中考培优竞赛专题经典讲义第4讲几何模型之“K”字型

1、第4讲几何模型之“ K ”字型模型讲解AD【例题讲解】(直接“ K”字型)例题1、( 1)问题：如图1,在四边形? BC= AP ? BP;ABCD 中，点 P 为 AB 上一点 J DPC = Z A=Z B= 90 ° ,求证(2)探究：如图2,在四边形ABCD中，S3钝角型点P为AB上一点，当/ DPC = Z A=Z B = B时，上述结论是 否依然成立？说明理由.(3)应用：请利图上1)(2)获得的经验解决问题：点B运动，如图?？?在PC ABD A=Z AB= 96，。AD = BD = 5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点 A出发，沿边 AB向 且满足/ CPD =

2、Z A,设点P的运动时间为t (秒)，当DC = 4BC时，求t的值.?ADP + Z APD = 90Z BPC + Z APD = 90 °,?ADP = Z BPC,ADAPBPBC? ADP BPC ,?AD?BCS= Ap?BP ；(2)结论 AD?BC = AP?BP仍然成立.理由：如图2,?BPD = Z DPC + Z BPC ,Z BPD = Z A+Z ADP ,?DPC + Z BPC =Z A+Z ADP .VZ DPC = Z A=Z B= 0,? Z BPC = Z ADP,? ADP BPC,AD=APBPBC? AD?BC = AP?BP ;(3)如图

3、3,图3?/ DC = 4BC,又 V AD = BD = 5, ? DC = 4, BC= 1,由(1)、(2)的经验可知 AD?BC = AP?BP ,? 5 X 1 = t (6 - t),解得：tl= 1 , t2= 5,? t的值为1秒或5秒.例题2、如图，在等边 ABC中，将厶ABC沿着MN折叠。使点A落在边BC上的点D处(1)若AB= 4,当厶BMD为直角三角形时，求AM的长。(2)当 BD: CD = 1:3 时,求 AM:AN 的值。解：(1)如图 1，设 BM = k, AM = DM = 3 k.可得方程 k+ 3k= 4,得 k= 2+ 2 .3,得 AM = 2 (3

4、- 3).同理，如图 2, 可求得AM = 8 3 12.(2)如图3,设BD = m, CD = 3m,可得 BDM 与厶CDN的周长比即相似比为 5: 7.可得 AM : AN = DM :DN = 5: 7.【巩固练习】1.则CF等于(A. 1如图，已知 ABC和厶ADE均为等边三角形，)D在BC上，DE与AC相交于点F,AB = 9, BD = 3，图2C. 32.如图坐标系中，0(0, 0) , A (6, 6岛),B (12, 0),将厶OAB沿直线线CD折叠，使点AA恰好落在线段OB上的点E处，若 OE= 24,贝U CE : DE的值是 5Ay3.正方形ABCD边长为4, M、

5、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM丄MN.(1)设BM = X, CN = y,求y与X之间的函数关系式. 在点M, N运动的过程中，求CN的最小值.矩形，AB = 16,点D与如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在X轴、y轴上，四边形ABCO为4点A关于y轴对称，tan / ACB = 3, /CDE =Z CAO,点E、F分别是线段AD、AC上的动点(点E不与点A、D 重合)，且 / CEF =Z ACB.(1)求AC的长和点D的坐标;(2) 证明： AEF DCE;(3) 当厶EFC为等腰三角形时，求点E的坐标.5.如图.等腰直角三角形 ABC中，/ A=

6、90° P为BC的中点，小明拿着含45 °角的透明三角形，使45角的顶点落在点P,且绕P旋转.(1)如图：当三角板的两边分别AB、AC交于E、F点时，试说明厶 BPECFP .将三角板绕点P旋转到图，三角板两边分别交 BA延长线和边AC于点EF.探究1: BPE与厶CFP .还相似吗?(只需写结论)探究2 :连接EF, BPE与厶EFP是否相似？请说明理由图图6.如图，一条抛物线经过原点和点 C(8, 0), A、B是该抛物线上的两点，AB / X轴，OA = 5, AB = 2点 E 在线段OC上，作/ MEN = Z AOC,使/ MEN的一边始终经过点 A,另一边交线

