专题十概率与统计6

1、 专题十 概率与统计 2013.4【真题感悟】1. （2012山东11）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为A 232 B 252 C 472 D 4842. （2012广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是A. B. C. D. 3. （2012辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为(A) (B) (C) (D) 4. （2012安徽）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5

2、次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【考点梳理】1.排列组合二项式定理：（1）基本计数原理：分类加法计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N_种不同的方法分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，完成第一个步骤有m1种不同的方法，完成第二个步骤有m2种不同的方法，完成第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N_种

3、不同的方法两个基本计数原理的区别与联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以独立完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成（2）排列与组合：排列与排列数：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.排列数公式： ；.规定0! = 1。另外，； ； ，。注意：相同

4、排列：如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.组合与组合数：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。从n个不同元素中，任意取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示组合数公式：；.规定。组合数公式有两种形式：乘积形式和阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算注意公式的逆用即由写出.另外，；.排列与组合的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行排列组合问题的解法：直接法；穷举

5、法；优先法（特殊元素优先安排法或特殊位置优先安排法）；相邻问题捆绑法；不相邻问题(相间)插空法（含逐一插空法）；多排问题直排法；定序问题用除法（或（非）定序元素优先安排法）；隔板法（名额分配问题，有狭义（）和广义（）之分（不定方程解（）的个数）；小集团问题先整体后局部；选排问题先选后排法；分组分配问题（先分组后分配的方法和意识要加强）；至多至少问题间接法（正难则反）； 特别的，含有可重元素的排列问题，遵循的原则是重复元素都一样，只留位置无需排列：对含有相同元素求排列个数的方法是用除法：设重集S有k个不同元素，其中各元素的重复数为，且, 则S的排列个数等于。（3）二项式定理：二项式定理：(r0,

6、1,2，n)。二项展开式的通项为展开式中的第项为：.二项式系数的性质：（）对称性：在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；（）增减性与最大值：二项式系数C，当r<时，二项式系数是递增的；当r>时，二项式系数是递减的二项展开式的中间项二项式系数最大： 当n是偶数时，中间项是第项，它的二项式系数最大；当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第项，它们的二项式系数相等且同时取得最大值.（）各二项式系数的和：；。 三项式的处理方法：对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性如何来求展

7、开式中含（其中且）的系数呢？方法一：把视为二项式，先找出含有的项;另一方面在中含有的项为，故在中含的项为.其系数为。方法二：把看成个式子个式子 相乘，其展开式中含的系数分三步：第一步，从个式子中选个式子，从每个式子中均选取得到，共有种选法；第二步，从剩下的个式子中选个式子，从每个式子中均选取得到，共有种选法；第三步，从剩下的（即）个式子中均选取得到，共有种选法；根据分步乘法计数原理，含的系数为。求系数最大的项或最小的项：一般来说为常数）在求系数最大的项或最小的项时，当时可直接根据二项式系数的性质（）求解；当时，一般采用解不等式组的系数或系数的绝对值）的办法来求解。近似计算的处理方法：当a的绝对

8、值与1相比很小且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计。类似地，有但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求，据此可以应用其首尾几项进行放缩。整除性：利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”、添减项结合有关整除知识来处理赋值法：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m (a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只

9、需令x1即可；对形如(axby)n (a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)；奇数项系数之和为a0a2a4；偶数项系数之和为a1a3a5。2. 统计与统计案例：（1）随机抽样：简单随机抽样：一般地，从元素个数为N的总体中_地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样最常用的简单随机抽样的方法：_和_简单随机抽样适用范围是：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小。系统抽样：假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本

10、，第一步，先将总体的N个个体_；第二步，确定_，对编号进行_，当(n是样本容量)是整数时，取k；当(n是样本容量)不是整数时，先用简单随机抽样剔除-个个体，取k；第三步，在第1段用_确定第一个个体编号l (lk)；第四步，按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号_，再加k得到第3个个体编号_，依次进行下去，直到获取整个样本系统抽样的适用范围是：元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等。分层抽样：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样，将总体中各个个体按某种特征分成若干个_的几部分，每一部分叫做_，在各层中按层在总体

11、中所占比例进行_抽样或_抽样，这种抽样方法叫做分层抽样分层抽样的应用范围是：总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样（2）用样本估计总体：在研究总体时，常用样本的频率分布去估计总体分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示_，数据落在各小组内的频率用_表示，各小长方形的面积总和等于_连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图随着_的增加，作图时所分的_增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为_，它能够更加精细的反映出_作频率分布直方图的步骤如下

12、：()求极差；()确定组距和组数；()将数据分组；()列频率分布表；()画频率分布直方图频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，给记录和表示都带来方便用样本的数字特征估计总体的数字特征：()平均数：样本数据的算术平均数，即_.()样本方差、标准差：标准差s 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程

