第六章线性空间习题答案

1、第六章线性空间3 .检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1)次数等于n(n1)的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2)设A是一个n父n实矩阵，A的实系数多项式f (A)的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3)全体n级实对称(反对称，上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5)全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：(ai,b1)©(a2,b2)= (a1 +a2,b +4 +a1a2), k(k -1) 2、k。由)=(ka1，kb1 +a1)；26)平面上全体向量，对于通常的

2、加法和如下定义的数量乘法：k = 0 ；7)集合与加法同6),数量乘法定义为：k =a ；8)全体正实数R二加法与数量乘法定义为：ka© b = ab , k'a = a .解1)不能构成实数域上的线性空间.因为两个n次多项式相加不一定是 n次多项式，所以对加法不封闭.2)能构成实数域上的线性空间.事实上，V=f( A)|f(x)w R x即为题目中的集合， 显然，对任意的f (A), g( A)三V,及k三R,有f (A)+g( A)=h( A 卢 V , kf (A)=(kf)( A )V ,其中h(x) = f (x)+g(x).这就说明V对于矩阵的加法和数量乘法封闭.

3、容易验证，这两种运算满足线性空间定义的18条，故V构成实数域上的线性空间.3)能构成实数域上的线性空间.由于矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的18条性质，故只需证明对称(反对称，上三角)矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可.而两个对称(反对称，上三角)矩阵的和仍为对称(反对称，上三-1 -角)矩阵，一个数 k乘对称(反对称，上三角)矩阵也仍为对称(反对称，上三角)矩阵.于是，n级实对称(反对称，上三角)矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，都构成实数域上的线性空间.4)不能构成实数域上的线性空间.因为，两个不平行与某一向量a的两个向量的和可能平行于a ,例如：以a为对角线的任意两个向量的和都

4、平行于 a,从而不属于题目中的集合.5)能构成实数域上的线性空间.事实上，V =(a, b)|a,bw R即为题目中的集合.显然，按照题目中给出的加法和数量乘法都封闭.容易验证，对于任意的(a, b), (ai, bi)w V , i =1,2, 3； k, l WR,有由于两个向量的分量在加法中的位置是对称的，故加法交换律成立；直接验证，可知加法的结合律也成立；由于(a,b)(0, 0) =(a +0,b+0+0) = (a, b),故(0, 0)是 V 中加法的零元素；如果(a,b)(a1, b1) =(a +a1, b + b1 +aa1) =(0, 0),则有(a1, b1) = (-

5、a, a2 -b),即(aa 2b)为(a, b)的负元素；a1(1 -1) 2 1、(a, b) =(1a,1b +za ) =(a, b)；2l(l -1) 2l(l -1) 2 k(k -1)2 k (l (a,b) =k (la, lb 2 a ) =(kla,klb 2 a : (la)= (kla, klb +kl(kl -储尸凶)-(a,b)；2 k (a,b)二 l (a,b) = (ka, kb k(k-1a2)二(la,lb l-(l a2)22二 (ka la, kb - k(k 1)a2 lb 此口 a2 kla2)22二(k l)a,(k l)b (k 1)(k -1

6、* 2= (k+l):(a,b)； k (&,匕)二,) =k (a1 a?, b b .)= k(a1 +az), k(b +b2 +2色)+ k(k 1)(a1 +a2)2,2而k(a1,匕)二 k(a2, 2) = (ka1,kb1k(k1a2)二(ka2,kb2, k(k-1a2)22二 (ka1 ka2, kb1k(k -1)a12 kb2 k(k -1)a2 k2a1a2)22-2 -= k(a1 +a2), k(b1 +b2 +a1a2) +k(1(a1 +a2)2,2即 k °(ai,b )©(a2,b2) =k°(ai, bi)©

7、; k(022, b2).于是，这两种运算满足线性空间定义的18条，所以V构成实数域上的一个线性空间.6)不能构成实数域上的线性空间.因为1= 0。口，故不满足定义的第 5条规律.7)不能构成实数域上的线性空间.因为(k +l)铝=0丰2d =a +a =k-a +1、/ ,故不满足定义的第 7条规律.8)能构成实数域上的线性空间.由于两个正实数相乘还是正实数，正实数的指数还是正实数，故R+对定义的加法和数量乘法都是封闭的.容易验证，对于任意的 a,be R + k,l WR,有 a(Bb=ab=ba=b5a ；(a5b) c = (ab) © c = abc = a5 (bc) =

