解决平面向量问题“五技巧”

1、解决平面向量问题“五技巧”平面向量具有“数”和“形”的“双重身份”，是数形结合的典范.准确把握平面向量 的概念与运算，正确理解向量的几何意义，充分发挥图形的直观作用，挖掘“式”和“形” 中隐含的几何关系和数量关系，这样才能较好地解决平面向量问题.在熟练掌握解决平面向 量问题的通性通法的基础上，还要体味如何巧解平面向量问题，下面的“五巧”要尽量掌握.一、巧用向量中点公式> 1 在平面内，设点C为线段A5的中点，。为任意一点，则OC = 5（QA + O8）.例1（2011年高考上海卷文18）设A，A，A，4是平面上给定的4个不同点，则使 丽+丽+丽+西=0成立的点M的个数为（）A. 0 B

2、. 1 C. 2 D. 4分析：由条件得函+丽=-（两+两），联想向量中点公式进行简化得 MC = -MD （其中C为线段44的中点，。为线段的中点），进而得到“为CO的 中点，问题即可获解.解：设c为线段AA的中点，。为线段A4的中点，由条件得 丽+做=（丽+两），即加=一而，所以向量与而是相反向量，且共 用起点M,所以M为CO的中点，所以点M的个数是唯一的，选B.点评：利用向量中点公式对条件向量等式进行简化，化归为熟知的问题，简捷获解.2 /Z【牛刀小试】（赣州市2011届高三摸底考试）在长方形45C0中，=AD =与,。为46的中点，若尸是线段OO上动点，则（苏+丽）丽的最小值是(解：由

3、题意得|。|=1 .因为。为A6的中点，所以 PA+PB = 2PO,设| 丽 |=x (0<x<l),则| 而 |=1 x, (PA + PB)PD = 2POPD-1111二21 尸。| | 尸。| cos 180 = -2x(1 -x) = 2(x-)2故所求最小值为一万.)二、巧用。_1_方=0例2 （2011年高考上海卷理11）在正三角形A5C中，。是5c上的一点，AB = 3,BD = 1,则而丽=.分析：欲求而诟，而I而I、cos N8Ao虽然可以利用条件求 出，但是显得繁琐；注意到NA6C = 60'，BD = 1, AB = 3 ,作 Z）石_LAB垂足为

4、E,则可将丽丽转化为丽亚，可快速获解.解：如图，过点。作DE±AB垂足为E ,则 AB-AD = AS（AE + ED）=ABAE + ABED = ABAE = 31AEI=3（3一百町）=为点评：利用a_L= 0结合问题的特征（数量、图形），数形结合，将要求解的 目标进行转化，利于沟通条件而快捷获解.【牛刀小试】（2011年高考湖南卷理14）在边长为1的正三 / 角 形A8C中，设团=2而，CA = 3CEf则诟而=. 爪（批啰意"8 空怛 ADLBCADBE / IV= AD（BC + CE） = ADBC+ADCE = ADCE=| AD|-|CE|cosl503

5、=)三、巧用平面内三点共线的充要条件平面内A,P,6三点共线O 而=2而(2eR ) o对平面内任意一点0,使得OP = aOA + pOB (其中a,77£R，a + 0 = l).例3 (2011届北京市东直门学校第二次月考)己知46,C是平面上不共线的三点，。-1-为&48C的外心，。为48的中点，动点尸满足。尸= §(2 22)OO + (l + 2X)OC(2eR),则点尸的轨迹一定过A46C的()A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心分析：审视条件向量等式，有g(2-24) + g(l + 2X) = l,问题即可获解. 1 111解:因为。尸=

6、67;(2 2X)OO + §(l + 24)OC , -(2-22) + -(1 + 22) = 1 ,所以 尸,CO三点共线.又。为46的中点，所以点P的轨迹一定过A48C的重心，选C.点评：利用平面内三点共线的充要条件快捷揭去条件向量等式的“包装”露出P,C,O三点共线这个“内核”，问题迎刃而解.【牛刀小试】(哈尔滨市2011届高三第二次月考试题)如图， / 酎在AABC中，4"_18。于“，M为AH的中点，若 台 HCAM =AAB + pAC,则丸 + =.(解：因为M为A”的中点，民”,C三点共线，所以2赤=而=。而+/正， a+fl = l.所以AM=5A6

7、+ ?AC,所以 + = ,(a +/) = ,)四、巧用常用结论(1)三角形四心的向量表示：在A45C中，角4民。所对的边分别为。8,c,。为 外心<=>= OB = OC ；G为重心<=> G/4 + G总+ Gd = 0 ：为垂心">HA HB = HB HC = HC HA ；/为内心=a ZA + b力+c /C = 0 . (2) 上£- + 金-(简化为而)所在的直线一定通过A4BC的内心(即AO为4AC的角平 |A8| |AC|_ 丽AC分线)；(3) A8 + 4C所在的直线一定通过AA5C的重心；(4) + | AB | c

8、os B | AC|cosC(简化为所，可证得而就=0)所在直线一定通过AA5C的垂心.例4 (上海市浦东新区2011届高三质量抽测)点。在A46C所在平面内，给出下列关 系式：(i)o4+o豆+。6 = 0：(2)04。月二04。6;二。己04；(3)丽(/£-一-竺-)_|AC| ABJ=(4)(pa + ob)aS = (oS+oc)bc = o.则点°依次为AA6C的()A.内心、外心、重心、垂心 B.重心、外心、内心、垂心C.重心、垂心、内心、外心 D.外心、内心、垂心、重心分析：根据熟知的结论可排除选项A、B、D,选C.解：（1）显然。为AABC的重心；（2）显