7、段 BC于点F，连接AF.(1) 求抛物线的解析式；(2) 当点F是BC的中点时，求点 E的坐标；(3)当厶AEF是等腰三角形时，求点 E的坐标.7.【试题再现】如图1,RtA ABC中，/ ACB = 90° AC = BC,直线I过点C,过点A、B分别作AD丄I于点D,BE丄 I于点E,则DE = AD + BE(不用证明).(1) 【类比探究】如图 2,在厶ABC中，AC= BC,且/ ACB =Z ADC = Z BEC = 100 ° ,上述结论是否成 立？若成 立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论(2) 【拓展延伸】如图 3,在厶ABC中，AC

8、= nBC,且/ ACB = Z ADC = Z BEC = 100 ° ,猜想线段 DE、AD、 BE之间有什么数量关系？并证明你的猜想 .若图1的RtA ABC中，/ ACB= 90° AC = nBC,并将直线I绕点C旋转一定角度后与斜边 AB相交，分 别过点A、 B作直线I的垂线，垂足分别为点 D和点E,请在备用图上画出图形，并直接写出线段 DE、AD、BE之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）备用图【例题讲解】（构造“ K ”字型）基本构造方法yoBCDE8EOAoAE(8X2+ 42) 2ABCo的边0A在X轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(4,8),例

9、题1.如图，在直角坐标系中，矩形解：如图，过D作DF丄X轴于F,?点B的坐标为(4, 8),AO = 4, AB= 8,根据折叠可知：CD = OA,而/ D =/ AOE= 90 ° ,/ DEC = Z AEO ,? CDE AOE ,? OE= DE , OA= CD = 4,设 OE= x,那么 CE= 8- x, DE = x,?在Rt DCE 中，CE2= DE2+ CD2,-X= 3,又DF丄AF,DF / EO , AEOADF-AE = CE= 8 - 3 = 5,1A T将矩形沿对角线 AC翻折，B点落在D点的位置，且 AD交y轴于点E,那么点D的坐标为而 AD

10、= AB =ATfDF=AF?OF=二-4 =二,例题答案是:矩形ABCD中，AB= 2AD,点A( 0, 1),点C、D在反比例函数ky = -(k> 0)的图象上,XAB与X即丄.Q亠一4I |8DFAF：* DF-24,AF O轴的正半轴相交于点 E,若E为AB的中点，贝U k的值为解：如图，作 DF丄y轴于F,过B点作X轴的平行线与过 C点垂直与X轴的直线交于 G, CG交X轴于K,作BH丄X轴于H ,?四边形ABCD是矩形,?BAD = 90?DAF +Z OAE= 90?AEO + Z OAE = 90?DAF =Z AEO,TAB = 2AD , E为AB的中点,? AD

11、= AE,在厶ADF和厶EAO中，ZDAF=ZAE0zafi>zaoe=9oAD=AE? ADF 也厶 EAO (AAS),.?. DF = OA =1, AF = OE,?- D (1 ,k),?AF =k 1,同理里；AOE也厶BHE,ADF CBG ,?BH =BG = IDF =OA=1 ,EH = CG = OE?OK =2 (k1)+1 =2k 1, CK = k 2?C (2k1,k2),?(2k -1)(k2)=1?k,=AF = k 1 ,解得 k1 =，b=? k 1> 0,故答案是：丄二例题3、如图,直线a / b /c, a与b之间的距离为3, b与C之间的

