2020年中考数学二轮核心考点讲解第15讲非常规思维问题解析版

1、【中考数学二轮核心考点讲解】第15讲非常规思维问题知识储备、轴对称/翻折的性质1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形；2. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点连线段的垂直平分线;3. 对称轴上的任意一点与每一对对应点所连线段相等；4. 若对应线段或对应线段的延长线相交，则交点一定在对称轴上、梯形常见辅助线的作法作STff、圆幕定理和交弦定理AP BP=DP * CP(dpr=apc)PTjPA PB(PAT-PTRlD割纯定理PA PB=PC * PD(PACPD)托勒密壬理Ae - BD=AD ' BC + AB DC（內接四边形对角线之积二对边乘积之和）四、

2、正弦定理与余弦定理正弦定理Sin A Sin B Sin Cr为ABC 接圆半径）余妾定理Or - b' +e" -2ccos4b 二丁 +c- - 2ac s B= a1 + 2ab COS C五、阿基米德折弦定理阿基米新弦趣M是弧ABC的中j BOABJ LID丄哉则有:CD=AB+BD例题精讲 ¾ i 可认【例题1】（1）如图1,四边形ABCD是菱形， BAD= BCD=60 ° ,当AC=12时，则厶BCD的周长=（2）如图2,若四边形 ABCD不是菱形， BAD=2 ACB=2 ACD=60 ° , AC=12 ,判断 BCD的周长是

3、否发生变化，并说明理由。（3）如图 2,在四边形 ABCD 中，/ BAD= ACB= ACD=45 °，AC=12 ,求 BCD 的周长。国册 的轴对tfh1 井UJ不变.LjI AS >J时称軸.In出AJBC的ft刘ABC 1!5f4ZX'' 连揍rc, I Ar=-ACAC1=-M IZC-UJ-ZCiw3 分c,ri.-r ZW64J , Zfrl,l2Oe Z4ct d = j jr,r-jtfi:点F D段CrM h:、ZCD的周快等于CC"的¾. CCtt *3JC *<? 12占讥MCD的岡氐不变.C#(碇转方注也龍撰

4、f不过比枚奴杂)g j I )4bkkhkkh * bbbkkkkb h Hbdfr ”甘 Id【归纳，本题重点巧用 作轴对称/翻折的方法进行解题】【变式1】已知：如图(1)在Rt ABC中， BAC = 90° AB= AC,点D、E分别为线段 BC上两动点， 若 DAE = 45°(1) 探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系；(2) 已知：如图(2),等边三角形 ABC中，点D、E在边AB上，且 DCE = 30°请你找出一个条件, 使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数.图【解析】(1) DE2= BD2+EC2

5、;(2)当AD = BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形.如图，与(2)类似，以 CE为一边，作 ECF = ECB ,在CF上截取CF = CB ,可得 CFE也厶 CBE, DCFDCA. AD = DF , EF = BE . DFE = 1+ 2= A+ B = 120°若使 DFE为等腰三角形，只需 DF = EF ,即AD = BE,当AD = BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角 DFE为120°【例题 2】如图，四边形 ABCD 中，AD / BC, ABC+ DCB = 90°,且 BC = 2AD ,以 AB、B

6、C、DC 为边 向外作正方形，其面积分别为Si、S2、S3,若S= 3, S3= 9,则S2的值为.S【解析】 Si = 3, S3= 9, AB= _ ：, CD = 3,过A作AE/ CD交BC于E,则 AEB = DCB , AD / BC,四边形AECD是平行四边形， CE= AD, AE = CD= 3, ABC+ DCB = 90°, AEB+ ABC = 90°, BAE = 90 ° , BE= J, ： , L - ；：= 2:， BC= 2AD , BC= 2BE = 4 :， S2=（ 4：）2= 48,故选：D.【变式 2-1 】如图所示.

