2020年中考数学二轮核心考点讲解第12讲运动路径长度问题解析版

1、【中考数学二轮核心考点讲解】第12讲运动路径长度问题知识储备. 想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：1隐圆模型2共顶点模型-也可称“手拉手模型”3主从联动模型-也可称“瓜豆原理模型”4. 旋转问题一本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：5. 线段垂直平分线一一到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6. 角平分线一一到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7. 三角形中位线一一动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8. 平行线分线段成比例一 一动点到某条线的距离与某平行线段成比例9. 两平行线的性质

2、一一平行线间的距离，处处相等一、路径为圆弧型解题策略： 作出隐圆，找到圆心 作出半径，求出定长解题关键：通过隐圆模型中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论二、路径为直线型解题策略： 利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型 确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略： 通常为主从联动模型的衍生版 确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化 找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、主从联动模型中的滑动模型等【例题1】如图，等腰 以PB为直角边作等

3、腰例题精讲Rt AOB 中， AOB = 90° OA = g, OO 与 AB 相切，分别交 OA、OB 于 N、M ,RtA BPQ ,点P在弧MN上由点M运动到点N ,则点Q运动的路径长为（）1【分析】解题标签：【解析】如图，连接设O O与AB相切于C,连接 OC,贝U OC AB,共顶点模型中的旋转相似、OP, AQ,c.3Tn隐圆模型中的动点定长模型、主从联动模型AQABOPOB,即 BAQ= BOP,应Q =23Ts ="7 OA = OB, AOB = 90° OB =屈， AB= 2 二 OP= OC =丄AB =；, ABO和 QBP均为等腰直角

4、三角形，BQBABPBO, ABO = QBP = 45°丄=, ABQ = OBP , ABQs OBP, AQ =，又I点P在弧MN上由点M运动到点N , 0° BOP 90； 0° BAQ 90；点Q的运动轨迹为以 A为圆心，AQ长为半径，圆心角为 90°的扇形的圆弧,点Q运动的路径长为 驾寻乎，故选：D .本题用主从联动模型来接替会更快得到结果DF垂直【例题2】已知 O, AB是直径，AB = 4,弦CD丄AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点,AP于F ,贝U P从C运动到B的过程中,F运动的路径长度（3C.牛【分析】解题标签:“定边对直角”

5、确定隐圆模型【解析】作DQ丄AC于Q,如图,当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时, AFD = 90°点F在以AD为直径的圆上，点F运动的路径为L上，F点与E点重合,弦CD丄AB且过OB的中点,AC= AC = 2 .：；, DOE = 60° DAC = 60° ACD为等边三角形, MQ和ME为中位线, MQ =二 QME = 60°F运动的路径长度=ISo 3故选：A.9国1"定边对定角”确定隐圆模型OB ,作 ABC的外接圆 D,如图1 ,AB= 1, APB =AoB= 30°,【例题3】如图， O的半径为1,弦AB

6、 = 1 ,点P为优弧AB上一动点，AC丄AP交直线PB于点6则厶 ABC的最大面积是.【分析】解题标签：【解析】连结OA、T OA = OB= 1, OAB为等边三角形, AOB= 60°, AC AP, C= 60°, AB= 1 ,要使 ABC的最大面积，则点 C到AB的距离最大, ACB= 60 °,点 C 在 D 上， ADB = 120°,如图2,当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时 ABC为等边三角形，且面积为!3AB2=,4 ABC的最大面积为丄.故答案为：殳.【例题4】 如图，等腰Rt ABC中，斜边AB的长为2, 当点P

7、从点A运动到点A.【分析】解题标签：【解析】连接OC,O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ丄OPC时，点M所经过的路线长为（）B.“线段垂直平分线”产生“平行定距型”作PEAB于E, MH丄AB于H, QFAB于F,如图,C. 1D. 2 ACB为到等腰直角三角形,=1, AC=BC= AB= , A= B=45 , 9为AB的中点，0C 丄 AB , OC 平分 ACB , OC=OA=OB=I , OCB=45 , POQ=90 , COA=90 , AOP= COQ ,在Rt AOP和厶COQ中ZJ= Z OCQ AO = COE COO Rt AoP CoQ , AP=CQ ,易得

