正方形的性质与判定讲义汇编

1、学习-好资料正方形的性质及判定一、知识点归纳（一）正方形的概念：一组邻边相等的矩形叫做正方形。（二）正方形的性质：（1）具有平行四边形的所有通性；1、因为ABC虚正方形（2）四个边都相等，四个 角都是直角;（3）对角线相等垂直且平 分对角.正方形是轴对称图形，对称轴有4条，也是中心对称二、例题讲解考点正方形与等腰三角形（等边三角形）结合1 .如图，E是正方形 ABCD的对角线 BD上一点，且 BE=BC,则/ ACE=°2 .如图，四边形 ABCD是正方形，延长 CD到E,使CE=CB,则/ DBE =:3 .如图，正方形 ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分/ DAC,则下列

2、结论：（1） / E=22.5°（2） /AFC=112.5° （3） /ACE=135° ; （4） AC=CE; （5） AD : CE=1 ：事.其中正确的有（）A . 5个B.4个C.3个D.2个4 .如图，等边 EDC在正方形 ABCD内，连结 EA、EB,则/ AEB =° / ACE =°更多精品文档考点正方形与旋转结合1 .如图1,四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若4AFB经过逆时针旋转角 。后与4AED重合， 则。的取值可能为（）A.90 °B.60°C.45°D.30 °2

3、.已知正方形 ABCD中，点E在边DC上，DE = 2, EC = 1 （如图2所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 .3.如图3,在正方形 ABCD中，点E, F分别为DC, BC边上的点，且满足/ EAF=45°,连接EF,求证: DE+BF=EF.考点正方形对角线的对称性1.如图：正方形 ABCD中，AC=10, P是AB上任意一点，PEL AC于E, PFBD于F,则PE+PF= .可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离之 和等于.思考：如若P在AB的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请写出你的结论，并 加以说明

4、.2.如图，点P是正方形 ABCD的对角线 BD上一点，PELBC于点E, PFLCD于点F,连接EF给出下列五 个结论：AP =EF;APEF; APD 一定是等腰三角形；/ PFE = Z BAP;PD= V2EC.其中正确结论的序号是 .思考：当点P在DB的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思考（直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论1）正确结论是否依旧成立？若成立,考点正方形的折叠1 .如图1,将边长为8cm的正方形纸片 ABCD折叠，使点D 为MN ,则线段 CN的长是.2 .如图2,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿 对应点为 A ,且BC=3,则AM的长是.落在BC

5、边中点E处，点A落在点F处，折痕MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A3如图3,正方形 ABCD中，AB=6,点E在边CD上，且CD=3DE,将4ADE沿AE对折至 AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论： ABGA AFG;BG=GC;AG/CF;&fgc=3.其中正确结论的个数是 课后练习1、已知：如图，正方形 ABCD3, CMCD MNL AC 连结 CN 则/DCN=Z B, Z MND:2 .在正方形 ABC珅，AB=12 cm,对角线 AC BDB交于 Q 则 ABO勺周长是（）A.12+12. 2B.12+62 C.12+2D.24+6213 .正方

6、形的面积是-，则其对角线长是. 34 .如图，在正方形 ABCD中，PBC、AQCD是两个等边三角形， PB与DQ交于M, BP与CQ交于 巳 CP与DQ交于F.求证：PM = QM.5 .如图4,正方形ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O,正方形 ABCD'的顶点A与点O重合，A'B'交BC 于点E, A'D'交CD于点F,若正方形ABCD绕点。旋转某个角度后，OE=OF吗？两正方形重合部分的面 积怎样变化？为什么？6 .如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB .试判断PE与PB的关

7、系.7 .如图，正方形 ABCD的面积为12, AADE是等边三角形，点 E在正方形ABCD内，在对角线 AC上有点P,使PB + PE的和最小，则这个最小值为 .上,DC8 .如图，将边长为 4cm的正方形纸片 ABCD沿EF折 E、F分别在边 AB、CD上），使点B落在AD边上的点 处，点C落在点N处，MN与CD交于点P,连接EP.（1）如图，若M为AD边的中点，AEM的周长=cm ;求证：EP=AE+DP;（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与 重合），APDM的周长是否发生变化 ？请说明理由.（三）正方形的判定：（1）平行四边形一组邻边等一个直角（2）菱形 一个直角四边形A