12、距离为6, a、b、C分别经过等边三角形ABC的三个顶点，则三角形的边长为C简解：构造 / BDC=Z AEC=60 ° ,可得 BCDCAE.可求得 AC=2,21.12C 3G 3 3 E2例题4、如图，抛物线y= X + 4x- 3与坐标轴交与 A、B、C三点，点M在线段BC上，将线段OM绕0点逆时针旋转90°点M的对应点N恰好落在第一象限的抛物线上，求N点的坐标.简解：A (1,0) , B (3, 0) , C (0, 3).直线 BC: y= X 3.设M (t, t 3) 则N (3 t, t) ?(弋入函数关系式可求得 t= 0或1得N (2, 1)【巩固练

13、习】1、如图，直线11 12 13 ,等腰直角三角形 ABC的三个顶点A , B , C分别在11 , 12 , 13上,/ ACB= 90 ° , ACh2交12于点D ,已知|1与|2的距离为1 , 12与|3的距离为3,则厶ABC的面积为 .5k2.如图，边长为4的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y = - (x> 0)的图象上，已知4X3 9点B的坐标是4, 4 ,则k的值为()2727A. 16 B. C. 4 D. 63.如图，AB = 4,射线BM和AB互相垂直，点 D是AB上的一个动点，点 E在射线BM上,BE = DB,作EF丄DE并截取EF

14、 = DE，连结AF并延长交射线 BM于点C .设BE= x, BC = y,贝U y关于X的函数解析 式是(A.y=X 4B-尸X炸一 X-14.如图，在矩形AOBC 中，点A的坐标1 (-2, 1 ),点C的纵坐标是4,则E1 - 43 3,4A-71-4 7 .-2、-3?371-4 7 - 2亍2xX 、C两点的坐标分别是8x5.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB所在直线的解析式为y= kx + 2,顶点C、D在反比例函数y = "( m >0)的图象上，若tan/ADB = 2.则点D的坐标为 yXX1EF = DE，连结AF并延长交射线 BM于点C .设

15、BE= x, BC = y,贝U y关于X的函数解析式是()ACM12x2x3x8xA.y=X 4B .y=C. y=-D . y=-X 1X 1X 44.如图,在矩形AOBC中，点A的坐标(7712, 1),点C的纵坐标是4,J则B、C两点的坐标分别是(A.、,4B.33,44222,3、31772C.2,3、2,4D.4, 23,43.如图，AB = 4,射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点 E在射线BM上，BE = 2DB ,作EF丄DE并截取Cy1EF = DE,连结AF并延长交射线 BM于点C .设BE= x, BC = y,贝U y关于X的函数解析式是（）ABECM1

16、2x2x3x8xA.y=X 4B . y=C. y=D . y=X 1X 1X 44.如图在矩形AOBC中，点A的坐标（77I' 2, 1）,点C的纵坐标是42则B、C两点的坐标分别是（）A.、,4B.33,44222,3、31772C.2,3、2,4D.4, 23,43.如图，AB=4,射线BM和AB互相垂直，点 D是AB上的一个动点，点E在射线BM上,BE = 2DB,作EF丄DE并截取CyBAOX5.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB所在直线的解析式为 y= kx + 2,顶点C、D在反比例函数y= mx（m>0）的图象上 若tan/ ADB= 2.则点D的坐标

17、为 .XyOX5.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB所在直线的解析式为y= kX + 2,顶点C、D在反比例X13.如图，AB = 4,射线BM和AB互相垂直，点 D是AB上的一个动点，点 E在射线BM上，BE = 2DB ,作EF丄DE并截取 EF = DE，连结AF并延长交射线 BM于点C .设BE= x, BC = y,贝U y关于X的函数解析式是()ADFBECM12x2xA. y=X 4B. y=X 14 .如图,在矩形AOBC中，点A的坐标(771A.,、,442231C. y3、2,43xC. y=彳X 11),点C的纵坐标是2,3、774' 28xD. y=