8、 APE和厶BFQ都为等腰直角三角形, PE=丄 AP=-2CQ, QF=-2BQ,2 2 2 PE+QF= 2（ CQ+BQ ） = BC=2 2 2 M点为PQ的中点， MH为梯形PEFQ的中位线，111 MH= (PE+QF )=,即点 M到AB的距离为 ，222而 CO=1 ,点M的运动路线为 ABC的中位线，1当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1 ,2故答案为：C.或连接OM , CM ,点M运动路径为线段 OC中垂线【例题5】 已知：如图1,平面直角坐标系中，点 A的坐标是(0, 6),点B在X轴上，且 BAO= 30° 点D是线段OA上的一点，以BD为

9、边向下作等边 BDE .(1) 如图2 ,当 ODB = 45°时，求证：OE平分 BED .(2) 如图3,当点E落在y轴上时，求出点 E的坐标.(3) 利用图1探究并说理：点 D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点 E也会在一条直线上滑动； 并直接写出点E运动路径的长度.D【分析】【解析】.解题标签：“共顶点模型”、“全等或相似转固定角度法确定动点的直线运动”(1) ODB = 45° AOB = 90°OBD = ODB = 45° OD = OB ,BDE是等边三角形， DE = BE ,在厶DoE和厶BoE中,OD=OBEI>EB050E

10、 DOE BOE ( SSS , DEO = BEO ,即 OE 平分 BED;(2) BOE是等边三角形， EDB = 60° OB 丄 DE,设 OD = X,贝U OE = X, BAO= 30° AOB = 90° DBO = ABD = BAO = 30°, BD = 2OD = 2x, AD = BD = 2x, OA = AD+OD = 3x= 6,解得，X= 2, E ( 0,- 2);(3) 如图1 ,在X轴上取点C,使BC = BA,连接CE, ABD+ OBD = CBE+ OBD = 60°, ABD = CBE, 在厶

11、ABD和厶CBE中，ADba=bc“ ZABD=Z CBE,bd=be ABD CBE (SAS), BCE= BAO = 30°当D在OA上滑动时，点 E总在与X轴夹角为30°的直线CE上滑动, 如图可知，点 E运动路径的长度为 6.【例题6】 如图，Rt ABC中，BC= 4 , AC = 8 , Rt ABC的斜边在X轴的正半轴上，点 A与原点重合， 随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着X轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束在这个运动过程中，点 C运动的路径长是 _8 12.【解析】 当A从O到现在的点A处时，如图2,此时CA丄y轴，点C运动的路径

12、长是 CC的长， AC'= OC= 8, AC '/ OB, AC O= COB, cosAC o=cos COB=齢等扬=醫， OC =, CC = 5 - 8 ；当A再继续向上移动，直到点 B与0重合时，如图3,此时点C运动的路径是从 C到C,长是CC ', CC '= OC BC= 44,综上所述，点 C运动的路径长是：4 - 8+4 -4 = &七-12;故答案为：8 - 12.【例题7】如图1,已知抛物线y= x2+bx+c经过原点0,它的对称轴是直线 X= 2,动点P从抛物线的顶点 A 出发，在对称轴上以每秒 1个单位的速度向上运动，设动点

13、P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛 物线于点B,连结OA, AB.(1) 求抛物线的函数解析式；(2) 当 AOB为直角三角形时，求 t的值；(3) 如图2, M AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在15 时，求点M经过的路径长度.O,且对称轴是直线X= 2,【分析】解题标签：“运动路径为来回型” 【解析】(1) t抛物线y= x2+bx+c经过原点 C= 0,=2,贝V b =- 4、C= 0,抛物线解析式为y= x2 - 4x；(2)设点 B (a, a2 - 4a),T y= x2 - 4x=( X 2) 2- 4, 点 A (2, - 4),则 OA