7、梯形 ABCD 中，AB / CD , A+ B= 90°, AB = P, CD = q, E, F 分别为 AB, CD 的中点，求EF.【解析】过点F分别作FG / AD , FH / BC交AB于G , H ,（如图） A= FGH , B= FHG , B+ A= 90 ° , FGH+ FHG = 90°, FGH是直角三角形， FG / AD, FH / BC, AB/ CD ,四边形ADFG、FHBC都是平行四边形, 又 E、F分别是两底的中点， AE= EB, BH = AG, GE = EH , DF = AG =斗 FC = HB =斗 FG

8、 = AD , FH = BC,在Rt FGH中，即EF是Rt FGH斜边的中线， EF = GH = ( AB - CD)2 25,【变式 2-2 】如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC, AB : BC :CD : DA 3:8: 3 3:2 ,求 B、/ D解：过A作AE/ DC,设AB=3a (a> 0)根据勾股定理逆定理可得BAE=90°, AEB=30°,可推出 B=60°, D=150°【例题3】如图，FA切O于A, PBC是 O的割线，如果 PB= 2, PC = 4 ,贝U RA的长为.【解析】 PA切O于A, PBC是 O

9、的割线，PB = 2, PC= 4, PA2 = PB× PC, FA=J：= 2 二故答案为：2.'：.【变式3-1】如图，CD是 O的直径，以D为圆心的圆与 O交于A、B两点，AB交CD于点E, CD交 D 于 P,已知 PC= 6, PE : ED = 2: 1 ,贝U AB 的长为()C. ： :【解析】延长PD交 D于F. 设 PE = 2x, DE = X.根据相交弦定理，得：CE× ED = AE × BE= PE × EF,(6+2x)× X= 2x× 4x,解得X= 1 .所以AE = BE= 2丄所以 AB

10、 = 4 ：.故选：B.【变式3-2】九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦， 被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA?PB= PC?PD ,小刚很想知道是如何证明的，可已证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD .聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程.小刚又看到一道课后习题，如图2, AB是 O弦，P是AB上一点，AB = 10cm, PA = 4cm, OP= 5cm,求O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他

11、，请写出详细的证明过程.【解析】（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等.已知，如图1, O的两弦AB、CD相交于E, 求证：AP?BP = CP?DP .证明如下：连结AC, BD,如图1 , C= B, A= D, APCsA DPB , AP： DP = CP : BP, AP?BP= CP?DP ;所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等.(2)过P作直径CD ,如图2, AB= 10, FA = 4, OP = 5,. PB= 10 4= 6, PC = OC+OP = R+5, PD = OD - OP = R由(1)中结论得，FA?PB = PC?PD ,.

12、 4 × 6=( R+5) ×( R 5),解得R= 7 ( R=- 7舍去).所以O的半径R= 7cm.【例题4】问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1, AB和BC是 O的两条弦(即折线 ABC是圆的一条折弦)，BC > AB, M是X的中点，则从M向BC所作垂线的垂足 D是折弦ABC的中点，即CD = AB+BD .下 面是运用“截长法”证明 CD = AB+BD的部分证明过程.BE= CE+AC;证明：如图 2,在CB上截取 CG= AB ,连接 MA, MB , MC和MG . M是須的中点，.MA = MC(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分; 实

13、践应用：(2)如图3,已知 ABC内接于 O, BC> AB> AC, D是，的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE= CE+AC .(3)如图4 ,已知等腰 ABC内接于 O , AB= AC, D为AB上一点，连接 DB , ACD = 45°, AE CD于点E , BDC的周长为4. ：_：+2, BC = 2 ,请求出 AC的长.【解析】(1)证明：如图2,在CB上截取CG = AB,连接MA , MB , MC和MG , M是订的中点， MA = MC .rBA=GC 在厶MBA和厶MGC中, A是门的中点, 厶二ZG ,JA=MC M

