知弯矩，需要列需要列5 5个力法方程才能求解。个力法方程才能求解。2I12M1M212IP32M2324M24M400024232144232121MMM图4-7a4-14-1位移法位移法 现在用位移法求解此问题，在节点

24、现在用位移法求解此问题，在节点2 2和和3 3处各附加处各附加一个抗转约束，就可得到位移法求解的基本结构，并一个抗转约束，就可得到位移法求解的基本结构，并强迫发生转角强迫发生转角 2 2和和 3 3（图（图4-84-8）。对于不可动节点刚）。对于不可动节点刚架，用位移法求解时，其基本未知量显然全是节点转架，用位移法求解时，其基本未知量显然全是节点转角，因而可以用来构成位移法方程的节点静力平衡条角，因而可以用来构成位移法方程的节点静力平衡条件是附加了抗转约束的节点力矩平衡条件，也就是节件是附加了抗转约束的节点力矩平衡条件，也就是节点点2 2和节点和节点3 3处的力力矩平衡条件，他们是。处的力力矩

25、平衡条件，他们是。24 2122II 22IP3 2 32图4-84-14-1位移法位移法003232242423232121MMMMMMMM 因杆因杆1-21-2、2-42-4上无外载荷，所以上无外载荷，所以 由弯曲要素表和位移法中弯矩的正、负规定，可得：由弯曲要素表和位移法中弯矩的正、负规定，可得：02421 MM883223PlMPlM 再因杆元两端（或一端）仅发生转角而引起的杆再因杆元两端（或一端）仅发生转角而引起的杆端弯矩，可由式端弯矩，可由式(4-2)(4-2)写出，故式写出，故式(a)(a)中：中：（a）4-14-1位移法位移法3232322322422124222224424l

26、IElIEMlIElIEMlEIMlIEM 将上述各式代入到（将上述各式代入到（a a），得位移法方程：），得位移法方程：88484203232PllEIlEIPllEIlEI（b）EIPlEIPl489623224-14-1位移法位移法0824228822248224412242422323232323223232324242224242212121212PllIElIEMMMPlPllIElIEMMMPllEIMMPllEIMMPllIEMMPllIEMM4 再利用式（再利用式（4-34-3）及（）及（4-24-2）求各杆端的总弯矩。）求各杆端的总弯矩。因因 ， 042242112MMMM

27、8,83223PlMPlM 所以所以4-14-1位移法位移法 最后画刚架的弯矩图。画弯矩图时把各杆元作为最后画刚架的弯矩图。画弯矩图时把各杆元作为受到实际外载荷及杆端总弯矩作用的两端简支梁来考受到实际外载荷及杆端总弯矩作用的两端简支梁来考虑，再把各杆元的弯矩图拼起来即得刚架的弯矩图。虑，再把各杆元的弯矩图拼起来即得刚架的弯矩图。不过这里要指出的是，由于位移法中弯矩的正负规定不过这里要指出的是，由于位移法中弯矩的正负规定与第二章的规定不同，且两者无法统一，所以通常不与第二章的规定不同，且两者无法统一，所以通常不在图上写弯矩的正负号，而是遵循以下原则：在图上写弯矩的正负号，而是遵循以下原则： 先把

28、刚架中各杆端总弯矩按实际方向画在杆的两先把刚架中各杆端总弯矩按实际方向画在杆的两端，并按弯矩箭头方向画出杆端总弯矩引起的弯矩图。端，并按弯矩箭头方向画出杆端总弯矩引起的弯矩图。再与杆元上外载荷引起的弯矩图叠加。再与杆元上外载荷引起的弯矩图叠加。4-14-1位移法位移法l/2q2334P15 计算图计算图4-84-8所示的不可动节点复杂刚架，画出受所示的不可动节点复杂刚架，画出受载杆载杆2-32-3及及3-53-5的弯矩图。各杆长度为的弯矩图。各杆长度为l，断面惯性矩，断面惯性矩为为I，P=4ql 1、结构分析方法 1）传统方法传统方法前面介绍的力法、位移法等都是传前面介绍的力法、位移法等都是传

29、统的结构分析方法统的结构分析方法, ,适用于手算适用于手算, ,只能分析较简单的结只能分析较简单的结构。构。 2）矩阵分析方法矩阵分析方法矩阵力法和矩阵位移法，或称矩阵力法和矩阵位移法，或称为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它能解决大型复杂的工程问题。能解决大型复杂的工程问题。4-24-2 矩阵位移法概述矩阵位移法概述2 2、基本思路、基本思路 1 1）手算