8、BC虚正方形（3）矩形一组邻边等1、判断：（1）四条边都相等的四边形是正方形。（）（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（）（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（）（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（）2.不能判定四边形是正方形的是（）A.对角线互相垂直且相等的四边形B .对角线互相垂直的矩形C.对角线相等的菱形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形3、四边形ABCD勺对角线相交于点 O,能判定它是正方形的条件是（）A. AB=BC=CD=DA B . AO=CO BO=DO AC± BDC. AC=BD AC± BD且 AG BD互相平分D ,

9、 AB=BC CD=DA4、如图，已知四边形 ABCD是菱形，则只须补充条件： （用字母表示）就可以判定四边形 ABCD是正方形.精讲精练例1、已知RtVABC中， C 90 , CD平分 ACB,交AB于D, DF/BC,DE/AC ,求证：四边形 DECF为正万形。例2、已知：如图，在 ABC, AB=AC ADL BC,垂足为点 D, AN是 ABC7卜角/ CAM勺平分线，CEL AN 垂足为点E, （1）求证：四边形 ADC时矩形；（2）当 ABC满足什么条件时，四边形 ADCE1一个正方形？ 并给出证明.例3如图，已知平行四边形 ABCD中，对角线AC, BD交于点O, E是BD延

10、长线上的点，且4ACE是 等边三角形.(1)求证：四边形 ABCD是菱形；(2)若 AED 2 EAD ,求证：四边形 ABCD是正方形.例4、如图， ABC3,点 O是AC边上一个动点，过点 O作直线 MN BC设M皎/ BCA的平分线于 E,交 / BCA勺外角平分线于点 F.求证：EGFO(2)当点O1动到何处时，四边形 AEC喔矩形？并证明你的结论(3)当点O运动到何处时，四边形 AECF!有可能是正方形？并证明你的结论拓展探究(平行四边形与特殊平行四边形的综合运用)1、如图，正方形 ABC邛，E、F、G分别是AR AR BC上的点，且 AE=FB=GC试判断VEFG的形状，并说明理由

11、。2、如图，在正方形 ABCD中，P为BC上一点，Q为CD上一点，(1)若PQ=BP+DQ ,求 PAQ。(2)若 PAQ 45，求证：PQ=BP+DQ.3、如图，菱形 ABCD的边长为2,对角线BD=2 , E、F分别是AD、CD上的动点，且满足 AE+CF=2. (1)求证：VBDE VBCF .(2)判断VBEF的形状。4以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G、H,顺次连结这四个点，得四边形 EFGH .(1)如图1,当四边形 ABCD为正方形时，我们发现四边形 EFGH是正方形；如图2,当四边形 ABCD为 矩形时，请判断

12、：四边形 EFGH的形状(不要求证明)；(2)如图3,当四边形 ABCD为一般平行四边形时，设/ ADC= (0°<<90°), 试用含 的代数式表本/ HAE ;求证：HE=HG; 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由.XFHFF卜组1图？S3例1、在正方形 ABCM边BC的延长线上取一点 E,使CE=CA连接AE交CDT F,求 AFD的度数。变式：1、已知如下图，正方形 ABC由，E是CD力上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF 求证： BE挈 DFC (2)若/ BEC60° ,求/ EFD的度数.例2：如图，E为正方形 ABCD勺BC边

13、上的一点，CG平分/ DCF连结AE,并在CG上取一点 G使EGAE求证：AE1 EG例3、P为正方形 ABC呐一点，PA=1, PB=2, PC=3,求/ APB勺度数.例4如图，P是边长为1的正方形ABCD寸角线AC上一动点 小与八、C不重合)，点E在射线BC上，且PE=PB (1)求证： PE=PD; PE! PD1、如图，四边形ABCDmE方形，以AB为边向正方形外作等边三角形 ABE CE与DB相交于点F,则 AFD =E2、若正方形 ABCD的边长为4, E为BC边上一点，BE=3 , M为线段AE上一点，射线 BM交正方形的一 边于点F,且BF=AE ,则BM的长为。4. E为正

14、方形 ABCDJ一点，且 EBC等边三角形，求/ EAD勺度数.5、如图，正方形 ABCD与正方形 OMNP的边长均为10,点。是正方形 ABCD的中心，正方形 OMNP绕。点旋转，证明：无论正方形 OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求 这个定值.6、如图1,四边形 ABC虚正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C D不重合)，以CG为一边在正方形 ABC0卜作正方形CEFG连结BG DE我们探究下列图中线段 BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关 系：(1)猜想如图1中线段BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFGg着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3