解三角形经典练习题集锦(附答案)

1、解三角形一、选择题1.在AABC 中，若C = 90°,a = 6,B = 30°,则0一。等于（）A. 1 B. -1 C. 2M D. -2>/32 .若A为AABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A. sin A B. cosA C. tan A D.! tan A3 .在AABC中，角A, 8均为锐角，且cos A > sin 8,则4ABC的形状是（）A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等腰 三角形4 .等腰三角形一腰上的高是JJ,这条高与底边的夹角为60°,则底 边长为（）A. 2 B. C. 3 D. 273 25 .

2、在ABC 中，若。= 2sin8,则 A 等于（）A. 30°或60°B. 45°或60° C. 120°或60° D. 30°或 150°6 .边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°二、填空题1 .在对4ABC中，C = 90（> ,则sinAsinB的最大值是-'八 Av/ 4丁 a bcosB cosA、2.在ZkABC 中,求证：=c（）b a b a3. 在 锐 角 ZXABC 中

3、， 求 证：sin A + sin 3 +sin C > cos A + cosB + cosC °4.在AABC中，设。+，= 2）.4一。=巳，求$皿8的值。32 .在AABC 中，若+0 +。2,则A=°3 .在AABC 中，若 =2,8 = 30°,。= 135°,贝布=。4 .在AABC 中，若 sin A : sin B : sin C = 7 ： 8 ： 13,则 c=。5 .在aABC中，AB =底-应 C = 3N ,则AC + 8C的最大值是 。三、解答题l.lztAABC 中，若4<:05/1 +。<：0$8 =。

4、<：05。,则4八8© 的形状是什么？解三角形一、选择题1 .在AABC 中，A:B:C = 1:2:3,则a:c等于（）A. 1:2:3 B. 3:2:1 C. 1:>/3:2 D, 2:>/3:12 .在AABC中，若角8为钝角，则sin 8sin A的值（）A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定3 .在AABC中，若A = 28,则“等于（）A. 2/?sinA B. 2/?cosA C. 2sinB D. 2/?cosB4 .在AABC 中，若Igsin A -IgcosB IgsinC = lg2 , RijAABC的形状是（）A.直角三角形B,

5、等边三角形C.不能确定 D.等腰三角形5 .在 ABC 中，若（a+ + c）（/? + c a） = 3机 则 A =（）A. 90° B. 60° C. 135° D. 150°136 .在AABC中，若 =7,Z? = 8,cosC =一,则最大角的余弦是（）147.在AABC中，若tan±LC = ±±,则 ABC的形状是（）2 a+bA.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角 形或直角三角形二、填空题若 在ZABC 中， 乙4 = 60°力=1,5川=J5,则a+ b + c -O si

6、n A + sin 8 +sin C2 .若A,8是锐角三角形的两内角，则tanAtanB 1 (填或<)。3 . 在 4ABC 中 ， 若sin A = 2cos BcosC,则 tan 8 +tan C =°4 .在4ABC中，若a = 9/ = 10,c = 12,则AABC的形状是5 .在 ABC 中，若 a = J5,b = y/2,c =则A =。26 .在锐角4ABC中，若a = 2,b = 3,则边长c的取值范围是三、解答题1.在 AABC 中，A = 12N,c>b,a = 后,S,ABc=6，求 b,c，（数学5必修）第一章：解三角形一、选择题1 .

7、A为AABC的内角，则sinA + cosA的取值范围是()A. (V2,2)B. (/2,V2)C. (1,D. >/2,2 .在AABC中，若。=90°,则三边的比纪2等于() cnr A + Bnr A 8入.A + BA . V2cos B . V2cos C . 、/2sm222D. V2sin 23 .在AABC中，若a = 7,0 = 3,c = 8,则其而积等于()A. 12 B. C. 28 D. 24 .在aABC中，ZC = 90° , 0° < A < 45° ,则下列各式中正确的是( )A. sin A >

8、; cos A B. sin B> cos AC. sin A > cos BD. sin B > cos B5 .在AABC 中，若(a + c)(a-c) = S + c),则 NA=()A. 90° B. 60° C. 120° D. 150°2.在锐角 AABC 中，求证：tan A - tail B - tan C > 1 o6 .在 ABC中，若2 =则 ABC的形状是（）tan 8 b-A.直角三角形B.等腰或直角三角形 C.不能确定D.等腰三角形ABC3.1AABC 中，求证:sin A + sin 8 +sin

9、C = 4coscoscos 04.在AABC 中，若A + 8 = 120°,则求证：= 1。 b+c a+c3b5.在AABC 中，若acos°i-ccos2 =,则求证：a + c = 2b222二、填空题1 .在4ABC中，若sinA>sin8,则A一定大于8 ,对吗？填(对或错)2 . tiAABC 中，若cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1,则 ABC 的形状是 o3 . 在 ZABC 中， NC 是钝角， 设x = sinC,y = sin A + sin 8, z = cosA + cosB,则x, y, Z的大小关系是。4 . 在