9、然。为AABC的垂心；（3）设 =丽7,|AC|而 _ _,=丽，则赤、aM都为单位向量且分别与正、而同向共线.由|A6|_- AC AB。4-（一一） = 0得OA-NM=0,所以OA_LMN,所以。1是NBAC的平分线;AC| abj _同理由无（2£ 出）=0得到06是NA6c的平分线，所以。为AMC的内心.（4） 18cl |W设。为45的中点，由（况+砺）通=0得2历而=0,所以OD_LA6,所以O£>是 A6的垂直平分线.同理由（而+方）团=0得到点O在线段5c的垂直平分线上，所 以。为A45C的外心.点评：熟记一些重要而常用的小结论，对解决数学问题是很有

10、益的，或者可以开启解题 思路，或者可以直接用于解题赢得考试时间.【牛刀小试】（安徽蚌埠二中2011届高三第四次质量检测题）已知A45C所在平面上的动点M满足2丽7初而1则M点的轨迹过A45c的（）A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心（解：由己知得2而团=（衣+丽）（衣一通），即2AM BC =（AC + AB） BC,所以第2丽（通+ /）=0,设8C的中点为 D，则而+/=2而，所以前2丽7 = 0,所以M0_L8C,所以动点M在6C的 垂直平分线上，所以M点的轨迹过AABC的外心，选D.）五、巧构图形1 .构图求向量夹角的取值范围例5 （2011年高考课标全国卷理10）己知。与均为单位向

11、量，其夹角为6,有下列 命题：P： |。+叫lo9e0,）%： |。+b|>1<=>。£（券，司JTJTp3： a-b>l< 0eQ,) p4 ： a-b>lo 其中真命题是A. P, p4B. pl9 p3 C. p2, P3 D. p1, p4分析：利用向量的三角形法则分别表示。+、a-b,固定。而让旋转，观察角，如 何变化结合条件即可确定相应的取值范围.。增大，|而|=|。-增大，解：如图（1）, |而|=|。|, |就|衣|=| + ", /CBD = e ,当前绕着点6逆时针旋转时，。增大， |AC|=|a + 0减小，当夕=1

12、-时AABC为正三角形，易知 |。+|>1。夕£0,亨）.如图（2）|福卜|。1，I/1=1"， CB=a-b, 4CAB = 8,当正绕着点A逆时针旋转时, 易知，|。一|>1 <=>6£（?,乃,故选A.点评：向量具有“数”和“形”的双重特征，利用向量的三角形法则和运动思想，研究 相应条件下6的取值范围，解法新颖独特，直观快捷（只画图让图在大脑中运动并抓临界值 即可获解）.【牛刀小试】（2011年高考浙江卷理14）若平面向量Q、/满足|a|=l, I尸区1, 且以向量Q、2为邻边的平面四边形的面积为:，则向量Q与2的夹角夕的取值范围为（

13、解：如图，在单位圆中，取半径04,设3=。，作 08_104交圆于点5二08的中点0,过点。作OA的平行线交 单位圆于点瓦厂.设历=夕，当点。在线段成（含两个端点）上 时满足区1,且以向量a、2为邻边的平面四边形的面积为g,易知= ZFOA = ,所以三） 666 62 .求向量的模的最值例6 （2011年高考天津卷理14）己知直角梯形46CD中，AD/BC. ZADC = 90 , AD = 2, BC = l, P是腰OC上的动点，则|再+ 3方|的最小值为.分析：构图时自然是从直角梯形45CD内的向量图 形出发，扣蛉而螃点酬用二向量三角形来 描述转化为不+而即|巨5 + 3而|=|不|,

14、点P在OC 上运动时，动点G在直线人£上的投影点E到点。的距 离为2,动点尸在直线A3上的投影点N到点。的距离 为3,于是获得构图思路.解：作出直角梯形ASC0,延长至点E使得AQ = ZE,过点E作石_LAO.延 长C6至点M ,使得M6 = 28C,过点M作M/V_L4£）,交OA的延长线于点N,如图.由 AD = 2, BC = 1,易知EN = 5.延长AP交七”于点G,延长PB交MN于点F ,则 PA + 3PB =GP+PF = GF .当点尸向点C靠近时，点G向上运动，点尸向下运3动.GE = 2PD = 2（CD-PC） , FN = 2PC+CD ,当 G

15、E = f7V 即尸。=8 时 GF/AD,此时|不|取得最小值5,所以|+ 3方|的最小值为5.点评：依据纪而色产点及已知条件进行，充分利用平面几何知识巧妙构图，数形 结合在运动中探索|再+ 3方|的最小值.【牛刀小试】（2011年高考辽宁卷理10）若a, b,。均为单位向量，且。力二0, （a-c）（b-c）0,则 |a + -c| 的最大值为（）A. /2-1 B. 1 C. y/2 D. 2（解：因为。，b, c均为单位向量，且。0= 0,所以构造单 位圆，如图，使得况=a, OB = b , OC = c , OB LOA.又 （oc）（c）0,所以4cA290 ,所以OC只能在N5O4内或者与OA （或06）重合.作历=。+