14、2= 22+42= 20、OB2= a2+ (a2-4a) 2、AB2=( a - 2) 2+ (a2 - 4a+4) 2, 若 OB2= OA2+AB2,则 a2+ (a2- 4a) 2= 20+ (a - 2) 2+ (a2 - 4a+4) 2,解得a= 2 (舍)或a=亠，2 BLV)则直线OB解析式为y=-专, 当 X= 2 时，y=- 3,即卩 P (2,- 3), t=(- 3+4) ÷ = 1 ;2= 20+a2+ ( a2 - 4a)若 AB2= OA2+OB2,则(a- 2) 2+ (a2- 4a+4)解得a= 0 （舍）或a=,(a2-4a) 2M是OB的中点,则

15、直线OB解析式为y=丄X, 当 X= 2 时，y= 1,即卩 P (2, 1), t= 1 -(- 4) ÷ = 5;若 OA2= AB2+OB2,则 20=( a- 2) 2+ (a2- 4a+4) 2+a2+ 整理，得：a3- 8a2+21a - 18= 0,a3- 3a2- 5a2+15a+6a- 18= 0,a2 (a - 3)- 5a (a- 3) +6 ( a - 3) = 0,(a- 3) (a2- 5a+6)= 0,(a- 3) 2 (a - 2)= 0,则a = 3或a = 2 (舍)， B (3,- 3),直线OB解析式为y=- ,当 X= 2 时，y=- 2,即

16、 卩 P (2,- 2),. t= - 2 -(- 4) ÷ = 2;综上，当 AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5.（3）TO MAOB的外接圆，点M在线段OA的中垂线上，当15时，点M的运动路径是在线段 OA中垂线上的一条线段, 当t = 1时，如图1,由（2）知 OAB= 90° 此时Rt OAB的外接圆圆心T)当t = 5时，如图2,由( 2)知, AoB = 90°此时Rt OAB的外接圆圆心 M是AB的中点,V B 号却、A(2，_ 4)，M (,-);4S当t = 2时，如图3, 由( 2)知, OBA = 90°此时Rt OAB的外接

17、圆圆心 M是OA的中点,V A (2,- 4), M (1，- 2)；则点M经过的路径长度为【例题8】如图，OM丄ON ,A、 B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB = 5, P为AB的中点.当P移动的路径长为(B由点O向右移动时，点C.【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长” 【解析】 建立如图坐标系.设 OB = t,贝U OA= 5- t, B (t, 0), A ( 0, 5 - t),V AP= PB , P (二,-),2 2令X = 丄,y= ,消去 t得至卩,y=- x+厶 (0x点P的运动轨迹是线段点P的运动路径的长为故选：C.【例题9】如图1,在Rt ABC

18、中， C=90 , AC=6 , BC=8 ,动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单 位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/ BC, 交AB于点D ,连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运 动时间为t秒(t 0,在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长.A1蚤n【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】如图2,以C为原点，以AC所在的直线为X轴，建立平面直角坐标系.依题意，可知 0t 4当t=0时，点Mi的坐标为设直线MiM 2的解析式为y=kx+b，p + i> = O

19、 = -2，*打-，解得 _ Y3, 0),当t=4时点M2的坐标为(1, 4).直线M iM 2的解析式为y=-2x+6 ./点 Q (0, 2t), P (6-t, 0)在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标(，t).M3在直线MiM2上.把 X= 代入 y=-2x+6 得 y=-2 ×+6=t ,点过点 M2 作 M2N 丄X 轴于点 N ,贝U M2N=4 , MN=2 . M1M2=2线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度.【例题10】(1)如图1 ,已知AB=2,点D是等腰RtAABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边 BDE,当点D由点A运动到点C时，求点E运