18、/X 4乡则B、C两点的坐标分别是3,423,4CyBA函数y= m ( m >0)的图象上，若tan ADB = 2.则点D的坐标为yOX5.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB所在直线的解析式为y= kx + 2,顶点C、D在反比例函数y= m（ m >0）的图象上，若tan ADB = 2.则点D的坐标为X13.如图，AB = 4,射线BM和AB互相垂直，点 D是AB上的一个动点，点 E在射线BM上,BE = 2DB,作EF丄DE并截取 EF = DE,连结AF并延长交射线 BM于点C .设BE= x, BC = y,贝U y关于X的函数解析式是（)ADFBECM1

19、2x2xA. y=X 4B.y=X 14.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标（771A.,、,442231C.2,3、2,43xC. y=X 18xD . y=X42, 1）,点C的纵坐标是BD.32,3、774, 24 2则B、C两点的坐标分别是3,423,4CyBAyX13.如图，AB = 4,射线BM和AB互相垂直，点 D是AB上的一个动点，点 E在射线BM上，BE = 2DB ,作EF丄DE并截取 EF = DE，连结AF并延长交射线 BM于点C .设BE= x, BC = y,贝U y关于X的函数解析 式是()BECM12x2xA . y=-X 4B . y=X 14 .如图,在矩形

20、AOBC中，点A的坐标(771A.,、,442231C. y3、2,43xX 12, 1),点C的纵坐标是4,则 B、2B.33,42,3、772D .4,23,4C .y=8xD . y=X 4C两点的坐标分别是CyBA13.如图，AB = 4,射线BM和AB互相垂直，点 D是AB上的一个动点，点 E在射线BM上，BE = 2DB ,作EF丄DE并截取 EF = DE，连结AF并延长交射线 BM于点C .设BE= x, BC = y,贝U y关于X的函数解析式是()ADFBECM12x2xA . y=-X 4B.y=X 14 .如图,在矩形AOBC中，点A的坐标(_771A.,、,44223

21、1C. y3、2,42,3xC .y=X 18xD . y=X41),点C的纵坐标是B.32,3、774, 24,则23,423,4B、C两点的坐标分别是CyBAOX5.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB所在直线的解析式为y= kX + 2,顶点C、D在反比例函数y= m(m>0)的图象上，若tan/ ADB= 2.则点D的坐标为yOX5.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB所在直线的解析式为 y= kx + 2,顶点C、D在反比例函数y= mx（ m>0）的图象上，若tan/ ADB= 2 .则点 D的坐标为X13.如图，AB = 4,射线BM和AB互相垂直

22、，点 D是AB上的一个动点，点 E在射线BM上，BE = 2DB ,作EF丄DE并截取 EF = DE，连结AF并延长交射线 BM于点C .设BE= x, BC = y,贝U y关于X的函数解析式是（)ADFBECM12x2xA. y=X 4B.y=X 14.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标（771A.,、,442231C.2,3、2,42, 1),点C的纵坐标是4,2则B、B 33,42,3、772D.4, 23,43xC. y=X 18xD . y=X4C两点的坐标分别是CyBAyXX3.如图，AB = 4,射线BM和AB互相垂直，点 D是AB上的一个动点，点 E在射线BM上，BE =

23、2DB ,作BM于点C .设BE= X, BC = y,贝U y关于X的函数解析式是（)ADFBECM12x2xA . y=X 4B . y=X 14 .如图,在矩形AOBC中，点A的坐标（2 1）771A.,、,442231C. y3、2,4CyBAOXEF丄DE并截取 EF = DE，连结AF并延长交射线3x8xC .y=D . y=X1X 4点C的纵坐标是4,则 B、C两点的坐标分别是()2B.33,42,3、772D .4,23,45.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB所在直线的解析式为 y= kx + 2,顶点C、D在反比例函数y= m（m>O）的图象上，若tan/

24、 ADB= 2.则点D的坐标为y13.如图，AB = 4,射线BM和AB互相垂直，点 D是AB上的一个动点，点 E在射线BM上，BE = 2DB ,作EF丄DE并截取 EF = DE，连结AF并延长交射线 BM于点C .设BE= x, BC = y,贝U y关于X的函数解析式是()ADFBECM12x2xA. y=X 4B.y=X 14.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标(771A.,、,442231C.2,3、2,43xC. y=X 18xD . y=X42, 1),点C的纵坐标是BD.32,3、774, 24,2则B、C两点的坐标分别是3,423,4OX5.如图，在平面直角坐标系中，矩形A

