案例北科第八章

1、第八章第八章刚体的平面运动刚体的平面运动本章学习指导学习目标：学习目标： 熟悉刚体平面运动的特点；能熟练应用基点法、瞬心法和速度投影法求解有关速度的问题；能熟练应用基点法求解有关加速度的问题；对常见平面机构能熟练地进行速度和加速度分析。重点与难点：重点与难点： 重点：重点： 求平面图形内各点速度的基点法、瞬心法 ；用基点法求平面图形内各点的加速度 难点：难点： 用基点法求平面图形内各点的加速度合成定理； 8-1 8-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动：行星齿轮刚体平面运动：行星齿轮1.1.平面运动平面运动刚体平面运动：车轮运动情况刚体平面运动：车轮运动情况

2、刚体平面运动：机械臂抓举或搬运零件刚体平面运动：机械臂抓举或搬运零件平面图形在它自平面图形在它自身平面内的运动身平面内的运动 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为等的距离，这种运动称为平面运动平面运动。( (plane motion of rigid bodies)平面运动平面运动1 1、平面图形、平面图形S S始终在平面内始终在平面内2 2、作垂线、作垂线A1A1、A2 A2 ，始终作平移，始终作平移刚体平面运动的简化2.2.运动方程运动方程 123OOxftyftft基点基点O转角转角3.3.平面运动的分

3、解平面运动的分解平面运动平面运动 = = 随同基点的平移随同基点的平移+ +绕基点的转动绕基点的转动一般刚体平面运动的分解（绝对运动）（绝对运动）= (= (牵连运动牵连运动) + ) + （相对运动）（相对运动）平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。平面运动刚体的角速度和角加速度平面运动刚体的角速度和角加速度)()(33tftf 结论：平面图形相对于任意基点处的

4、平移参考系，其转动运动都是一样的，角速度、角加速度都是共同的，无须标明绕哪一点转动或选哪一点为基点。因此，绕任意点转动的角速度、角加速度就是平面图形的角速度、角加速度。对角速度、角加速度的说明：刚体平面运动的分解与刚体平面运动的分解与 合成运动概念的关系：合成运动概念的关系：在对刚体平面运动的分解中，总是在选定的在对刚体平面运动的分解中，总是在选定的基点处固连一个随基点基点处固连一个随基点平移平移的动参考系（的动参考系（实际机构实际机构中可以不存在这个平移物体中可以不存在这个平移物体），所谓平移就是指这），所谓平移就是指这个人为的参考系的平移；所谓绕基点的转动是指相个人为的参考系的平移；所谓绕

5、基点的转动是指相对于这个平移参考系的转动。对于这个平移参考系的转动。合成运动中相对运动、牵连运动的概念是怎样在平面运动的分解中体现出来的？OBAAMxyO一、基点法一、基点法reavvv利用点的合成运动中利用点的合成运动中点的速度合成定理点的速度合成定理)(aMvvAvAvvervxy相对运动：点M绕点A的圆周运动yxA动系:动点: MyxA牵连运动：动系 随基点的平动其中：Aevv MArvv 所以：MAAMvvv8-2 8-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法绝对运动 ：待求AMAvAvMvMAvMAvMAMAMAv其中：MAAMvvvMAv是M点随平面图形绕基点A

6、转动的速度，称为M点相对A点的速度结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。图形绕基点转动速度的矢量和。平面图形的运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动，于是平面图形内任一点的运动也是两个运动的合成，因此可用速度合成定理来求它的速度，这种方法称为基点法基点法。2.2.速度投影定理速度投影定理 同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。的投影相等。沿沿AB连线方向上投影连线方向上投影BAABABvvBABAvvv由由说明：速度投影定理的用途较少，解题范围一般仅限于

7、上述例题的情况。必须知道其中一个速度方向、大小，且知道另一个速度方向。例：例：已知已知OA杆的角杆的角速度速度 ，求图示瞬时，求图示瞬时滑块滑块B的速度和的速度和 AB杆的角速度。杆的角速度。OAB rABrOA360,0 解：研究解：研究AB杆，取杆，取A为基点为基点OAB AB AvBvAvBAvBAABvvvrvABvvvABAABAB3tancosOABCDh例例8-2 曲柄OA的角速度为 ，AB=BC=BD= l ，OA= r 求滑块C的速度。 解：解：AB杆：杆：BC杆杆：coscosBAvvcos290cosCBvvrvACvBvAvcoscoscoscosrvvABcoscos