20、动的路径长；(2) 如图2,已知AB=2,点D是等腰RtA ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶 点的等腰RtA BDE,当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；(3) 如图3,已知AB=2,点D是等腰RtA ABC斜边AC上一动点，以 BD为一边向右下方作以 D为直角顶 点的等腰RtA BDE,当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；(4) 如图4,已知AB=2,点D是等腰RtA ABC斜边AC上一动点，以 BD为一边向右下方作以 D为直顶点 的等腰 BDE,且 BDE=120o,当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【分析】解题标签：“主从联动模型

21、”【解析】2/2 ; 2; 4; 2 6【例题11】如图，已知扇形 AoB中，0A=3 , AOB=120 , C是在上的动点.以BC为边作正方形BCDE ,当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是 D易得点D的运动轨迹的长为=2【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型 【解析】如图所示，3巧题狂练让151.如图，在等腰 Rt ABC中，AC = BC=.匸，点P在以斜边AB为直径的半圆上， M为PC的中点，当点 P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是一_.【解析】如图，连接OP, OC,取OC的中点K,连接MK.90°. AC= BC=；:制， ACB

22、 = AB : := 2, CM = MP , CK = OK, MK =丄OP =丄，2 2当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以 K为圆心，丄长为半径的半圆,2点M运动的路径长= 丄?2?佳=,回 2i r故答案为22.已知线段 AB= 8 二C、D是AB上两点，且 AC= 2, BD = 4, P是线段CD上一动点，在 AB同侧分别 作等腰三角形 APE和等腰三角形 PBF , M为线段EF的中点，若 AEP = BFP ,则当点P由点C移动至U点D时，点M移动的路径长度为 _4二-3.【解析】如图，分别延长 AE、BF交于点H . APE和厶PBF都是等腰三角形，且 AEP

23、 = BFP A= FPB , AH / PF,同理，BH / PE,四边形EPFH为平行四边形， EF与HP互相平分. M为EF的中点， M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN. CD = AB- AC - BD = 8 二-6,. QN =*CD = 4岳-3,即M的移动路径长为 4后-3.故答案是：4.厂/- 3.3.已知线段AB= 10 , P是线段AB上一动点，在 AB同侧分别作等边三角形 APE和等边三角形 PBF , G为 线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为 5.【解析】如图，分别延长 AE、BF

24、交于点H , A= FPB = 60° AH / PF, B= EFA = 60° BH / PE,四边形EPFH为平行四边形， EF与HP互相平分. G为EF的中点，G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为 HAB的中位 线MN . MN = AB= 5，即G的移动路径长为 5.故答案为：54.如图，AB为 O的直径，AB= 3,弧AC的度数是60 ° P为弧BC上一动点，延长AP到点Q,使AP?AQ=AB2 .若点P由B运动到C,则点Q运动的路径长为_BQ,如图,【解析】连接 AB为O的直径, APB = 90°

25、AP?AQ = AB2.APABABAQ即而 BAP = QAB , ABPAQB , ABQ= APB = 90° BQ为 O的切线，点Q运动的路径长为切线长，弧AC的度数是60°, AOC= 60° OAC= 60° °当点P在C点时， BAQ = 60° BQ =：-AB = 3-,即点P由B运动到C,则点Q运动的路径长为 3；.故答案为3 1 ；.5.如图，矩形 ABCD中，AB = 4, AD = 6,点E在边AD上，且 AE:ED = 1:2 .动点P从点A出发，沿 AB 运动到点B停止.过点E作EF丄PE交射线BC于点F

26、 .设点M是线段EF的中点，则在点 P运动的整 个过程中，点 M的运动路径长为 .【答案】【解析】 AD / CB4如图所示：过点 M作GH丄AD.,GH 丄 AD , GH 丄 BC.在厶EGM和 FHM中，AEGD7待匸 GM£ = Z FMHPr/ LtEM = ZFr出H f EGM FHM .J'、=r* MG = MH.BFC点M的轨迹是一条平行于 BC的线段当点P与A重合时,BFi=AE=2,当点 P 与点 B 重合时, F2+ EBFi=90 ° BEFi+ EBFi=90° , F2= EBFi. EFiB= EF1F2, EFiBs E