25、BCD的边AB所在直线的解析式为y= kx + 2,顶点C、D在反比例XCyBAOX5.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB所在直线的解析式为 y= kx + 2,顶点C、D在反比例函数y= m(m>0)的图象上，若tan/ ADB= 2.则点D的坐标为13.如图，AB = 4,射线BM和AB互相垂直，点 D是AB上的一个动点，点 E在射线BM上，BE = 2DB ,作 EF丄DE并截取 EF = DE，连结AF并延长交射线 BM于点C .设BE= x, BC = y,贝U y关于X的函数解析 式是（）ADFB ECM12x2x3x8xA.y=X 4B.y=C .y=D . y

26、=X 1x1X 44.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标（2, 1）,点C的纵坐标是4,则B、C两点的坐标分别是（7712A.、,4B.33,44222,3、31772C.2,3、2,4D .4,23,4CyBA函数y= mx（m>0）的图象上，若tan/ ADB= 2 .则点D的坐标为y13.如图，AB = 4,射线BM和AB互相垂直，点 D是AB上的一个动点，点 E在射线BM上，BE = 2DB ,作 EF丄DE并截取 EF = DE，连结AF并延长交射线 BM于点C .设BE= x, BC = y,贝U y关于X的函数解析 式是()AOX5.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的

27、边AB所在直线的解析式为y= kx + 2,顶点C、D在反比例函数y= m ( m >0)的图象上，若tan ADB = 2.则点D的坐标为XBECM12x2xA.y=-X 4B . y=4.如图，在矩形AOBCX中，点A的坐标(771A.J4、22,431C.2,3、2,4Cy13xC .y=X 18xD . y=X42, 1),点C的纵坐标是B.32,3、774, 24,则 B、23,423,4C两点的坐标分别是13.如图，AB = 4,射线BM和AB互相垂直，点 D是AB上的一个动点，点 E在射线BM上，BE = 2DB ,作EF丄DE并截取 EF = DE，连结AF并延长交射线

28、BM于点C .设BE= x, BC = y,贝U y关于X的函数解析式是()ADFBECM12x2xA . y=X 4B.y=X 14 .如图，在矩形AOBC中，点A的坐标(_771A.,、,442231C. y3、2,42,3xC .y=x 18xD . y=X41 ),点C的纵坐标是B.32,3、774, 24,则23,423,4B、C两点的坐标分别是(CyBAyOX5.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB所在直线的解析式为y= kx + 2,顶点C、D在反比例函数y= m（ m >0）的图象上，若tan ADB = 2.则点D的坐标为X13.如图，AB = 4,射线BM和

29、AB互相垂直，点 D是AB上的一个动点，点 E在射线BM上，BE = 2DB ,作EF丄DE并截取 EF = DE，连结AF并延长交射线 BM于点C .设BE= x, BC = y,贝U y关于X的函数解析式是（)ADFBECM12x2xA . y=-X 4B.y=X 14 .如图,在矩形AOBC中，点A的坐标（771A.,、,442231C. y3、2,43xC. y=X 18xD . y=X42, 1）,点C的纵坐标是BD.32,3、774, 24,则B、3,423,4C两点的坐标分别是CyBAyX13.如图，AB = 4,射线BM和AB互相垂直，点 D是AB上的一个动点，点 E在射线BM上，BE = 2DB ,作EF丄DE并截取 EF = DE，连结AF并延长交射线 BM于点C .设BE= x, BC = y,贝U y关于X的函数解析式是()ABECM12x2x3xA.y=-X 4B.y=C .y=X 1x14.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标(2, 1),点C的纵坐标是4,则 B、7712A.、,4B.33,