30、位移法）手算位移法（1 1）取基本体系取基本体系构造各自独立的单跨超静梁的组构造各自独立的单跨超静梁的组 合体；合体；（2 2）写出杆端弯矩表达式写出杆端弯矩表达式建立各杆件的杆端弯矩建立各杆件的杆端弯矩与杆端位移间的关系；与杆端位移间的关系； 3 3）矩阵位移法矩阵位移法简单的说就是把位移法分析杆系简单的说就是把位移法分析杆系结构的全过程以矩阵形式来表示，就是矩阵位移法。结构的全过程以矩阵形式来表示，就是矩阵位移法。它是以结点位移作为基本未知量的结构分析方法。由它是以结点位移作为基本未知量的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化，故本节只对矩阵位移于它易于实现计算过程程序化，故本节只对矩

31、阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位移法也被称为杆件结法进行讨论。杆件结构的矩阵位移法也被称为杆件结构的有限元法。构的有限元法。4-24-2 矩阵位移法概述矩阵位移法概述 （3 3）根据结点、截面的平衡条件根据结点、截面的平衡条件建立力建立力的平衡方程，即位移法方程。的平衡方程，即位移法方程。 2 2）矩阵位移法）矩阵位移法 （1 1）结构离散化结构离散化划分单元；划分单元； （2 2）单元分析单元分析建立单元的杆端力与杆端建立单元的杆端力与杆端位移间的关系，形成单元刚度矩阵；位移间的关系，形成单元刚度矩阵； （3 3）整体分析整体分析建立整个结构的结点位移建立整个结构的结点位移与结点荷载间的关

32、系，形成结构刚度矩阵。与结点荷载间的关系，形成结构刚度矩阵。4-24-2 矩阵位移法概述矩阵位移法概述4-24-2 矩阵位移法概述矩阵位移法概述 本节主要介绍矩阵位移法中的一些名词及其应包本节主要介绍矩阵位移法中的一些名词及其应包括的内容。括的内容。 图图4-114-11所示的为所示的为xoyxoy平面内的弯曲杆元，其刚度平面内的弯曲杆元，其刚度方程在前面已经导出（式方程在前面已经导出（式4-24-2），将刚度方程用矩阵），将刚度方程用矩阵形式来表示：形式来表示：4-24-2 矩阵位移法概述矩阵位移法概述 称称 (e)(e) 为弯曲杆元的为弯曲杆元的(e)(e)的节点的位移列矩阵，的节点的位移

33、列矩阵，列矩阵通常叫做向量，故又称节点位移向量。又记：列矩阵通常叫做向量，故又称节点位移向量。又记： jjiijievv yjyjyiyijieMNMNFFF4-24-2 矩阵位移法概述矩阵位移法概述 F F(e)(e) 为弯曲杆元的为弯曲杆元的(e)(e)的杆端力向量，它是由的杆端力向量，它是由杆端位移即节点位移而引起的杆端剪力和杆端弯矩所杆端位移即节点位移而引起的杆端剪力和杆端弯矩所组成的向量。于是刚度方程（组成的向量。于是刚度方程（4-24-2）可表示成如下矩）可表示成如下矩阵形式：阵形式： eeeKF下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。用

34、位移法解该题用位移法解该题 ：2 2、杆端、杆端弯矩弯矩： 1 1、未知量：、未知量：123121112M42ii211112M24ii232223M42ii322223M24iiM1M3M2i1i210-1 10-1 概述概述1323 3、建立方程：、建立方程：1M0121MM2M021232MMM3M0323MM4 4、解方程得：、解方程得：123 5 5、回代得：杆端、回代得：杆端弯矩弯矩M1M3M2i1i210-1 10-1 概述概述1321112142Mii 111222322(44 )2Miiii 2223324Mii 把以上解题过程写成矩阵形式：把以上解题过程写成矩阵形式：1 1

35、、确定未知量：可以通过编号来解决（一个结点一、确定未知量：可以通过编号来解决（一个结点一个转角未知量）。个转角未知量）。2 2、杆端弯矩表达式（按杆件来写）、杆端弯矩表达式（按杆件来写）1-21-2杆杆1211121112M42M24iiii单元刚单元刚度方程度方程M1M3M2i1i210-1 10-1 概述概述132121112M42ii211112M24ii写成矩阵形式1 2122-32-3杆杆2322232322M42M24iiii单元刚单元刚度方程度方程M1M3M2i1i210-1 10-1 概述概述132232223M42ii322223M24ii写成矩阵形式2 3233 3、位移法