8、 a© (b©c)；a51=a1=a，即1是定义的加法 份的零元素；三 111 1 ,一 一一 a©- =a- =1,即，是a的负兀素； a a a 1 '=a1 =a ； k。-)=k/al) =(al)k =a1k =akl =(kl)二a；(k l) a =ak l =akal=(k a)二(l a) k "a $ b) = k Yab) = (ab)k = akbk = (k *a) ® (k 为).于是，这两种运算满足线性空间定义的18条，所以R、勾成实数域上的一个线性空间.方法技巧直接根据定义逐条验证即可，但是也要注意验证所

9、给的加法和数量乘法是封闭的.4.在线性空间中，证明：1)k0 =0 ；2) k(口 -P) =k« -kP .解题提示利用线性空间定义的运算所满足的规律和性质.证明 1)证法1由于对任意的向量 a ,存在负向量口，使得口+(7) =0,故k0 =k(a +(-«) = ka +k(-a) = ka +k(-1)a = (k +(_k)a = 0ot = 0 ；证法2对于任意的向量a ,有kot+k0 =k(a+0) =ka,左右两边再加上ka的负向量kot,即可得k0=0;2)利用数量乘法对加法的分配律，得到k(a 一 P) + k P = k(a 一 P + P ) =

10、ko(,等式两边再加上kP的负向量kP ,即可得k(a P)=ka -kP .5.证明：在实函数空间中，1, co嫉t, cos2t是线性相关的.解题提示只需要说明其中一个向量可以由其他向量线性表出即可.证明由于在实函数空间中，有 cos2t =2cos2t _1 ,即cos2t可由另外两个向量线性表出，故.2 .1, cos t , cos 2是线性相关的.7 .在P4中，求向量七在基明,与，男,84下的坐标，设2)鸟=(1,1,0,1), %= (2,1,3,1), % = (1,1,0,0), % = (0,1, 1, 1), I = (0,0,0,1) .解法1设1在基鸟，飞，露下的坐

11、标为(k1,k2,k3, K)',则有k =1街+卜2和 +k3%+k4% .2)将向量等式按分量写出，得” k1 +2k2 +k3 =0,小 +k2 +k3 +k4 =0,3k2 - k4 =0,、k1 + k2 - k4 = 1.解方程组，得k1 =1, k2 =0,k3 =1, k4 =0 ,即为之在基鸟，%, %, %下的坐标.解法2将6, %, 3和之作为矩阵的列构成一个矩阵对A进行初等行变换，将其化成最简阶梯形矩阵，从而确定上与%, %, %, %的线性关系.2)对A进行初等行变换，得到12 101111 A =0 3 0 -1J 1 0 -10、0T0b10 001、01

12、0000 0 10-1100 010，方法技巧解法 1,利用了待定坐标法，将线性关系转化成线性方程组，解线性方程组即可；解法 2,利用了初等行变换不改变列向量之间的线性关系，将向量组构成的矩阵化成最简阶梯形矩阵，从而观 察出向量的坐标.8 .求下列线性空间的维数与一组基:1）数域P上的空间PnM ；2） Pn*中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域 P上的空间;解题提示根据各个线性空间的特点，构造出这些线性空间的一组基，同时也可以给出它们的维数.解1） PnM是数域P上全体n级矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，构成的线性空间.对于任意的1 Wi, j <n ,令Eij表示第i行第

13、j列的元素为1,其余元素均为0的n级矩阵.根据矩阵的线性运算以及矩阵相等的定义，容易验证E i,j=1,2，n是线性无关的，且任意 n级矩阵A均可由它们线性表出，从而为Pnxn的一组基.于是 Pn>n的维数为n2.2）仍然使用1）中的符号，并记S= Aw Pn A=A, T = Aw Pn' A' = A, N = A = （aij）= PnXh |aij = 0,i > j.则，按照矩阵的加法和数量乘法，S,T, N分别表示PnM中全体对称、反对称、上三角矩阵全体构成的线性空间.容易验证 E" , i =1,2,，n；Ej +E ji , 1 <

