构造全等三角形的方法

1、v1.0可编辑可修改全等三角形的构造方法全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。判 断三角形全等公理有SAS ASA AAS SSSffi HL如果能够直接证明三角形的全 等的，直接根据相应的公理就可以证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据 已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些 较难的一些证明问题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等 量代换，就可以化难为易了。构造方法有：1 .截长补短法。2 .平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线, 对Rt，有时可作出斜边的中线。3 .旋转法：对题目中出现

2、有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造 全等三角形。4 .倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将 分散条件集中在一个三角形内。5 .翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质， 沿轴翻转图形来构造全等三角形。下面举例说明几种常见的构造方法，供 同学们参考.1 .截长补短法（通常用来证明线段和差相等）10“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段 与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法.“补短 法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较夕明加长的那部分

3、与另一较短的2例1.如图所示，在RtAABC, / BC于 D,求证：AB=AC+CD例2 已知：如图， AB=AC E为AB上点D.求证：DE=DF豆的线段加长，使它等于较长的一段，然后证戋段相等.A/ C=90 , BC=AC AD平分/ BACJcpX：E i 卢|丁E.一点，F是AC延长线上一点，且 BE=CF EF交BC于FFAB GF(2)已知：如图，AB=AC E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D,且D为EF的中点.求证：BE=CFABC是边长为1的正三角形,例3(北京市数学竞赛试题， 天津市数学竞赛试题)如图所示,BDBDC是顶角为120的等腰三角形，以D

4、 为顶点作一个 60的 MDN，点M、N分 别在AB、AC上，求 AMN的周长.1.如图已知：正方形 ABCDK / BAC的平分线交BC于E,求证：AB+BE=AC2.（ 06年北京中考题）已知 ABC中，A 60°, BD、CE分别平分ABC 和.ACB,BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.3.已知：如图，ABCD正方形，/ FAD=/FAE 求证：BEDFAE如图，四边形 ABPC,书=月°,= zbpc=.i求证:PB-PC=PA2 .平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt，有时可作出斜边的中线.例AB

5、C, / BAC=60 , / C=440° AP平分/ BAC交 BC于 P, BQ¥分/ABC交 AC于 Q 求证：AB+BP=BQ+AQ说明：本题也可以在 AB截取AD=AQ连OD构造全等三角形，即“截长补短法”.本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： 如图（2）,过。作OD/ BC交AC于D,则AADOi ABO来解决. 如图（3）,过O作DE/ BC交AB于D,交AC于E, WJzXAD董AQO AB竽AEOfe 解决. 如图（4）,过P作PD/ BQ交AB的延长线于D,则AAPD AAPC来解决.如图（5）,过P作PD/ BQ交AC于D,则4AB国4ADP来解决.（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）3 .旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形例.已知：如图（6） , P为 ABC内一点,且PA=3 PB=4 PC=5求/APB的度数.分析：直接求/ APB的度数，不易求，由PA=3 PB=4 PC=5联想到构造直角三角形.4 .倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在 个三角形内。例1.如图（7） AD是ABC勺中线，BE交AC于E,交ADT F,且AE=BE求证：AC=BF5 .翻折法若题设中含有垂线、角的平分