27、F1F2.BFl EFl ,2_ 4即 FiF2=8, M1M2是厶EFiF2的中位线,1 MiM2=FiF2=4故答案为：4.6.等边三角形 ABC的边长为2.；，在AC, BC边上各有一个动点 E, F ,满足AE = CF,连接AF, BE相 交于点P.(1) APB的度数;CP长度的最小值.【解析】(1) ABC为等边三角形, AB= AC, C = CAB = 60°B圈1(2)当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长;又 AE = CF,在厶ABE和厶CAF中,ab=acZbae=Zacf,LAE=CF ABE CAF ( SAS), AF = BE, ABE = C

28、AF .又 APE = BPF = ABP+ BAP, APE = BAP+ CAF = 60° APB = 180° - APE = 120° .(2)如图 1 , IAE = CF,点P的路径是一段弧，由题目不难看出当 E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时 ABP为等腰三角形，且 ABP = BAP = 30° AOB= 120°=n兀E120- X 2q：TIgOISo3又 AB = 2 ：；, OA = 2,点P的路径是(3)如图 2, IAE = CF,点P的路径是一段弧，当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小, 即点P

29、ABC的中心，过B作BEAC于E', PC=評，_ ABC 是等边三角形， BE '=二_BC = 3,2 PC= 2. CP长度的最小值是 2.方法二：由图1可知,CP最小值等于CO减OA, OA就是那圆弧的半径，可得PC的最小值为2.7.如图，AB为半圆O的直径，AB=2 , C, D为半圆上两个动点(D在C右侧)，且满足 COD=60 ,连 结AD , BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点 D与B重合时运动停止，则点 P所经过 的路径长为.【答案】【解析】解：点C从点A运动到点D与点B从何时，AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧，C,D两点 运动到恰好是半圆

30、的三等分点时， AD与BC的相点P是弧的最高点，作 AP,BP的中垂线，两线交于点 E, 点E是弧APB的圆心；由题意知：AD=BD , PAB= PBA=30 ,连接 AEQE ,根 据圆的对称性得出 A、0、E三点在同一直线上， 易证 ADE是一个等边三角形， AED=60 ,在 Rt ADO 中， DOA=90 , PAB=30 ,A0=1,故答案为：8 如图，A (- 3, 0), B ( 0, 3), C (- 1 , 4), P, C, M按逆时针顺序排列，动点 P在线段AB上， C =90° CPM = 30°请求出当P点从A运动到B点时，点M运动的路径时什么

31、？并求出M点运动路径长度0AM = AC ÷cos30° =【解析】如图当点P与A重合时，作MH丄AB于H ,作CM 1 MH于Mi ,连接BC, CH , BMi .取AM 的中点K,连接KC、KH .或者用相似解答. KM = KA = KC = KH , A、H、C、M四点共圆， CHB = AMC = 60° CB=.-：, BH = BC?tan30=，AH = AB在 Rt ACB 中，AC = JECN +漲 = 2怎,在 Rt ACM 中,在 Rt AMH 中，HM = ',： '=：'：,当点P与B重合时，点 M与M1重合

32、，易知HM1= BC =二, MM 1 = HM - HM 1 = I ，当P点从A运动到B点时，点M运动的路径是线段 MM 1 ,9.如图，矩形ABCD中，AB = 6, BC= 6乙 动点P从点A出发，以每秒 二个单位长度的速度沿线段 AD 运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段 D - O - C运动，已知P、Q同时开始移动，当动点 P到达D点时，P、Q同时停止运动.设运动时间为 t 秒.CB CS(1) 当t = 1秒时，求动点P、Q之间的距离；(2) 若动点P、Q之间的距离为4个单位长度，求t的值；(3) 若线段PQ的中点为M ,在整个运动过程中；直接写出点M运动路