14、BA MGC (SAS) , MB = MG , 又 MD 丄 BC, BD = GD, DC = GC+GD = AB+BD;实践应用(2) 如图3,依据阿基米德折弦定理可得： 故答案为：BE= CE+AC;(3) AB = AC, AE CD ,根据阿基米德折弦定理得，CE= BD+DE , BCD的周长为4二+2, BD+CD + BC = 4：?+2 , BD+DE+CE+BC = 2CE+BC = 4 二+2 , BC= 2, CE= 2!,在 Rt ACE 中， ACD = 45°, AE= CE= 2 一AC= 4.【变式4-1】我们知道，如图1 , AB是O的弦，点F

15、是的中点，过点F作EF丄AB于点E,易得点E是AB的中点，即AE= EB. O上一点C (AC> BC),则折线ACB称为 O的一条“折弦”.(1) 当点C在弦AB的上方时(如图2),过点F作EF丄AC于点E,求证：点E是“折弦ACB”的中 点，即 AE = EC+CB .(2) 当点C在弦AB的下方时(如图3),其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么 AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明.(3) 如图4,已知Rt ABC中， C = 90°, BAC = 30°, Rt ABC的外接圆 O的半径为2,过O 上一点P作P

16、H丄AC于点H ,交AB于点M ,当 FAB = 45°时，求 AH的长.(3)如图3,在 AC 上截取 AG= BC,连接 FA, FG , FB, FC ,点F是丨的中点，FA= FB,(FA=FB在厶 FAG 和 FBC 中，.卜亠，LG=BC FAG FBC (SAS), FG = FC , FE 丄 AC,： EG = EC,： AE= AG + EG = BC+CE;(2)结论AE = EC+CB不成立，新结论为： CE = BC+AE,理由：如图3,在CA上截取 CG= CB,连接FA, FB, FC,点 F 是罕 的中点， FA = FB, Z- -, FCG = F

17、CB,CG=CBZFCG=ZFCB,FC=FC FCG FCB ( SAS), FG = FB , FA= FG, FE 丄 AC,： AE = GE,： CE= CG + GE= BC+AE ;在 Rt ABC 中，AB = 2OA = 4, BAC = 30°,S在CA上截取 CG= CB,连接PA, PB, PG, v ACB= 90 °,. AB 为 O 的直径， APB = 90° ,v FAB = 45°, PBA = 45°= PAB, FA= PB, PCG = PCB,. BC =B = 2, AC= 2 ；当点P在弦AB上方

18、时,SCCG=CBZPCG=ZPCBPC=PC PCG PCB ( SAS), PG= PB, PA= PG ,V PH 丄 AC , AH = GH , AC= AH + GH+CG = 2AH + BC , 2 _ ；= 2AH+2 , AH =:- 1,当点P在弦AB下方时，如图5 ,在AC上截取 AG= BC ,连接PA , PB , PC ,v ACB= 90 ° , AB 为 O 的直径，v FAB = 45°, PBA = 45°= PAB ,AG=BCZPZPBC(同弧所对的圆周角相等，PA=PB FAG PBC (SAS) , PG= PC ,V

19、 PH 丄 AC , CH = GH , AC = AG+GH+CH = BC+2CH , 2 : = 2+2CH , CH =.：- 1 , AH = AC - CH = 22 -(V- 1)=+1,即:当 PAB= 45° 时，AH 的长为 :- 1 或.>1 .【例题5】阅读下列材料,并完成相应的任务.托勒密定理：托勒密(Ptolemy)(公元90年公元168年)，希腊著名的天文学家，他的要著作天文学大成被后,托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著在厶PCG和厶PCB中,在厶FAG和厶PBC中,PGAPB= 90°, .FA= PB,人称为“伟大的数学书”，托勒密

20、有时把它叫作数学文集 名的托勒密（Ptolemy）定理.托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和. 已知：如图 1四边形ABCD内接于O,求证：AB?CD + BC?AD = AC?BD下面是该结论的证明过程：证明：如图 2,作 BAE = CAD ,交BD于点E. r. . ABE = ACDAC CD.AB?CD = AC?BEC3?V -I 一 ACB= ADE （依据 1） BAE = CAD BAE+ EAC = CAD + EAC即 BAC = EAD ABCsA AED （依据 2）任务：(1)请继续完成上面的证明过程，并回答上述过程中的“依据1 ”和“依