36、方程：、位移法方程：1112142Mii 111222322(44 )2Miiii 2223324Mii 位移法方程写成位移法方程写成矩阵形式：矩阵形式：11111122222233420M2442M024Miiiiiiii整体刚度矩阵整体刚度矩阵4 4、解方程得：解方程得：5 5、回代得：杆端回代得：杆端弯矩弯矩 以上五个方面就是我们在本章中需仔细研究的。123 M1M3M2i1i210-1 10-1 概述概述1321 2 3 123结点荷载列阵结点荷载列阵结点位移列阵结点位移列阵10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵 1、单元划分及编号 在杆系结构中以自然的一

37、根杆件在杆系结构中以自然的一根杆件 为一个单元，并以加圈的数字为记号。为一个单元，并以加圈的数字为记号。 如图所示为刚架的单元划分。如图所示为刚架的单元划分。 2、结点编号及未知量确定结点编号的作用：结点编号的作用：用于单元定位用于单元定位确定未知量确定未知量结点编号的方法：结点编号的方法：先处理法先处理法后处理法后处理法 因此一个刚结点就有3个位移： ，而且支 座位移也要作为未知量。, ,u v 在确定未知量时：在确定未知量时： 不忽略轴向变形；不忽略轴向变形； 所有单元都是两端固定的所有单元都是两端固定的。 先处理法：是直接给未知量编号。先处理法：是直接给未知量编号。 后处理法：是先给结点

38、编号（包括支座结点），后处理法：是先给结点编号（包括支座结点），然后按一个结点然后按一个结点3 3个位移再减去支座约束计算。个位移再减去支座约束计算。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：后处理法：结点编号如图所示，结点编号如图所示，33344400uvuv先处理法：先处理法：12341,2,34,5,60,0,00,0,0例例1： 因此未知量为因此未知量为6 6个。个。结点编号如图所示，结点编号如图所示，编号顺序为：先水平，编号顺序为：先水平，后竖向，再转动。位移后竖向，再转动。位移为零编为零编“0”号。号。由于：由于：10-2 10-2 局部坐标下的

39、单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：后处理法：单元编号如图所示，单元编号如图所示，先处理法：先处理法：12341,2,34,5,60,0,00,0,0例例1： 单元编号如图所示，单元编号如图所示，单元两头的结点号为：单元两头的结点号为：“1 1”、“2 2”，如果结点的，如果结点的坐标已知，单元的位置坐标已知，单元的位置就定了。就定了。单元两头的结点号为：单元两头的结点号为：“1,2,31,2,3”、“4,5,64,5,6”，如，如果结点的坐标已知，单果结点的坐标已知，单元的位置同样定了。元的位置同样定了。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：

40、后处理法：结点编号如图所示，结点编号如图所示，3344400uvuv1,2,34,5,60,0,70,0,0例例2： 1234由于：由于：因此未知量为因此未知量为7 7个。个。先处理法：先处理法：结点编号如图所示，结点编号如图所示，7个未知量，号就编个未知量，号就编到到7。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵先处理法：先处理法：后处理法：后处理法：23234455500uuvvuvuv124531,2,34,5,60,0,80,0,04,5,7例例3：结点编号如图所示，结点编号如图所示，由于：由于：因此未知量为因此未知量为8 8个。个。结点编号如图所示，结点编号

41、如图所示，8个未知量，号就编到个未知量，号就编到8。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵先处理法：先处理法：后处理法：后处理法：124531,2,34,5,60,0,80,0,04,5,7例例3：单元编号如图所示，单元编号如图所示，单元编号如图所示。单元编号如图所示。单元单元 “1 1”、“2 2”对应单元单元 “1 1”、“4 4”对应单元单元 “3 3”、“5 5”对应单元单元 “123123”、“456456”对应单元单元 “123123”、“008008”对应单元单元 “457457”、“000000”对应10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部

42、坐标下的单元刚度矩阵后处理法：后处理法：3340uvv12341,23,40,00,5例例4：结点编号如图所示，结点编号如图所示，桁架一个结点桁架一个结点2各线各线位移，由于：位移，由于：因此未知量为因此未知量为5 5个。个。先处理法：先处理法：结点编号如图所示，结点编号如图所示，8 8个未知量，号就编到个未知量，号就编到8 8。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：后处理法：例例4：1234单元编号如图所示，单元编号如图所示，1,23,40,00,5先处理法：先处理法：单元编号如图所示，单元编号如图所示，单元单元 “1 1”、“2 2”对应单元单元 “