33、径的长度为 ''''2【解析】(1)如图1中，作QK丄AD于K .四边形ABCD是矩形，. BC= AD = 6 二 BAD = 90°AB3AD3. tan BDA BDA = 30°当 t = 1 时，DQ = 2, QK =DQ = 1 , DK = PA=二 PK = 4;,12÷(43)= 7.(2)如图 1 中，当 OVt3寸，QK = t, PK = 6 二2 J；t, PQ = 4, t2+ (2 ；t) 2= 42,解得t = 2或丄二(舍弃)13如图2中，当3V t6时，作 QH丄AD于H , OK丄AD于K ,

34、由题意：AQ = 2t, AH = _ t, AP=., AH = AP, P与H重合，当 PQ = 4 时，AQ = 8, 2t= 8, t= 2,综上所述，t= 2或4s时，PQ= 4.(3)如图3中，作 OK丄AD于K . QH AD于H .四边形ABCD是矩形， OD = OA, OK 丄 AD, DK = AK, DH = FA =t, KH = PK,Q忙EOF丄OH于F .C ? MK / HQ , MQ = MP ,点M在线段OK上,当点Q从D到O时，点M的运动距离=丄OK =如图4中，当点Q在线段OC上时，取CD的中点M ', OK的中点M ,连接MM 则点M的运动轨

35、迹是 线段MM在 Rt OMM 中, MM '=Jw=：；N'' =在整个运动过程中；直接写出点M运动路径的长度为故答案为D, P, Q分别是AB, BC上的动10. （2019秋？江岸区校级月考）如图，正 ABC中，AB= 2 , AD丄BC于点，且PQ = AD ,点M在PQ的右上方且 PM = QM , M= 120°当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为3-二.（看成固定三角板滑动处理/或反其道而行之 ABC 是等边三角形， ABC = 60° MEB = MFB = 90° EMF = PMQ = 120° , PME

36、 = QMF , MP = MQ , MEP MFQ (AAS) , ME = MF , BM平分 ABC, 点M的在射线 BM上运动.如图2中，由题意，当 PQ/ AC时，BM的值最大，最大值 BMcos30cs30v当P1Q1落在BC上时，得到BM1的值最小，最小值 BM1132COS30°,I2/32=1 ,设BM交AC于G ,点M的运动路径是 G M M1点 M 的运动路径的长= MG + MMj = BM - BG+BM - BM1 = 2 - ”：込+2 - 1= 3 -：'： 故答案为3-11.如图，在四边形 ABCD 中， C= 60 ° A= 30

37、 ° CD = BC .(1) 求 B+ D的度数.(2) 连接AC,探究AD , AB, AC三者之间的数量关系，并说明理由.(3) 若BC = 2,点E在四边形ABCD内部运动，且满足 DE2= CE2+BE2 ,求点E运动路径的长度.【解析】(1)在四边形 ABCD中， C = 60° A= 30°. D+ B= 360° - A - C= 360° - 60° - 30° = 270°.(2) 如图，将 ABC绕点C顺时针旋转60°得到 QDC ,连接AQ,. ACQ= 60° AC =

38、 CQ, AB= QD , ACQ是等边三角形，.AC= CQ = AQ,由(1)知： ADC+ B= 270° ADC+ CDQ = 270°可得 QDA = 90° , AD2+DQ2= AQ2 ,. AD2+AB2= AC2;(3) 将厶BCE绕C点顺时针旋转 60° ,得到 CDF ,连接EF , CE= CF , ECF = 60° , CEF是等边三角形， EF = CE , CFE = 60° , DE2= CE2+BE2 , DE2= EF2+DF2 , DFE = 90° , CFD = CFE+ DFE