21、据2”分别是什么.(2)当圆内接四边形 ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：.(3)如图3,四边形 ABCD内接于O , AB = 3, AD = 5, BAD = 60° ,点C为丨的中点，求 AC的长.【解析】(1 ) ABC AED AD?BC = AC?ED AB?CD+AD?BC = AC?( BE+ED) AB?CD +AD ?BC = AC?BD上述证明过程中的“依据 1”是同弧所对的圆周角相等.“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似.(2) 当圆内接四边形 ABCD是矩形时，则 AB = CD , AD = BC, AC= BD , AB?CD

22、+AD?BC = AC?BD ,2 2 2 AB2+AD2= bd2,托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：勾股定理， 故答案为勾股定理.(3) 连接BD ,作CE丄BD于E.四边形ABCD是圆内接四边形， BAD+ BCD = 180°, BAD = 60°, BCD = 120°,. =， CD = CB, CDB = 30°,ff在 Rt CDE 中，cos30°=,CD DE = - CD,2 BD = 2DE =:CD,由托勒密定理：AC?BD = AD?BC+CD?AB, AC? CD = 3CD+5CD ,答：AC的长为【变式5-

23、1】问题探究：（1） 已知：如图， ABC中请你用尺规在 BC边上找一点D ,使得点A到点BC的距离最短.（2） 托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.如图， P是正 ABC外接圆的劣弧 BC上任一点（不与 B、C重合），请你根据托勒密（Ptolemy）定理证明：FA =PB+PC问题解决：（3）如图，某学校有一块两直角边长分别为30m、60m的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点 P处，使P到A、B、C三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P?若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说

24、明理由.5【解析】（1）利用尺规作图，过点 则点D即为所求；（2）由托勒密定理得， PA?BC= PB?AC+PC?AB, ABC为正三角形，. AB= BC= AC, PA?BC= PB?BC+PC?BC, FA= PB+PC;（3）以BC为边作正厶BCD ,使点D与点A在BC两侧，作厶BCD的外接圆，连接 AD交圆于P,连接PB,作DE丄AC交AC的延长线于 E, 则点P即为所求，由（2）得，PD = PB+PC, P到A、B、C三点的距离之和= DA ,且距离之和最小，. CD = BC= 30, DCE = BCE- BCD = 30°,A作BC的垂线，交BC于D , DE

25、=15,图由勾股定理得，CE = I I ； ：.：= 15 :,则 AD =,：-；-：；-= 30 . - I ：；,答：P到A、B、C三点的距离之和最小值为 30 J :m.【例题6】如图，在Rt ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法:sinA SinB/ SinA = C=,C=bSinB根据你掌握的三角函数知识在图 的锐角 ABC中，探究b之间的关系，并写出探究过程.园【解析】,理由为:abCSLnASLnBSinC过 A 作 AD 丄 BC, BE AC,在 Rt ABD 中,在 Rt ADC 中,ADCSinC= ,即 AD = bsinC,bSinB =,即 AD = CS

26、inB,CbCSLnBSLnC. CSinB = bsinC,aCSLnASLrLC=b C即同理可得aSinA SLnB SiIlC【变式6-1】观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题在锐角 ABC中， A、/ B、/ C的对边分别是 a、b、c,过 A作 AD丄BC于 D （如图（1）,则 _SinB SLnC,即 AD = CSinB, AD = bsinC,于是 CSinB= bsinC,即,同理有:SinC sinA SirA SinB说 _ b _ usinA SirIB SinC所以即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条 边

27、），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.A（1）如图（2）, ABC 中， B = 45°, C = 75°, BC = 60,则 A=; AC =;（2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执 行常态化巡逻.某次巡逻中，如图（3 ），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西 30°的方向上,随后以40海里/时的速度按北偏东 30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛 A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB.（结果