43、1 1”、“4 4”对应单元单元 “1,21,2”、“3,43,4”对应单元单元 “1,21,2”、“0,50,5”对应10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵 3、建立坐标坐标系：坐标系：局部坐标局部坐标整体坐标整体坐标1 1）局部坐标）局部坐标作用：用于表明杆端力及单元定位作用：用于表明杆端力及单元定位方法：方法：x 轴与杆件重合及顺时针转原则。轴与杆件重合及顺时针转原则。 标法如图所示，箭头表示标法如图所示，箭头表示x 轴的方向，轴的方向，y轴轴 不标出。单元的起始点是不标出。单元的起始点是“1”，终点是，终点是“2”。1234ABFAXFBXFBYFAYMA

44、BMBA10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵后处理法：后处理法：例例4：局部坐标如图所示，局部坐标如图所示，1234单元单元 “1 1”、“2 2”对应单元单元 “4 4”、“1 1”对应单元定位向量：单元定位向量： 12 31 42 34 41 32先起始点后终点先起始点后终点10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵例例4：先处理法：先处理法：局部坐标如图所示，局部坐标如图所示，单元单元 “1,21,2”、“3,43,4”对应1,23,40,00,5单元单元 “0,50,5”、“1,21,2”对应单元定位向量：单元定位向量： 123

45、4 0012 0534 0005 0512 003410-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵2 2）整体坐标）整体坐标作用：用于建立位移法方程作用：用于建立位移法方程方法：方法：可根据结构情况及顺时针转原则建立。可根据结构情况及顺时针转原则建立。1234XYXYOx 表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标，但表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标，但建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵4 4、单元刚度矩阵、单元刚度矩阵 单元刚度矩阵单元刚度矩阵

46、两端固定单元，由两端发生单两端固定单元，由两端发生单 位位移产生的杆端力的矩阵形式。位位移产生的杆端力的矩阵形式。单元刚度矩阵单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度矩阵本节先介绍局部坐标下的单元刚度矩阵本节先介绍局部坐标下的单元刚度矩阵 以以两端固定单元为研究对象，让其两端各发生两端固定单元为研究对象，让其两端各发生3 3个位移，求出个位移，求出6 6个杆端力，然后写成矩阵形式，即可个杆端力，然后写成矩阵形式，即可得到单元刚度矩阵。得到单元刚度矩阵。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵单元形式单元

47、形式 两端固定单元两端固定单元杆端位移杆端位移 每端各三个位移，每端各三个位移， 杆端力杆端力 每端各三个杆力，每端各三个杆力，正负号规定正负号规定 与局部坐标一致为与局部坐标一致为正，相反为负。正，相反为负。111222uvuv、 、 、 、111222xyxyFFMFFM、exyE，A，Il122u2v1ue211v12x2Fy2F2Mx1F1My1Fe1210-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵12121211EALEI,EA1EALEI,EA116EIL2112EIL216EIL2112EIL214EIL16EIL212EIL16EIL2EI,EA110-2

48、 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵1212122EI,EA2EAL2EALEI,EA2212EIL2212EIL222EIL26EIL224EIL26EIL2EI,EA226EIL216EIL210-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵 1121112232321112222()1261266462xyEAFuuLEIEIEIEIFvvLLLLEIEIEIEIMvvLLLL21221122323221122221261266264xyEAEAFuuLLEIEIEIEIFvvLLLLEIEIEIEIMvvLLll 当两端固定单元的两端同时发当两

49、端固定单元的两端同时发生六个位移时，六个杆端力可利用生六个位移时，六个杆端力可利用叠加原理求出：叠加原理求出： 1 1号号杆杆端端 2 2号号杆杆端端10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2FX1FY1FX2Fy2M2M1u 2u 1v 2v 221=10-2

50、 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2FX1FY1FX2Fy2M2M1u 2u 1v 2v 221= eeeFk 可缩写成可缩写成:-单元刚度方程单元刚度方程10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵 eeeFk 单元刚度方程：单元刚度方程： 其中：其中： eF-单元杆端力列阵单元杆端力列阵-单元杆端位移列阵单元杆端位

51、移列阵 eFX1FY1FX2Fy2M2M1 eF= eu 2u 1v 2v 221=10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=ek ek -单元刚度矩阵单元刚度矩阵11122122eekkkkk 也可写成：也可写成：122110-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质 单元刚度矩