14、i < j < n ,构成线性空间S的一组基，其维数为1 2 n = n(n 1)2Ej -Eji , 1 <i < j <n ,构成线性空间T的一组基，其维数为12 (nF 于Eii , i =1,2，n; E。，1 <i < j <n ,构成线性空间 N的一组基，其维数为-14 -方法技巧求已知线性空间的基和维数，构造出它的一组基尤为关键，这需要注意观察线性空间元素的特征，利用线性空间中元素之间的关系进行分析.9.在P4中,求由基a, M %物到基“1,七，”3,，的过渡矩阵，并求向量 £在所指基下的坐标.设5 =(1,0, 0,0

15、),& =(。,1, 0,0), 1)B =(。, 0,1,0), -4=(0, 0, 0,1), 鸟=(1,2, 1,0),&2 =(1,-1,1,1), 2)；3 =(-1,2,1,1),.；4 =(-1, -1,0,1),”1 =(2, 1,1,1),1=(0, 3, 1 , 0J ,L,，上(X1,X2,X3,X4)在力1尸2,1,3下的坐标;3=(5, 3, 2, 1),4 =(6, 6, 1, 3),7 =(2,1, 0,1), Z =(0,1, 2, 2),3 =(-2,1,1,2), ,4 =(1,3,1,2),£=(1,0, 0, 0)在乐，%, %

16、, %下的坐标;解题提示由于题目是在4维向量空间P4中讨论，这里可以采用定义法或借助第三组基求过渡矩阵；对于求 亡在指定基下的坐标可以采用待定系数法，也可以采用坐标变换法.解1)由于鸟，62,%,%为4维单位向量，故i =1,2,3,4在基, &2,邑，下的坐标向量即为 本身，故0 5 6、3 3 61 2 10 1 3，即为由基普，4,引为到“CL的过渡矩阵.A =( 1, 2, 3, 4)=21-1又由于巴=(X1, x2, x3, x4)在基鸟，%, %,露下的坐标向量即为亡本身，根据坐标变换公式， 可知巴在"1,"2,"3, "4下的坐标

17、为9-27-33、/ 、X12-9-23X20018X3-3926<X4 )V2y3y42）由于这一题目是在令 B = ( 7,2， -3,A =（；1，；2, ；3,工)(1, 2, 3, 4)12-101-111-121111-10121010122-21124），C =（1,"2产3,"4）,则根据初等矩阵与初等变换的对应,P =（ B C）,对矩阵P实施初等行变换，当把B化成单位矩阵-121-1 2-1 11312可以构造E时，矩阵C就化成了-211nM 2n矩阵B'C :4111yi = 9 xi3 x2 x3 9 x4,14123TZ xix2 _

18、 _ x3 _ 二 x427932712二 x1x4,3371126-4 X1x2 -x3 二 x4 .2793274维向量空间P4中讨论，故根据本章教材内容全解的基变换一节求过渡矩阵方法（3）可知，由基 当，无，%,4至U基"1,"2,。3, 44的过渡矩阵为<02；100<00100000111000J=(E B'C)是，由基鸟，%, %, %到基），“2, ”3, ”4的过渡矩阵为!10<0011000111110另外，设修，e2, e3, e4为P4的单位向量组成的自然基,那么(；1, ；2, ；3,4)=©, e2, e3, e

19、4)B .于是= （1,0,0,。）=©, e2, e3, e%）1、0,0 =（备，82, &3,名4）B因此，2在S1,玩，名3,句下的坐标为类似地，构造矩阵P =( B U)，并对其进行初等行变换,将B化成单位矩阵E时，矩阵L就化成了 B：12-191-111-1211-1-1011、10003/130T , T01005/1300010-2/130<00013/13所以，二二(1,0,0,0)在的，齿，£3,£4下的坐标为3、y2_1_5y3-13-20431 1c1-1-1 y1、y2A02-12-10=B=y30-11100<011

20、1 j方法技巧利用n维向量空间中的向量构成矩阵，将求过渡矩阵问题转化成求一个矩阵的逆与另个矩阵(或向量)的乘积问题，注意在计算这样的矩阵乘法时，利用初等变换与初等矩阵的对应，构造 个新的矩阵，利用初等行变换就可求得.10.继第9题1),求一非零向量巴，它在基% %, %, %与J2J3J4下有相同的坐标.解 根据上一题的讨论可知，由乐，"，*3,%到"1J2J3J4的过渡矩阵为21-110 5 6、A =（ 1, 2, 3, 4）=3 3 61 2 10 1 3设所求向量为 之=(X1,X2,X3,X4)，由于鸟，&2, %, %为4维单位向量，故之在基%, %,