10、 4ABC 中， 若 a + c = 2b , 则cos A + cosC-cosAcosC + -sinAsinC =。35 .在 ABC中，若2怆1"18 =怆1皿4 +怆m11。,则8的取值范闱是O6 .在AABC 中，若b? = ac ,贝1卜0$(4 。) + <：058 +。0028的值是o三、解答题1.在ABC 中，若(cJ+2)sin(A-8) = (cJ-/)sin(A + 8),请判断三角形的形状。1.如果4ABC 内接于半径为R的圆27?(sin2 A sin2 C) =-b)sin B,求AABC的面积的最大值。1 一sin A sin B = sin

11、A cos A = sin 2 A < 一2222.120° cos A ="一十二"一 =-M = 120°2bc 23.V6-V2.1C() b bsinA . . «、1-0. #一2A = 15 ,=,a = 4sinA = 4sin 15 =4x-sin A sin B sin B44. 120° a I b ： c= sin A : sin8 ： sinC = 7 ： 8 ： 13,a = 7k,b = 8k,c = 13k3.已知AABC 的三边a >0>c且。+ c = 2/?,4-C = £

12、;,求a:Z?:c24 . 在 2ABC 中， 若(a + Z? + c)(a + c) = 3c/c , 且 tan/ + tanC = 3 + >/3 , AB边上的高为46，求角A,8,C的 大小与边a,Z?,c的长cosC = S -匚=_J_,C = 120° 2ah 2一 AC BC AB AC + BC AB ”sin B sin A sinC sin 8 +sin A sinC=2(5/6 - &)(sin A + sin B) = 4(娓-&) sin 土吆 cos 22= 4cos 与2 4,(AC+8C)m” =4三、解答题1 .解：a c

13、os A + b cos B = c cos C, sin A cos A + sin BcosB = sinCcosCsin 2A + sin 2B = sin 2c 2 sin(A + B) cos(A - 8) = 2 sin C cos Ccos(A-B) = -cos(A + B),2cos AcosB = 0cos A = 0 或 cos 8 = 0,得 A = £ 或 3 =二 22所以AABC是直角三角形。22>2» 2222 . 证明：将cos8=" + » cos A =+C土代入右边2ac2bc得右边=c(a2 +c2-b2

14、b2+c2-a 2a2 一2b22abc)=labc2ab基础训练A组一、选择题1 .C - = tan 30b = a tan 30° = 2后,c = 2b = 44,c-b = 26 a2 . A 0< A<,sin A>03 .Ccos A = sin( -A) > sin B,-A. B 都是锐角，则222224 .D作出图形5 . D b = 2a sin B, sin B = 2 sin A sin B, sin A = -,A = 30° 或 150°26 .B设 中 间 角 为 8, 则S2 +所一721cos6 = =

15、,8 = 60"80" -60。= 120° 为所求2x5x82二、填空题上二=匕=左边, ab h acosB cosA证明：V AABC是锐角三角形，,A + B>-9即 27T:.sin A >sin( -B),即 sin A > cos B ； 2sin B > cos C ： sin C > cos A： sin A + sin 3 + sin C > cos A + cosB + cosC4.解a+ c = 2b,sin A + sinC = 2sinB八. A + CA-C- BB2 sincos= 4sin co

16、s,2222.B 1 A-C sin = - coscos B _ 1sin B tan B3.2 tan B + tan C =，tan A > !- Jan A tan B > 1 tanBsin B sin C+,sin8 = 2sin&-= 2x 鸟巫=叵 22448cos B cos Csin Bcos C + cos B + sin C sin(B + C) 2sin Acos B cos C综合训练B组-sin A 2sin A一、选择题l.C4.锐角三角形 C为最大角，cosC>0,C为锐角60°A = ,B = ,C = ,a :b:c =

17、 sin A: sin B: sin C = : = 1: 5/3 : 26322 2 22.A A +4一8 , 且A,九一8都是锐角，cos一2bc6+1sin A < sin(4 一 B) = sin B3.Dsin A = sin 28 = 2sin Bcos B.a = 2bcos B4.D1g = 1g 2, = 2, sin A = 2 cos B sin C cos B sin Ccos B sin Csin(B + C) = 2cosBsinC,sin B cos C - cos B sin C = 0,sin(8 C) = 0,8 = C,等腰三角形5.B(a + Z

18、? + c)( + c-a) = 3bc.(b + c)2 - a2 = 3bc,.?,>. Zr +L an +L -c/=cos A =2bc4m=6006.Cc2 =a2 +b2 -2ahcosC = 9,c = 3t B 为最大角,cosB = - -77.DA-B a-b sin A - sin 3 tan2c°sXinTa+b sinA + sinB 2sinA1£cos±二、1.25/2x而+ 应 >/2x>/2x(>/3 + l) 2A 8 tan2A B tan2A + B tanJan2填空题2.>AB 八 A+B