8、sin2cos2sinrvvBC杆AB、BC为平面运动 8-3 8-3 求平面图形内各点的瞬心法求平面图形内各点的瞬心法 一般情况下一般情况下, ,在每一瞬时在每一瞬时, ,平面图形上都唯一地存在一平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。1.1.定理定理基点基点：AMAMAvvvMAvvAM0ACvvAC 平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。度中心转动的速度。基点基点：CMMCvvCM 2.2.平面图形内各点的速度分布平面图形内各点的速度分布对对

9、速速度度瞬瞬心心的的说说明明刚体作平面运动时，在每一瞬时，图形内（或与图形固结的扩展平面内）必有一点 成为速度瞬心；但在不同的 瞬时，速度瞬心的位置是不同的 。速度瞬心的瞬时性速度瞬心的瞬时性每一瞬时，平面图形的运动都可看成为绕速度瞬心的每一瞬时，平面图形的运动都可看成为绕速度瞬心的瞬时转动瞬时转动3.3.速度瞬心的确定方法速度瞬心的确定方法(1) 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。如车轮在地面上作无滑动的滚动时。vC同一瞬时，平面运动刚体上的各点的速度分布。同一瞬时，平面运动刚体上的各点的速度分布。(2) 已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度

10、瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上。 ABOCvAABvB (3) 已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必定在连线AB与速度矢vA和vB端点连线的交点C上。 ABvBvACABvBvAC (4)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等,如图所示，图形的速度瞬心在无限远处。(瞬时平移：此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相等) OvAABvB另外注意：瞬心的位置是随时间在不断改变的，它只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。ABAvBv确定瞬心的一般方法：确定瞬心的一般方法：ABAvBvAAvBBvCCABAvBvCABAvBvABAvBvC已知：椭

11、圆规尺的已知：椭圆规尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 轴的负向运动，轴的负向运动，如图所示，如图所示，AB=l。求：求：B端的速度以及尺端的速度以及尺AB的角速度。的角速度。例例8-18-11.1. AB作平面运动作平面运动 基点：基点： AsinABAvvsinlvlvABAAB2?BABAAvvvv.大小 ？方向cotABvv 解：解：(例例8-1）用投影法求）用投影法求B端的速度端的速度sincosBAvvcotBAvvAB作平面运动，速度瞬心为点作平面运动，速度瞬心为点C。sinlvACvAAABcotAABBvBCv解：解：(例例8-1）用瞬心法求用瞬心法求B端的速度以及尺端的速度以

12、及尺AB的角速度的角速度。AvABD例：例：已知已知 AB 杆杆A点的速点的速度，求杆度，求杆B端的速度、杆端的速度、杆的角速度、杆中点的角速度、杆中点D的速的速度和圆盘的角速度。度和圆盘的角速度。AvABRL纯滚解：解：研究研究AB杆，瞬心为杆，瞬心为CsinLvACvAABAABcotAABABBvBCvDvBvABC研究研究B 轮，瞬心为轮，瞬心为MBcotRvRvABBsin2AABABDvDCvMvAAOBD0EvBCvEADBE例：例：图示一曲柄机构，曲柄OA 可绕O轴转动，带动杆AD在套筒B内滑动，套筒B及与其刚连的BE杆又可绕B铰转动。已知： OA=BE=300 mm， OB=

13、400mm ，当OA转至铅直位置时，其角速度 =2 rad/s ，试求E点的速度。0分析：为求点E的速度，需知道杆BE的角速度，而这个角速度又与杆AD的角速度相同。由 vA 、 vB 可得其速度瞬心C解：解：m/s600.OAvA0.60.72 rad/s2.5/3AADvCAm/s2160.BEBEvADBEE（ ）研究杆AD的平面运动。AOBCD0AB例：例：图示机构，曲柄OA以角速度 作顺钟向转动。设 OA=AB=r ， BO= r ， O、B、C三点恰在同一铅直线上，试求此瞬时点 B、 C的速度。03vAvB分析：此机构是由四连杆机构OABD及曲柄连杆滑块机构DBC组成，其中四连杆机构

