正态分布习题与详解非常有用必考点

1、精心整理"0)=,精心整理1.若 xN0,1), 求(l) P(-2.32< x<1.2); P(x>2).解：(1) P(-2.32< x<1.2)= (1.2)-(-2.32)=(1.2)-1-(2.32)=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2) P(x>2)=1- Rx<2)=1- (2)=1-0.9772=0.0228.2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求F，(2)在 N(w, (T )下，求Fw+(T);解：(1) F(3)= (3_2)=(1) =0.8413 2(2) F (w+(r)

2、 =() = 0 (1) =0.8413F ( w (T)=()5 (1) =10 ( 1) = 1 - 0.8413 =0.1587F (l* p+(r)=F (w+(t)F (l(t)=0.8413 0.1587 = 0.68263某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为入区间(1.2, 0.2)之间的概率.(0.2 ) =0.5793,(1.2) =0.8848、一”1 (x 2)2一“解：正态分布的概率密度函数是f(x) -e 2 2 ,x (,),它是偶函数，说、2明w = 0, f(x)的最大值为f( ) = 7;，所以(7 = 1,这个正态分布就是标准正态分布,

3、4.某县农民年平均收入服从=500元，=200元的正态分布.( 1)求此县农民年平均收入在500: 520元间人数的百分比；(2)如果要使此县农民年平均收入在(a, a) 内的概率不少于0.95,则a至少有多大？(0.1 ) =0.5398,( 1.96 ) =0.975 解：设 表示此县农民年平均收入，则 n(500,2002).520 500500 500P(500520) ()()(0.1) (0) 0.5398 0.5 0.0398(2)200200 P( aa)()( ) 2 () 1 0.95 ,200200200查表知： 1.96 a 392. 2001 设随机变量 X N (3

4、,1),若 P(X 4) p,则 P(2<X<4)=(A) 1 p(B)l -pC. l-2PD. 1 p22【答案】C 因为 P(X 4) P(X 2) p ,所以 P(2<X<4)=1 P(X 4) P(X 2) 1 2p,选C.2. (2010新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为()A. 100 B. 200 C. 300 D. 400答案B解析记“不发芽的种子数为E',则 广B(1000, 0.1),所以E(9=1000X 0.1= 100,而

5、X=2 ; 故 E(X) = E(2 9 = 2E(9=200,故选 B.3.设随机变量E的分布列如下：101Pabc其中a, b, c成等差数列，若E($ = ,则D(9 = ()A.B. -C.D.答案D解析由条件a, b, c成等差数列知，2b = a+c,由分布列的性质知a+ b+c =1,又 E( 9 = - a+ c=,解得 a= , b = , c= ,.D(9=x2+2+2=.4. (2010上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已 知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 2答案A解析设白球x个，则黑球7 x个

6、，取出的2个球中所含白球个数为则工取值0,1,2,精心整理"1)=,"2)=,.0X + 1X +2X =,x= 3.5.小明每次射击的命中率都为p,他连续射击n次，各次是否命中相互独立，已知命中次数E的期望值为4,方差为2,则p(Q1) = ()A.B.C.D.答案C解析由条件知上B(n, P),一 )解之得,p = , n = 8,.P(E= 0) = C80x0x8= 8,P(E= 1) = C81x1x7 = 5,P(Q1)=1 P(E= 0) P( 4 1)=1-8- 5=.5已知三个正态分布密度函数4(x)=e(x6R, i = 1,2,3)的图象如图所示，则(

7、)A. 国<亚=四，团=C2> 3 y JjB .凶> 也=/，q= C2< C3C. 曲=楼< 博，<(2= 3D . 国< 22=四，=<(3答案D解析正态分布密度函数 飒X)和 蚓X)的图象都是关于同一条直线对称，所以 其平均数相同，故 国=又 帆X)的对称轴的横坐标值比 Mx)的对称轴的横坐标值 大，故有作收=又(T越大，曲线越“矮胖”，(T越小，曲线越“瘦高”，由图象 可知，正态分布密度函数 帆X)和也(X)的图象一样“瘦高"，帆X)明显“矮胖”，从精心整理精心整理而可知q=(2<(3.6命题“ x R,cosx 0”的

8、否定是：“x R,cosx 0 ” ；若lg a lg b lg( a b),则a b的最大值为4;定义在R上的奇函数f(x)满足f(x 2) f(x)，则f(6)的值为0；已知随机变量服从正态分布N(1, 2),P(5) 0.81,则P( 3) 0.19;其中真命题的序号是(请把所有真命题的序号都填上).命题"xR,cosx 0”的否定是：“ x R,cosx 0”；所以正确.ab a1g a lg b lg( a b),贝U lg ab lg( a b),即 ab a b, a 0,b 0 .所以b (f)2,即(a b)24(a b),解得 a b4,则a b的最小值为4；所以

9、错误.定义在R上的奇函数f(x)满足 f(x 2)f(x)，贝u f(x 4) f(x)，且 f(0) 0,精心整理即函数的周期是4.所以f (6) f(2)f(0) 0;所以正确.已知随机变量 服从正态分N(1,2),P(5) 0.81 ,则P( 5) 1 P( 5) 1 0.81 0.19，所以 P( 3)P(5)0.19；所以正确，所以真命题的序号是.7、在区间1,1上任取两数m和n,则关于x的方程x2mx0有两不相等实根的概率为【答案】1由题意知 1 m 1, 1 n 41.要使方程x2mx0有两不相等实根，则一 22=m 4n,即(m 2n)(m 2n)0 .作应的可行域，如图直线m

10、 2n 0,2n 0,当 m 1 时，nC1,nB22,所以S OBC21日(3。所以方程x2 mxn2 0有两不相等实根的概率为2S OBC8、下列命题:'121dx1 x3;4不等式|x 1| |x 3| a恒成立，则a 4；(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则P(X 0) P(X 2);(4)已知a,b R ,2a b 1,则2 1 8.其中正确命题的序号为 .a b【答案】(3)(1)21dx ln x 12 ln2 ,所以(1)错误.(2)不等式| x 1| |x 3|的最小1 x值为4,所以要使不等式|x 1| |x 3| a成立，则a 4 ,所以(2)正确.(3)

11、正确.(4) 2 1 (2 1)(2a b) 4 1 ®至5 2心1 9,所以(4)错误，所以正确 a b a ba ba b的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了 40场比赛，现从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示，则该样本的方差为j 920 2 3厂- ¥.3 I/、( )A. 26 B. 25C. 23D. 18【答案】D 样本的平均数为 23,所以样本方差为122222一(19 23)(20 23)(22 23)(23 23)(31 23) 18,选D.53有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本数据在8,10内的频数为I. IA. 38B. 57C. 76D. 95【答案】C样本数据在8,10之外的频率为(0.02 0.05 0.09 0.15) 2 0.62，所以样本数据在8,10内的频率为1 0.62 0.38，所以样本数据在 8,10的频数为0.38 200 76,'J If 一 _ _ 1”-I 厂一二八/" /选C.4.(2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)如图所示，在边长为l的正方形OABC1任取一【答案】【答案】B根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为 I.1(x x3)dx (1