28、精确到0.01 , .厂八：）【解析】（1）由正玄定理得： A= 60°, AC = 20'故答案为：60°, 20 I,;（2）如图，依题意：BC= 40 × 0.5= 20 （海里） CD / BE, DCB+ CBE = 180°. DCB = 30°, CBE= 150°. ABE = 75°, ABC = 75°. A= 45°.在厶ABC中,AB 二 BCinZCB SLnZAAB20sin0esin45s即解之得：AB = 10 . I 24.49海里.所以渔政204船距钓鱼岛A的距

29、离约为24.49海里.【变式6-2】在厶ABC 中,定理，请用余弦定理完成下面的问题请用余弦定理完成下面的问题:我们称为余弦(1)如图，已知 DEF , E = 60°, DE = 4, DF = .:,求 EF 的长度;（2）通过合理的构造，试求cos1052_2 2【解析】(1)由余弦定理，可得 CoSE = 匚'2 DE-EF E= 60°, DE = 4, DF =：；, 1垃+国於-132X4EF ，解得EF = 1或3;AD 丄 BC, AD = 1.(2)如图，在 ABC 中， B = 45°, C= 30°,在 RTAADC 中，

30、AD = 1 . AC= 2, CD = 3,在 RTAADB 中，AD = 1 , AB=，BD = 1 ,ABC 中，AB = AC = 2, BC = ；： ：+1 , BAC = 180° - 30°- 45°= 105° ,ab2+ac2-bc2+4- (3 T ) 22 AB-AC2×22利用余弦定理可得 cos105= /. J巧题狂练让>ls!*1.如图，AB是圆O的直径，弦 CD丄AB于E, P是BA延长线上一点，连接 PC交圆O于F ,若PF = 7,FC = 13 , PA: AE : EB = 2: 4: 1,贝U

31、 CD 长为4 D【解析】 设BE为X,则PA= 2x, PB= 7x.根据割线定理，得FA?PB = PF?PC ,即 2x?7x= 7 × 20,解得X=r.又 CE2= AE?BE = 4x2= 40, CE= 2 I, CD = 2CE = 4.! .2.定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦阿基米德折弦定理：如图1, AB和BC组成圆的折弦， AB >BC, M是弧ABC的中点，MF丄AB于F ,贝U AF = FB+BC.如图 2, ABC 中， ABC = 60°, AB= 8, BC = 6, D 是 AB 上一点，BD = 1 ,作

32、DE 丄 AB 交厶 ABC 的 外接圆于E,连接EA,则 EAC =60° .【解析】如图2,连接OA、OC、OE, AB= 8, BC = 6, BD = 1 , AD = 7, BD + BC= 7, AD = BD+BC, 而ED丄AB,点E为弧ABC的中点，即弧 AE =弧CE, AOE = COE, AOC= 2 ABC = 2× 60°= 120° AOE = COE= 120°, CAE =COE= 60°故答案为60°.3.如图，在 Rt ABC 中， ACB = 90则AD的长为,点D是AC上一点，以CD

33、为直径的圆与 AB相切于点E,若CD1 .=3,【解析】连接OE, CE, AB与圆O相切于点E,: 一_ 1EC22 2 2OA2 = AE2+OE2, AED = ACE,. tan ACE = tan AED =2DC为圆O的直径， DEC = 90°, A= A, AED ACE, 竺=坐=丄，即卩AE = 2AD,EC AE 2设 AD = X ,贝U AE= 2x, CD = 3, OD = OC = 1.5 ,在Rt AEO中，根据勾股定理得:X= 0 (舍去)或X= 1,即(x+1.5) 2=( 2x) 2+1.52,整理得：X2- X= 0,即 X (X- 1)=