14、OABD是主动机构，应先作研究。解：解：（1）首先研究杆AB的平面运动。由vA、vB的方向，可得杆AB的速度瞬心M 。( M 恰在杆 BD上，但绝不能把它作为 BD上的点，而应该视为与杆 AB固结的一平面上的点。）0sin30/2MAABr02AABvMA（ ）MNBC03cos302rMBAB003232BABrvMBr（2）研究杆BC的平面运动。由vB、vC的方向，可得杆BC的速度瞬心N 。BBCBN由：003cos302CBCBvNCvr得：MAOBCD0vAvBABvC已知：如图所示平面机构中，已知：如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，在图示位置时，

15、BDAE，杆杆AB的角速度为的角速度为=5rad/s。求：此瞬时杆求：此瞬时杆DE的角速度和杆的角速度和杆BD中点中点C的速度。的速度。例例8-48-41.1.BD作平面运动作平面运动 基点：基点：BlvvvBDBD5rad sDBDEvvDEl5rad sDBBBDvvBDl2?DBDBvvvl.大小 ？方向32?CBCBBDvvvll.大小 ？方向221.299m sCBCBvvvBD方向沿杆向右解：解：AMnrreaaaaaAeaa 2nrrAMaaAMaanMAMA动 系：动 点：刚体上的M点牵连运动：平移相对运动：圆周运动yxAAaAaaexyMaaa 改用新符号表示各矢量：改用新符

16、号表示各矢量：MAraa nMAnraa AaaenMAMAAMaaaa则：则：动系平动时点的加速度合成定理：动系平动时点的加速度合成定理：ranra8-4 8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。度的矢量和。tnMAMAMAaaaa090o30oOBA例例8-58-5已知已知:曲柄滑块机构，曲柄滑块机构，OAr，AB r ，曲柄以曲柄以匀角速度匀角速度 绕绕O轴转动。轴转动。30求

17、图示瞬时，滑块求图示瞬时，滑块B的速度的速度 、加速度、加速度 ，杆，杆AB的角速度的角速度 。BvBaAB3300rrACvAAB1.1.分析刚体运动。分析刚体运动。解解: : 杆杆OA作定轴转动，作定轴转动，B块作平移，杆块作平移，杆AB作平面运动作平面运动。2.2.研究杆研究杆AB，瞬心法求速度。瞬心法求速度。0OBA90o30oAvBv确定瞬心确定瞬心C点点CABrBCvBAB023r3r32r3方向如图示。方向如图示。3.3.加速度分析加速度分析基点法基点法选点选点A为基点，写加速度矢为基点，写加速度矢量等式，画加速度图。量等式，画加速度图。nBAtBAnABaaaa 大小大小 方向

18、方向 ?r20 ?ABAB 2 0OBA90o30otBAaBanAanAa加速度方位已知，指向可以假设。加速度方位已知，指向可以假设。其中其中 大小未知大小未知,BtBAa, a, tABBAABanBAa, ABaABnBA2, OAanA20, acosanBAB303030300sinacosacosanBAtBAnA求得滑块求得滑块B的加速度的加速度aB连杆连杆AB的角加速度的角加速度AB 209230rcosaanBAB20tBAAB2738BAa（方向如图示（方向如图示逆时针）逆时针）0OBA90o30otBAaBanAanBAanBAtBAnABaaaa 选投影轴选投影轴 ，将

19、矢量等式沿等号两边，将矢量等式沿等号两边分别向投影轴投影。分别向投影轴投影。tBAaxx选投影轴选投影轴 ，将矢量等式沿等号两边分别向投影轴投影。，将矢量等式沿等号两边分别向投影轴投影。Bay yAB 求：车轮上速度瞬心的加速度。求：车轮上速度瞬心的加速度。已知：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为已知：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心中心O的速度为的速度为，加速度为加速度为，车轮与地面接触无相车轮与地面接触无相对滑动。对滑动。OvOa例例8-68-61. 1. 车轮作平面运动，瞬心为车轮作平面运动，瞬心为 C。2OvR.dd1ddOOvatRtR3.3.选选为基点为基点tn2COCOCOOa