13、度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差（3）两个变量间的相关关系：有关概念：相关关系与函数关系不同函数关系中的两个变量间是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由小变大，这种相关称为正相关；如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关；如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系回归方程：求回归直线，使“离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法，用最小二乘法求得

14、回归方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据的回归方程，其中是待定参数从与的计算公式与 可以看出：()回归直线必过点；()与符号相同。回归分析：是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，主要判断特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式。比如线性回归分析就是分析求出的回归直线是否有意义，而判断的依据就是|r|的大小：|r|1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱。从散点图来看，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。线性相关检验的步骤如下： ()作统计假设：x与Y不具有线性相

15、关关系;()根据小概率0.05与n2在附表中查出r的一个临界值；（）根据样本相关系数计算公式求出r的值；（）作统计推断，如果|r|>，表明有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系； 如果|r|，我们没有理由拒绝原来的假设。这时寻找回归直线方程是毫无意义的。（4）独立性检验：2×2列联表B合计An11n12n1n21n22n2总计n1n2n构造一个随机变量，利用随机变量2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验：若，则有95%把握认为A与B有关；若，则有99%把握认为A与B有关；其中是判断是否有关系的临界值，应判断为没有充分证据显示A与B有关，而不能作为小于95%的量

16、化值来判断注意：线性回归分析以散点图为基础，具有很强的直观性，有散点图作比较时，拟合效果的好坏可由直观性直接判断，没有散点图时，只须套用公式求r，再作判断即可独立性检验没有直观性，必须依靠作判断3.概率、离散型随机变量及其分布列：（1）概率的有关概念：随机事件和随机试验是两个不同的概念：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验频率与概率有本质的区别，不可混为一谈频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机

17、事件的概率概率是频率的近似值，两者是不同概念。基本事件空间：在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，通常用大写希腊字母表示事件的关系与运算：定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B_ _事件A(或称事件A包含于事件B)_(或AB)相等关系若BA且AB_并事件(和事件)若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的_(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当_且_，则称此事件为事件A与事

18、件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件，则事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB；P(AB)P(A)P(B)1其中，互斥事件与对立事件的区别与联系是：互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件（2）古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型， 有限性试：验

19、中所有可能出现的基本事件只有有限个；等可能性：每个基本事件出现的可能性相等，简称古典概型如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A).从集合的角度去看待古典概型，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集故P(A).（3）几何概型：事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型在几何概型中，事件A的概率定义

20、为：P(A)，其中表示区域的几何度量，A表示子区域A的几何度量要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；等可能性：每个结果的发生具有等可能性。（4）条件概率：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“_”来表示，其计算公式为P(B|A).古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)，其中，在实际应用中P(B|A)是一种重要的求条件概率的方法（5）相互独立事件：对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A与B是相互独立事件若A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB)P(

21、B|A)·P(A)P(A)P(B).若A与B相互独立，则A与、与B、与也都相互独立，反之，若P(AB)P(A)P(B)，则A与B是相互独立事件注意：“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系：相同点为二者都是描述两个事件间的关系.不同点是针对问题的角度不同. 互斥事件是针对一次试验下的两个事件A,B能不能同时发生, 相互独立事件是针对两次或更多次不同试验下出现的两个事件A,B，一个事件对另一个事件发生的概率有没有影响.具体来说,相互独立事件,不是一个事件对另一个事件发生没有影响,而是一个事件对另一个事件发生的概率没有影响.互斥事件不一定是相互独立事件,相互独立事件不一定是互斥事件。若

22、存在不可能事件即概率为0的情况，如在数轴上取一个数，设事件A=“取到的数是1”，事件B=“取到的数是2”，则A、B既互斥又相互独立；但若A、B互斥，且P(A)>0 ，P(B)>0，则它们不可能互相独立：因为A发生的条件下，B不可能发生，即，所以A、B不是相互独立事件（6）概率的计算公式：等可能事件的概率计算公式：；互斥事件的概率加法公式：P(A+B)P(A)+P(B)；对立事件的概率计算公式是：P()=1P(A)；相互独立事件同时发生的概率计算公式是：P(AB)P(A)P(B)；独立事件重复试验的概率计算公式是：。（7）离散型随机变量及其分布列：离散型随机变量的分布列的概念：如果随

23、机试验的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫做随机变量；如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列，具有性质：（）pi_0，i1,2，n；（）p1p2pipn_.二点分布：如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0<p<1，q1p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布超几何分布：

24、在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件Xk发生的概率为：P(Xk) (k0,1,2，m)，其中mminM，n，且nN，MN，n、M、NN*，则称分布列X01mP超几何分布几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量的概率分布列.123kPq qp 我们称服从几何分布，并记，其中二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：（其中），于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作

25、B（n·p），其中n，p为参数，并记.二项分布实际上是对n次独立重复试验而言的，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布。当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列。（8）数学期望与方差.期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为P则称为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.方差、标准差的定义：当已知随机变量的分布列为时，则称为的方差. 显然，故为的根方差或标准差.