34、0,解得:则 AD = 1.故答案为：14.已知：如图，直角梯形 ABCD中AD / BC, A = 90°, CD = CB = 2AD .点Q是AB边中点，点 P在CD 边上运动，以点 P为直角顶点作直角 MPN , MPN的两边分别与 AB边、CB边交于点M、N.(1) 若点P与点D重合，点M在线段AQ上，如图(1).求证：近NQ-CN=*BG(2) 若点P是CD中点，点M在线段BQ上，如图(2).线段MQ、CN、BC的数量关系是：,并 【解析】(1)如图1 ,过点D作DE丄BC于E, AD / BC, A = 90°,四边形 ABED 是矩形， BE= AD ,设

35、AD = X,贝V CD = CB= 2x, CD = CB= 2AD = 2x,. CE= BE = 2x- X= X,在 RtA CDE 中，根据勾股定理得，DE = U¢0 $' = Q(Zx) 2 -*2 =、电 x, MPN 是直角， MDE + EDN = 90°, 又 ADM+ MDE = 90°, DAM = EDN , Rt ADM S Rt EDN , 辿=鳗即置=AM丽=丽，7=丽， EN= 一 Wl ,x,：'：MQ - CN=：-：(丄X =127 CB= 2x,连接 中占I 八、：(2)如图2,点P是CD PQ / AD

36、, PQ =BC,MQ - CN =_BC;4PQ,过点D作DE丄BC于E,过点P作PF丄BC于F,设AD = X,则CD= CB = 2x, 点Q是AB的中点，1同（1）可求, 点P是CD2DE =-：x,中占I 八、：(AD+CB)=一(x+2X )= x,2 PF / DE , PF =-x,CF =CE =2 又 QPM+ MPN = FPN + MPN , QPM = FPN , PQM PFN ,x,PQFPKLFN ,即 CN = CE- FN =x-二MQ,23 FN =二 MQ ,3 MQ+CN3L1X =4"IBC CB= 2x,BC,点Q是AB边中点，. AQ

37、=B= DE = x,2 MQ = AQ- AM =2ix - AM ,2-AM)-( XAM )=X - .AM - x+J AM =故答案为:/MQ + CNBC.【解析】证明：如图，连接 AD / CG, D = ECG ,在厶ADE和厶GCE中CD的中点，EF丄AB ,垂足为F ,求证：S梯形ABCD= AB?EF.AE交BC的延长线于 G点，连接BE,DB120°CCfXfAICl£ZD=ZGCE7.如图：已知点 A、B、C、D顺次在圆 O上，AB= BD,BM丄AC,垂足为 M .证明：AM = DC + CM .DE=ECt Zdea=Zceg ADE也厶 G

38、CE (ASA), AE= GE,可得： SaABG= S梯形 ABCD= 2SABE= AB × FE .6.如图，在 O中，AB= AC,点D是P '上一动点(点D 不与 C、B 重合)，连接 DA、DB、DC , BAC(1) 若AC = 4,求 O的半径；(2) 写出DA、DB、DC之间的关系，并证明.【解析】(1)如图1 ,连接OC, OA, BC,AB= AC, BAC = 120°, ABC = ACB = 30 ADC = ABC= 30°, AOC= 2ADC = 60°,OC = OA, AOC是等边三角形, OA = AC=

39、 4;(2) CD + BD =：'：AD ,理由如下:延长DB到点E,使BE = DC,连接AE,如图2 ABE = ACD , AB= AC, BE = CD , AB=AC Zabe=ZacbBE=CD ABE ACD (SAS) AE= AD, ADB = ACB = 30°, ADE = E= 30°, DAE = 120°, DE = . -AD 即：BD+CD = VpAD.B【解析】证明:C BAM = BDC ,又 AB = BD ,将厶ABM绕点B旋转到 DBN ,使 BAM与 BDC重合，如图, ABM DBN , AM = DN ,