39、= 60°+90° = 150° CEB= 150° ,则动点E在四边形ABCD内部运动，满足 CEB = 150°以BC为边向外作等边 OBC,则点E是以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为. OB = BC= 2 , 则荒=込里=込.1803点E运动路径的长度是 一.312.已知在扇形 AOB中，圆心角 AOB = 120 ° ,半径 OA = OB = &(1) 如图1,过点O作OEOB,交弧AB于点E ,再过点E作EF丄OA于点F ,则FO的长是 4；_ , FEO =60°(2) 如图2,设点P为弧

40、AB上的动点，过点 P作PM丄OA于点M , PN OB于点N ,点M , N分别在 半径OA , OB上,连接 MN ,贝U 求点P运动的路径长是多少？ MN的长度是否是定值？如果是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)在(2)中的条件下，若点 D是厶PMN的外心，直接写出点 D运动的路经长.【解析】(1) 9E OB, BOE= 90° AOB= 120° AOE= 30° EF 丄 OA , EFO = 90° ,在 Rt EFO 中，OE = OB = 8. OF = OE?cos30= 4 ：'； , FEO = 90°

41、- 30° = 60°故答案为：4', 60;(2)点P在弧AB上运动，其路径也是一段弧，由题意可知, 当点M与点O重合时， PMB = 30° 当点N与点O重合时， PNA= 30°，点P运动路径所对的圆心角是120° - 30° - 30° = 60°,点P运动的路径长=一;1803是定值； 如图1,连接PO,取PO的中点H ,连接MH，NH， 在RtA PMO和Rt PNO中，点H是斜边PO的中点，. MH = NH = PH = OH = PO = 4,2根据圆的定义可知，点 P, M , O, N

42、四点均在同一个圆，即 又 MON = 120° PMO = PNO = 90° MPN = 60° MHN = 2 MPN = 120° 过点H作HK丄MN ,垂足为点K , 由垂径定理得， MK = KN =丄MN ,在 RtA HMK 中， MHK = 60° MH = 4 ,贝U MK =, MN = 2MK = 4 二是定值. H上,(3) 由(2)知，点P, M , O, N四点共圆, H是厶PMN即：点H和点 OD = PD,的外接圆的圆心,D重合，点D是以点=4为半径,O为圆心点P运动路径所对的圆心角是120° - 30

43、° - 30° = 60° °点D运动路径所对的圆心角是 120° - 30°- 30° = 60°点D运动的路经长为 日°兀Xq =匹.180313.如图，AB为 O的直径，且 AB = 4,点C在半圆上，OC AB ,垂足为点O, P为半圆上任意一点, 过P点作PEOC于点丘，设厶OPE的内心为 M ,连接 OM、PM .(1)求 OMP的度数;(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长.【解析】(1) OPE的内心为M , MOP = MOC , MPO = MPE , PMO

44、= 180°- MPO - MOP = 180°- ( EOP + OPE),2 PE OC,即卩 PEO = 90° PMO = 180° - ( EOP + OPE)= 180° -丄(180° - 90° = 135°,2 2(2)如图，V OP = OC , OM = OM ,而 MOP = MOC , OPM OCM , CMO = PMO = 135°所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上(N '和 IfJ ');907 ×221802

45、疋=. '二弧OMC的长= ( Gm),同理：点M在扇形AOC内时,同的方法得，弧ONC的长为22cm,所以内心M所经过的路径长为2= V < TiGm.点M在扇形BOC内时，过 C、M、O 三点作 O 连 OC, O'O,在优弧CO取点D ,连DC , DO ,v CMO = 135° CDO = 180° - 135° = 45° COO=90° 而 OA = 2cm , OO = OC =214. (2019?兴化市模拟)正方形 ABCD的边长为4, P为BC边上的动点，连接 AP,作PQPA交CD边于点Q.当点P从