19、 =0,或tan= 12V393=石,c = 4, a2 = 13, a = y/V3sin A + sin 8 +sin C sin 4 小 3 Va2 +h2 >c2a1 +c2c2 +b2 >a2三、解答题兀S呜-8)tan A > tan(B)=2cos(-B)213 >c24 + c2 >9,5<c2 <13,5/5 <c<>/13 c2 +9>4L解:= besin A = #,bc = 4,2a1 =b2 +c2 -2bccosA,h + c = 5 ,所以。= l,c = 42.证明：V AABC是锐角n:.si

20、nA >sin(-B),sin B > cos C ： sin C > cos Asin A > cos B ； 4 c .4 八 -sin Asin Bsin C .sin A sin B sin C > cos A cos B cos C,> 1cos A cos 8 cosc:.tan A - tan B - tan C > 13.sin A + sin 8 +sin C = 2sin2c . A+B A8 =2 sincos明A+B A-8cos+ sin(A + B)4.2=2 sin (cos22A8A+8+ cos= 2cos£

21、.2coscosABC=4 cos coscos 222:.sin A + sin 8 + sin C = 4cos-cos-cos222证明：要证一+一 二 l,b+c a+cr 曲,"+ac + /+"c只要证茄kE=1,即/+从一="而 A + 8 = 120°,，C = 60。2则 Isin AsinC = 4sin2 sin2 2 + b2 2cosC =+b7T -c2 = 2abcos600 = ablab，原式成立。, 丁皿2 c 2 A 35. 证明： a cos + c cos =222.1 + cosC, 1+cosA 3sinB

22、sin A + sinC-=222即 sin A + sin A cos C + sin C+sin Ccos A = 3 sin B:.sin A + sin C + sin(A + C) = 3 sin Bcos A + cos C - cos A cos C + -sin AsinC3AQ=-(1 - cos A)(l - cos C) +1 + 4sin2 sin2 22=-2 sin2 -2sin2 + 4sin2 sin2 + 1 = 1£) %'2)即 sin A + sinC = 2sinB, A a+c = 2b提高训练c组tan A + tan C tan

23、- B = tan A tan C. tan B = - tan( A + C)=tan A tan C-1tan B = - tan(A + C) =tan A + tan Ctan2 B-l一、选择题1. C sin A + cos A = >/2 sin(A + ), 4tanA + 8 < , A v -B.sin A vcosb.sin B <cos A,y <z 22 AC . 4+C A+C cos= 4sincos B - tan B = tan A + tan C > 2jtan AtanC = 2 tan Btan' B>3tan

24、8,tanB>0=> tanB>y/3B> 3而 0<4<4,一vA + < =< sin( A + )<144424c 卜 a + b sin A + sin B.八2. B = sin A + sin BcsinC.A + BA - B 大 A 8=2 sincos= 72 cos2223. D cos A = ,A = 60°, AHC = be sin A = 6百6. 1 lr = ac.sin2 B = sin Asin C, cos(A C) + cosB + cos2B=cos A cos C + sinAsinC

25、 + cos B + l-2sin2 B=cos Acos C + sin Asin C+cos B + l- 2sinAsin C=cos Acos Csin Asin C + cos B +1= cos(A + C) + cosB + l = 1三、解答题4. DA + B = 90° 则 sin A = cos 8,sin B = cos A , 0° v A v 45”,1.解:sin A < cos A , 45° < B <90。,sin 8 >cosB er +b2 _ sin(A + B) a2 _ sin AcosB _

26、sin2 A a2 -b2 sin(A-B) b2 cos Asin B sin2 Bcos B sin A .八八八4 c -tc / c 八=,sin 2A = sin 28,2 A = 28?戈 2A+ 28 = recos A sin B，等腰或直角三角形5. C a2 -c2 =b2 +bc,b2 +c2 - a2 =-be,cos A = - - ,A = 120°26.B2.sin A cos B sin2 A cos 8 sin A .4. 八 人-=；,=,sin A cos A = smB cos B cos A sin B sin- B cos A sin B解

27、：2R sin A sin A 2R sin C sin C = (yfla 一b) sin B,tzsin A -csinC = (/2a - b)sin B.a2 -c2 =垃ab -b，,sin 2A = sin 28,2A = 28或 2 A + IB = 7t二、填空题a2 +b2 -c2 = flab,cosC =a2 +b2-c2 _ yjllab,C = 45°max1 . 对 sin A > sin B,则> => a > b = A > B 2R 2R2 .直角三角形 -(1 + cos 2 A +1 + cos 28) + cos2

28、 (A + B) = 1, 2(cos 2A + cos 28) + cos。(A + 8) = 0,2 cos( A + B) cos(A - B) + cos2 (A + 8) = 0= 2R,c = 2Rsin C =m,6 +b2 2R2 =宿 b, sinC2r22R2 + y/2ab = a2 +b2 > 2ab,ab < =2-72s = L.、c =旦必叵当,s244 2-723.cos A cos Bcos C = 0另法：S = absinC =x 2/?sin Ax27?sin Bc<a+b. sin C < sin A + sin B.x<y,x<y<z=x 2Rsin Ax2Rsin B = >/2R2 sin Asin B 44 sin A + sin C = 2 sin 8,2 sin2A CA + Ccos= 2 cos=>/2R