40、 BM = BN , AMB = N , BM 丄AC,即 AMB = 90°, N= 90°, 在直角 BMC和直角 BNC中，："一山,IBCC BMC BNC , CM = CN , DN = CD+CN, AM = DC+CM .8. 小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究.(1) 更换定理的题设和结论可以得到许多真命题如图1 ,在 O中，C是劣弧AB的中点，直线 CD 丄AB于点E,则AE= BE .请证明此结论；(2) 从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦如图2, PA, PB组成 O的 一条折弦.C是劣

41、弧AB的中点，直线 CD丄PA于点E,贝U AE = PE+PB.可以通过延长 DB、AP相交于 点F ,再连接AD证明结论成立.请写出证明过程；(3) 如图3, PA. PB组成O的一条折弦，若 C是优弧AB的中点，直线 CD丄PA于点E,则AE, PE 与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明. C是劣弧AB的中点， CDA = CDB , DE 丄 AB, AED = DEB = 90°, A+ ADE = 90°, B+ CDB = 90°, A= B, ADB为等腰三角形， CD 丄 AB, AE= BE;(2) 如图2 ,延长DB、AP相交于点

42、F ,再连接AD , ADBP是圆内接四边形， PBF = FAD , C是劣弧AB的中点， CDA = CDF , CD 丄 PA, AFD为等腰三角形， F = A, AE= EF, PBF = F, PB= PF, AE= PE+PB(3) AE = PE - PB .连接AD , BD , AB, DB、AP相交于点F,弧 AC =弧 BC, ADC = BDC, CD 丄 AP, DEA = DEF , ADE = FDE , DE = DE , DAE DFE , AD = DF , AE = EF , DAF = DFA , DFA= PFB , PBD = DAP , PFB

43、= PBF , PF= PB , AE= PE- PB.9. 阅读与思考：阿基米德（公元前 287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、 力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿下面是阿基米德全集中记载的一个命题：AB是 O的弦，点C在 O上，且CD丄AB于点D ,在弦AB上取点E ,使AD = DE,点F是上的一点，且 丨= I ,连接BF可得BF = BE.(1) 将上述问题中弦 AB改为直径AB,如图1所示，试证明BF = BE;(2) 如图2所示，若直径AB= 10，Eo =丄OB，作直线I与 O相切于点

44、F.过点B作BP I于点P.求BP的长.【解析】(1)如图1所示，连接CE、BC, CD 丄 AB, AD = DE , AC= CE, CAE = CEA,又 T ', CA= CF , FBC = EBC, CE= CF,又 A+ F= 180°, CEA+ CEB = 180 ° , CEB= F, CEB CFB (AAS), BE= BF ;(2)如图2所示，连接AF ,T AB= 10, EO=二-=,. EB = 7.5, AB 为 O 的直径， AFB = 90°, I与与 O相切于点F, OFP = 90°, AFO = BFP

45、 ,又 OF = OA, OAF = OFA, OAF = BFP , BP I 于点 P, BPF = 90° ,BF=BA',BP 7.5BP=f10. 阅读下面的材料：如图(1),在以AB为直径的半圆 O内有一点P , AP、BP的延长线分别交半圆 O于点C、D . 求证：AP?AC+BP?BD = AB2.证明：连接 AD、BC ,过 P 作 PM 丄 AB ,则 ADB = AMP = 90° ,点D、M在以AP为直径的圆上；同理： M、C在以BP为直径的圆上.由割线定理得： AP?AC = AM?AB , BP?BD = BM?BA ,2所以，AP?AC

46、+BP?BD = AM?AB+BM?AB= AB?( AM + BM )= AB2. 当点P在半圆周上时，也有 AP?AC+BP?BD = AP2+BP2= AB2成立，那么：(1) 如图(2)当点P在半圆周外时，结论 AP?AC+BP?BD = AB2是否成立？为什么?(2) 如图(3)当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来. (2)【解析】(1)成立.证明：如图(2), PCM = PDM = 90°,点C、D在以PM为直径的圆上，. AC?AP= AM?AD , BD?BP= BM?BC, AC?AP+ BD ?BP = AM?MD+BM ?BC;2 AM?MD + BM?BC = AB2, AP?