46、B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（A . 2B . 1C. 4D .二【解析】如图，连接AC,设AC的中点为O '.设BP的长为xcm, CQ的长为ycm.四边形ABCD是正方形，. B= C= 90° PQ 丄 AP,. APB+ QPC = 90° APB+ BAP = 90°. BAP = QPC ABP PCQ二=仝，即2=丄，CQ PC y 4-y y=-丄 x2+=-丄(X- 2) 2+1 ( OV XV 4)；44当X = 2时，y有最大值Icm .易知点M的运动轨迹是 M O M , CQ最大时，Mo =丄CQ =, 2点M的运

47、动轨迹的路径的长为 2OM = 1 ,故选：B.15. （2019?武汉模拟）如图，半径为 向半径OA引垂线PH交OA于点 心I所经过的路径长为（）A运动的点 P,从点P 运动到点B时，内占 P2cm,圆心角为90°的扇形 OAB'的弧当点P在弧AB上从点H .设 OPH的内心为I,C.221【解析】如图，连OI , PI, AI, IOP = IOA , IPO = IPH ,( HOP+ OPH ),2 PIo = 180°-/ IPo IoP = 180°而 PH 丄 OA ,即 PHO = 90 ° , PIO = 180°-

48、( HOP+ OPH)= 180°- ( 180° 90°)= 135° ,2 2又 OP = OA, OI 公共，而 IOP = IOA , AIO = PIO = 135 ° ,所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上;过A、I、O三点作O ',如图，连 O ' A, O' O,在优弧AO取点P,连FA, PO, AIO = 135°, APO= 180°- 135°= 45°, AO ' O = 90° ,而 OA= 2cm,

49、O' O OA= 2112 2× 2=："：,弧OA的长=go JT *-/2ISO ( Cm),所以内心I所经过的路径长为tcm.3故选：B.16. (2017?硚口区模拟)如图,BC是 O的直径，BC = 4 : M、N是半圆上不与 B、C重合的两点，且 MON = 120°, ABC的内心为E点，当点A在1上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是()2 A . g【解析】如图, BAC= 90B .43连接BE、CE,E是内心,C.82H"T16X BEC= 135° ,点E在以P为圆心的PC为半径的圆上运动（轨迹是GH）,在。P

50、上取一点 M ',连接BM '、CM则 M '= 180° - 135° = 45°, BPC= 2 M '= 90°, BCP是等腰直角三角形，T BC= 4',. PB= PC= 4, HPC = 2 HBC = NBC =丄 NOC ,同理 GPB =丄 MoB ,2 2 HPC+ GPB =丄( NOC + MOB )= 30°,2 GPH = 60°,60-41803点E运动的路径长是,17. （2020?河北模拟）如图，在正方形ABCD中，AB = 1 , P是边BC上的一个动点，由

51、点 B开始运动，运动到C停止.连接AP,以AP为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为Q.则点P从B运动到C的过程中，点 Q的运动路径长为（）A . B. "'【解析】如图，延长 AD至U M ,使得DM = AD , 作QN丄BC于N , FA= PQ , APQ = 90°,C.：连接D. -1CM ,则点Q运动轨迹是线段/一-CM .0 APB+ QPN = 90°, QPN+ PQN = 90°, APB = PQN ,在厶ABP和厶PNQ中，rZB=ZPNQ=90s< ZAPB=ZPQN,AP=PQ ABP PNQ ,. AB

52、= PN= BC, PB= NQ ,. PB= CN= QN, QCN = 45°,点Q在线段CM上，点Q的运动轨迹是线段 CM ,CM =-"CD =:.故选：C.18. （2012?南通）无论a取什么实数，点 P （a- 1, 2a- 3）都在直线I上.Q （m, n）是直线I上的点，则(2m- n+3) 2的值等于16 .【解析】令a= 0,贝U P (- 1, - 3);再令a = 1,贝U P (0,- 1),由于a不论为何值此点均在直线 I上,设此直线的解析式为y= kx+b (k 0), -k+b=-3,解得Fk=3Ib=-ILb=-I此直线的解析式为：y= 2x- 1, Q ( m, n)是直线I上的点， 2m- 1 = n,即 2m- n = 1 ,原式=(1+3) 2