26、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.均值与方差的常用性质：()E(ab)aE()b；E()E()E()；D(ab)a2D()；若已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解.() 若X服从二点分布，则E(X)p，D(X)pq.一般地，若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p). 如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解() 若X服从超几何分布，则E(X)； 若X服从几何分布：E(X)；D(X)。期望与方差的关系：(

27、)如果和都存在，则；()设和是互相独立的两个随机变量，则,（不作要求）；()期望与方差的转化：； () （因为为一常数）。（9）正态分布：密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量，位于x轴上方，落 在任一区间 内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的 面积（如图阴影部分）的曲线叫的密度曲线，以其作为图像的函数叫做的密度函数，由于“x(，)”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.正态分布与正态曲线：如果随机变量的概率密度函数为（x(，)，实数和 (>0)为参数），称服从参数为、的正态分布，用表示. 的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线。正态分布的期望与方差：若，则

28、的期望与方差分别为：.标准正态分布：如果随机变量的概率函数为，则称服从标准正态分布. 即。非标准正态分布与标准正态分布间的关系：若，则，据此可以把非标准正态分布的概率转化为标准正态分布的概率：。 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：P(<X)0.683；P(2<X2)0.954；P(3<X3)0.997.“”原则：假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：()提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.()确定一次试验中的取值是否落入范围.()做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“”原则的应用：若随机变量服从正态分布则

29、落在内的概率为99.7 亦即落在之外的概率为0.3，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即不服从正态分布）.【要点突破】题型一、排列组合二项式定理：例1. （1）某次活动中，有30人排成6行5列，先要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为 。（2）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有 种不同的坐法。（3）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有 种不同的坐法。（4）的展开式中含的项为 。（5）设，则的值为 。题型二、统计与统计案例：例2. （1）（2010湖北）将参加夏

30、令营的600名学生编号为：001，002，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003这600名学生分住在三个营区，从001到300在第营区，从301到495住在第营区，从496到600在第营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A26，16，8，B25，17，8C25，16，9D24，17，9（2）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则A. B. C. D.（3）（2011陕西）设··· ，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小

31、二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是(A) 直线过点 （B）和的相关系数为直线的斜率（C）和的相关系数在0到1之间 （D）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同（4）（2011江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差。题型三、概率、离散型随机变量及其分布列：例3. (1) （2011辽宁）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（BA）=（A） （B） （C） （D）(2) （2012新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件

32、3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 。(3) 某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品.（）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.【巩固提高】1. 四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡

33、片可组成不同的四位数的个数为（）A6B12C18D242. 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A.540 B.300 C.180 D.1503. 某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是A4B3C2D14. 为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x（cm）174176176176178儿子身高y（cm）175175176177177

34、则y对x的线性回归方程为A.y = x-1 B.y = x+1 C.y = 88+ D.y = 1765. 学生通过演示实验来估算不规则图形的面积，先在平面内画4条直线x0，x5，y2，y1围成矩形，再画2条曲线y，y，称2条直线y2，y1和2条曲线y，y围成的区域称为曲边矩形，现随机向矩形投射飞标，则落在曲边矩形内的数N1与落入矩形内的数N2的比大约为A. B. C. D. 6. 甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （A） （B） （C） （D）7甲从正方形四个顶点中任意选择两

35、个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（A） （B） （C） （D）8. 一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）ABCD9. 将20名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是 。10. (2012浙江理14)若将函数表示为， 其中，为实数，则_11. 袋内装有30个球，每个球上都记有从1到30的一个号码，设号码n的球重-4n+克，这些球以等可能性从袋里取出（不受重量、号码的影响）如果任意取出2球，则它

36、们重量相等的概率为_12. (2012江苏)设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， （1）求概率； （2）求的分布列，并求其数学期望13.（2012江西）如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，1，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）。（1）求V=0的概率；(2)求V的分布列及数学期望。专题十 概

37、率与统计参考答案【真题感悟】1. C解：,答案应选C。2.D.解：和为奇数个数为：，个位数为0十位为奇数两位数有5个，所以其个位数为0的概率是5/45=1/9。3. C解：设线段AC的长为cm，则线段CB的长为()cm,那么矩形的面积为cm2，由，解得。又，所以该矩形面积小于32cm2的概率为，故选C4. 。解：，甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为【要点突破】例1.（1）1200。解：由题意知本题是一个计数原理的应用，从5列中选择三列C53=10；从某一列中任选一个人甲有6种结果；从另一列中选一个与甲不同行的人乙有5种结果；从剩下的一列中选一个与甲和乙不同行的丙有4种结果，根据分步计数原理知共有10×6×5×4=1200 （2）60.解：先将3人（用×表示）与4张空椅子（用表示），排列如图（×××），这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，第一种情况是分别插入两