20、aaaaRR大小 ？方向 ？解：解：建坐标系如图建坐标系如图, ,将矢量等式向坐标轴将矢量等式向坐标轴投影。投影。0tCOOCxaaa2RaanCOCynCOCaayx速度瞬心的加速度并不为零！8-5 8-5 运动学综合应用举例（选讲）运动学综合应用举例（选讲）1.1.运动学综合应用运动学综合应用 ： 机构运动学分析。机构运动学分析。2.2.已知运动机构已知运动机构 未知运动机构未知运动机构 连接点运动学分析3.3.连接点运动学分析连接点运动学分析接触滑动接触滑动合成运动合成运动铰链连接铰链连接平面运动平面运动求：此瞬时求：此瞬时AB杆的杆的角速度及角加速度。角速度及角加速度。已知已知：如图所

21、示平面机构，如图所示平面机构，AB长为长为l，滑块滑块A可沿摇杆可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度以匀角速度绕轴绕轴O转动，滑转动，滑块块B以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，铅直，AB与水平线与水平线OB夹角为夹角为。lv 30例例8-78-72.2.动点动点 ：滑块：滑块 A，动系动系 ：OC 杆杆1.1.杆杆AB作平面运动，基点为作平面运动，基点为B。ABABvvv?AerBABvvvvvOAl大小方向Bv沿方向投影esin302BABlvvve2ABBvvvllvABAB沿沿 方向投影方向投影rvlvvAB2330cos0r速度

22、分析速度分析解：解：ntABABBAaaaatntneer22r0?20?2ACBABABABaaaaaaaalvl大小方向加速度分析加速度分析Ca沿方向投影tnsin30cos30CABABaaa2t33ABaABAB2t33laAB求：此瞬时杆求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。的角速度及角加速度。已知：已知：在图所示平面机构中，杆在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速在导轨中以匀速v平移，通过铰链平移，通过铰链A带动杆带动杆AB沿导套沿导套O运动，导套运动，导套O与杆与杆AC距离为距离为l。图示瞬时杆图示瞬时杆AB与杆与杆AC夹角为夹角为。60例例8-88-81. 1. 动点动点 ：

23、铰链铰链A 动系动系 ： 套筒套筒O aer2?vvvv.大小方向260cos2360sinaraevvvvvvlvAOvAB43etnaeer2er0? 2CABaaaaaAOv大小方向tea沿 方向投影22te833lvAOaABlvaaaa4302CteCte解：解：另解：另解： 1.1.取坐标系取坐标系Oxy2. A点的运动方程点的运动方程cotlxA3.3.速度、加速度速度、加速度vlxA2sin2sinlv2sinsin2sin222lvlv 03604ABvl当时有223 38ABvl如图所示平面机构中，杆如图所示平面机构中，杆AC铅直运动，杆铅直运动，杆BD水平运动，水平运动，

24、A为铰链，滑块为铰链，滑块B可沿槽杆可沿槽杆AE中的直槽滑动。图示瞬时中的直槽滑动。图示瞬时2260mm3010 3mm /s10 3mm /s50mm /s10mm /s,AABBABvava。求：该瞬时槽杆求：该瞬时槽杆AE的的角速度角速度 、角加速度及、角加速度及滑块滑块B相对相对AE的加速度。的加速度。例例8-98-9动点：滑块动点：滑块B动系：杆动系：杆AEaervvv基点：基点：AeBAB AvvvvaAB ArvvvvABABvvv60cos30cos:ABvr60sin30sinvvvAB:rvr10mm s3rad s2B AAEvvAB解：解：tnr2r?2BAB AB A

25、CBAAEAEaaaaaaaaABv大小方向ootcos30sin30BAB ACaaaa 沿沿 方向投影方向投影 ranrsin30cos30BAB Aaaaa沿沿 方向投影方向投影tB Aa2rt265mm s3rad s6B AAEaaAB 1.1.刚体平面运动的定义刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变。刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变。2.2.刚体平面运动的简化刚体平面运动的简化可以简化为平面图形可以简化为平面图形S在自身平面内的运动。在自身平面内的运动。 3.3.刚体平面运动的分解刚体平面运动的分解 分解为分解为 随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）刚体平面运动习题课刚体平面运动习题课一、一、概念与内容概念与内容4.4.基点基点可以选择平面图形内任意一点可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点。通常是运动状态已知的点。 5.5.瞬心