21、%, %下的坐标向量即为巴本身，故根据坐标变换公式，可知七在n1,n2,n3,n4下的坐标为A弋,因此，如果t在两组基 下的坐标相同，那么左右两边乘以 A,可彳#人之=之，即（A-E注=0 ,也就是说之是齐次线性方程组（A-E ） X=0的解.利用消元法求得方程组的解为其中k是任意常数.于是Z =（k,k, k, k）', k是非零常数，即为所求向量.特别提醒利用坐标变换公式，将求向量问题转化成了求解线性方程组问题.12.设Vi,V2都是线性空间 V的子空间，且 V1UV2,证明：如果 Vi的维数与V2的维数相等，那么V1 =V2 -证明 设dimV =dimV2 = r .那么如果r

22、 =0 ,则Vi与V2都是零空间，从而，Vi =V2 .如果r >0,任取M的一组基出,%,，%,由于V1UV2,且的维数相等，故，根据基的定义，%, ”,，%也是V2的一组基，于是 2 = 1（%,4,，）=丫2 .方法技巧X1个题目的结论，在证明两个线性空间相等时经常使用.14.设10 3-A0 0'1 0 ,1 2J求P3湍中全体与 A可交换的矩阵所成子空间的维数和一组基.解题提示以待定所求矩阵的元素，利用交换关系、矩阵的相等以及解线性方程组，即可求得.Q1 x12 X13解 设*= ix21 X22 X23是与A交换的任意一个矩阵.首先将矩阵A分解成<X31 X32

23、 X33 ）1A= 0<0由于单位矩阵E与任何矩阵都可交换，故X与A可交换当且仅当 X与B可交换.事实上，由AX =(E +B)X =EX +BX =X + BX , XA = X (E +B) = XE +XB = X + XB可知AX = XA当且仅当BX = XB .将BX =XB按元素写出，即为3x13X13X13000、3x23X23X23二00013X33X33X33 口X11 +X21 +X313X12 + X22 + X323X13 + X23 + X33 /从而X13 = X23 = 0,3X11X21X31 =3X33,3X12 ' X22 ' X32

24、 二 X33,x13 = x23 = 0,即x3i =3x33 - 3Xii - X2”X32 = X33 - 3X12 1 X22 .这是一个含有9个未知数的线性方程组，取 XmXXXXg为自由未知量，依次取值为 5维单位向量,得线性方程组的一个基础解系为10010)/00 0)/03 00.；00 , X3=1-3 0JL000Z0 0 0'X 5= 0 0 0心1 bA交换的矩阵的形式转化成一个与相对简单于是X 1, X 2, X 3, X 4, X 5即为所求空间的一组基，且这个空间的维数为5.方法技巧本题中，利用单位矩阵的良好性质，将求与 的矩阵B可交换的形式，这能够给计算带

25、来简便.19 .设V1与V2分别是齐次方程组 X1 +x2 +2 =0与X1 =x2=Xn=Xn的解空间，证明Pn =V®V2 .证法1 由于齐次方程组 x +x2+xn =0的一组基础解系为：n4即为其解空间的一组基，从而V1 = L（a1,a2,- ,anA）.另外，齐次方程组 xi =X2=- =4的一组基础解系为 P =（1,1，1）即为其解空间的一组基，从而丫2 = L（P）.又由于向量组 四，口2，口 n，P组成的n级矩阵的行列式-1 -1-110001033+3001111 =(_1严n#0 ,11故四，%；",4，P线性无关，从而dim L（ct1,c（2；

26、%，B) = n ,而 L(%匚Pn,所以,根据习题12可知，Pn =1（%，叫,，an.P） .于是,V1 +V2=L(%P2,，%)+ L(B) = L(%F)=pn,且dim Pn =dimV1 十dimV2,故 pn =VV2.证法2由于齐次方程组 K +X2 +xn =0的一组基础解系为:1即为其解空间的一组基，从而V1 = L（a1,ot2，Pn）.P =（1,1，1）',即为其解空间的一组基，从另外，齐次方程组 X1 =x2=xn的一组基础解系为而 V2 = L(P).对于任意的之wmQv2,不妨设之=k1%+k2s2+knFn= lP ,则它+卜2。"=0,按分量写开，即为，_kl _k2