52、阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。ijkjik 其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端 位移引起的杆端力。由反力互等定理可知：位移引起的杆端力。由反力互等定理可知： ， 因此因此单元刚度矩阵是对称矩阵。单元刚度矩阵是对称矩阵。 第第k k列元素分别表示当第列元素分别表示当第k k个杆端位移个杆端位移=1=1时引起的六个时引起的六个 杆端力分量。杆端力分量。 一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。 ，不，不 存在逆矩阵。存在逆矩阵。 0ek10-2 10-2 局

53、部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=ek 1221 由上述一般单元的刚度矩阵，可以根据实际情况处理后，由上述一般单元的刚度矩阵，可以根据实际情况处理后，得到特殊情况下的单元刚度矩阵。得到特殊情况下的单元刚度矩阵。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL

54、300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=ek 1 2 3 4 5 6123456 例如：已知两端固定单元两头只发生转角，其它位移等于例如：已知两端固定单元两头只发生转角，其它位移等于零，同时只需要写杆端弯矩。处理的方法是：把下面刚度零，同时只需要写杆端弯矩。处理的方法是：把下面刚度矩阵的第矩阵的第1、2、4、5行和列划掉即可。行和列划掉即可。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵 两端固定单元两头只发生转角的单元刚度矩阵：两端固定单元两头只发生转角

55、的单元刚度矩阵：4EIL2EIL2EIL=ek 1 2 124EIL10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=ek 1 2 3 4 5 6123456 又如：已知两端固定单元没有轴向变形，也不需要写杆端又如：已知两端固定单元没有轴向变形，也不需要写杆端轴力。处理的方法是：把下面刚度矩阵的第轴力。处理的方法是：把下面刚度矩阵的第1、4行和列

56、划行和列划掉即可。掉即可。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵 两端固定单元不考虑轴向变形的单元刚度矩阵：两端固定单元不考虑轴向变形的单元刚度矩阵：6EIL24EIL12EIL36EIL2-6EIL22EIL-12EIL36EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=ek 1 2 3 4 123410-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-1

57、2EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=ek 1 2 3 4 5 6123456 再如：对于轴力杆件的单元刚度矩阵，处理的方法是：再如：对于轴力杆件的单元刚度矩阵，处理的方法是： 把下面刚度矩阵的第把下面刚度矩阵的第2、3、5、6行和列划掉即可。行和列划掉即可。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵 轴力杆件的单元刚度矩阵应该是轴力杆件的单元刚度矩阵应该是2 22 2的，但考虑到的，但考虑到斜杆在整体坐标中的需要，写成斜杆在整体坐标中的需要，写成4 44 4的。的。-EAL0EAL00=ek 1 2 3 4 12340

58、000-EAL0EAL000010-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵10-10-3 3 整体坐标下的整体坐标下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度矩阵 如前所述，为了表述杆端力，需要每个单元都要如前所述，为了表述杆端力，需要每个单元都要有自己的一套局部坐标系。但当要建立位移法方程时，有自己的一套局部坐标系。但当要建立位移法方程时，则需要结构有一套统一的整体坐标系，因此在建立方则需要结构有一套统一的整体坐标系，因此在建立方程之前，必须把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整程之前，必须把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。下面以

59、一根斜杆为例，说明两套坐标系体坐标下的。下面以一根斜杆为例，说明两套坐标系的转换方法。的转换方法。yx10-10-3 3 整体坐标下的整体坐标下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵x1Fy1F1Mx2Fy2F2Myxyx局部坐标系局部坐标系中的杆端力中的杆端力x1Fy1F1Mx2Fy2F2M整体坐标系整体坐标系中的杆端力中的杆端力yxyxyx22222222cossinsincosxxyyxyFFFFFFMM 11111111cossinsincosxxyyxyFFFFFFMM 局部坐标系中杆端力与局部坐标系中杆端力与整体坐标系中杆端力之整体坐标系中杆端力之间的关系：间的关系：x1Fy1F1Mx2Fy2

60、F2Myxx1Fy1F1Mx2Fy2F2Myx局部坐标系局部坐标系中的杆端力中的杆端力整体坐标系整体坐标系中的杆端力中的杆端力10-10-3 3 整体坐标下的整体坐标下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵其中：其中：TT单元坐标转换矩阵单元坐标转换矩阵同理：同理： eeFTF eTeFTF eeT eTeT00001111222exyxyFFMFFM111222exyxyFFMFFM00000000CosSinSinCos1000CosSinSinCos00000000000可缩写成：可缩写成：写写成成矩矩阵阵形形式式10-10-3 3 整体坐标下的整体坐标下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵TT单元坐标转换矩